1 a Parte ANÁLISE COMBINATÓRIA 1

Registro CMI 40616 Aula 1 1) Fatorial 1 a Parte ANÁLISE COMBINATÓRIA 1 O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do!, ou seja, n!. Exemplo de número fatorial:6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720 Importante: n >= 0 (n maior ou igual a zero), ou seja, não existe fatorial para números negativos. Os fatoriais têm a seguinte propriedade: n.(n-1)! = n! Assim, podemos escrever: (n-1)! = n!/n. Fazendo n = 1, podemos encontrar o fatorial de 0: (1-1)! = 1!/1 0! = 1/1 Portanto, podemos dizer que o fatorial de zero é igual a 1. O numero fatorial pode ser modificado para outras formas:n! = n. (n-1). (n-2). (n-3)! Exemplo: 6! = 6. (6-1). (6-2). (6-3)! 6! = 6. 5. 4. 3! 6! = 120. 3! 6! = 120. 3. (3-1). (3-2)! 6! = 120. 3. 2. 1! 6! = 120. 6 = 720 Divisão de fatoriais A divisão de fatoriais acontece bastante em análise combinatória. Observe: Cuidado: As seguintes operações NÃO são válidas: 2) Princípio Fundamental da Contagem O princípio fundamental da contagem cita que um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m2 maneiras e assim sucessivamente até a n- ésima situação ocorrendo de mn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto: Pág 1

Exemplo:O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Solução: Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-8785.Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. 3) Agrupamentos ordenados 3.1) Permutações simples Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é Pn = n!. Onde n! = n(n-1)(n-2)....1. Exemplos: P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 3.2) Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. Exemplo: Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. 3.3) Permutações com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, belementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento). Solução:Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200. Resposta: 151200 anagramas. 3.4) Arranjos simples Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de taxa k, a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: Arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb; Arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k, teremos a seguinte fórmula: Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn. (Verifique) Exemplo:Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo? Solução: As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720. Observe que 720 = A10,3 3.5) Permutações Circulares ou Cíclicas Nas situações em que alguns objetos ou pessoas devem ser organizados em torno de um elemento passivo circular (mesa redonda, crianças brincando de roda, brinquedos circulares, pulseiras, etc) é importante considerar a inexistência inicial de um referencial. Assim, um dos elementos é posto e fixado no elemento passivo e, a partir daí, passa a representar um referencial. Os demais elementos, então, são permutados, de acordo com (se houver) as restrições da situação problema. Assim teremos : (PC)n = (n-1)! Exemplo:Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentres essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos? Pág 2

Sabendo que pai e mãe devem ficar juntos, vamos amarrar os dois e tratá-los como se fossem um único elemento. Veja a figura 1 abaixo: Ao tratar o pai e mãe como um único elemento, passamos a ter somente 5 elementos. Portanto, utilizando a permutação circular de 5 elementos, calculamos o número de possibilidades desta família sentar-se ao redor da mesa com pai e mãe juntos sendo que o pai está à esquerda da mãe. Permutação circular (Pc) de 5 elementos calcula-se: Pc5 = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 Portanto, para o pai a esquerda da mãe, temos 24 posições diferentes. Mas o pai pode estar a direita da mãe, como na figura 2, e então teremos mais 24 posições diferentes para contar (novamente Pc5). Portanto, o número total de disposições é 48. Atenção : elementos passivos circulares que admitem rebatimentos (pulseiras, colares, etc) admitem a divisão do resultado obtido por 2, uma vez, feito o rebatimento, haver a possibilidade de uma contagem dupla. QUESTÕES DE CONCURSOS QUESTÃO 01 Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. Manuel e D. Joaquina resolveram registrar o encontro com seus familiares através de fotos. Uma delas sugerida pela família foi dos avós com seus 8 netos. Por sugestão do fotógrafo, na organização para a foto, todos os netos deveriam ficar entre os seus avós. De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina podem posar para essa foto com os seus netos? a) 100 b) 800 c) 40 320 d) 80 640 e) 3 628 800 QUESTÃO 02 Em uma fábrica de bijuterias são produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura.as contas estão disponíveis em 8 cores diferentes.de quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes? a) 612 b) 556 c) 448 d) 392 e) 336 QUESTÃO 03 Artur, Bruno, César, Daniel e Érica foram a um cinema onde havia uma única porta de acesso, por onde passava uma pessoa por vez. Um dos rapazes, por consideração, não admitiu entrar no cinema antes da Érica. Ora, o número de maneiras diferentes que essas pessoas puderam se organizar para entrar nesse cinema é : a) menor que 30 b) entre 30 e 40 c) entre 40 e 70 Pág 3

d) entre 70 e 80 e) maior que 80 QUESTÃO 04 André, Beatriz e Carlos são adultos, Laura e Júlio são crianças e todos vão viajar em um automóvel com 5 lugares, sendo 2 na frente e 3 atrás. Dos adultos, somente Carlos não sabe dirigir. As crianças viajarão atrás, mas Júlio faz questão de ficar em uma janela. O número de maneiras diferentes pelas quais essas pessoas podem ocupar os cinco lugares do automóvel é: (A) 12; (B) 16; (C) 18; (D) 20; (E) 24. QUESTÃO 05 De quantas maneiras diferentes, três rapazes e três moças podem sentar-se em volta de uma mesa retangular que tem 3 cadeiras de um lado e 3 banquetas do outro, a fim de que nunca fique um rapaz sentado ao lado de uma moça? a)24 b) 36 c) 72...gab d) 84 e) 96 QUESTÃO 06 Diariamente, Ana usa uma calça e uma blusa, para trabalhar, de tal maneira que um determinado conjunto é usado apenas uma vez (um único dia). Ana não possui calças iguais e nem blusas idênticas. Considere que a Ana precise trabalhar durante 24 dias num determinado evento. O número mínimo de peças (número de calças + número de blusas) que Ana precisará ter, nessas circunstâncias, é igual a : a) 48 b) 24 c) 25 d) 10 e) 9 Combinações simples 2 a Parte ANÁLISE COMBINATÓRIA 2 Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. Exemplo:No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: Combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd; Combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd; Combinações de taxa 4: abcd. Representando por Cn,k o número total de combinações de elementos tomados k a k, temos a seguinte fórmula: Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por: Pág 4

Exemplo:Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?solução:observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: C15,10 = 15! / [(15-10)!. 10!] = 15! / (5!. 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 30 QUESTÕES DE CONCURSOS QUESTÃO 01 Uma pessoa dispõe de 5 frutas diferentes. O numero máximo de sucos distintos que ela pode fazer, usando apenas duas ou três dessas frutas é igual a : a) 8 b) 10 c) 20 d) 25 e) 31 QUESTÃO 02 O corpo clínico da Pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Nessas condições, o número de comissões distintas que podem ser formadas é igual a A) 136 B) 144 C) 156 D) 162 E) 174 QUESTÃO 03 Nove pessoas param para pernoitar num motel. Existem 3 quartos com 3 lugares cada. O número de formas que estas pessoas podem se distribuir entre os quartos é: a) 84 b) 128 c) 840 d) 1680... gab e) 3200 QUESTÃO 04 O início da década de oitenta foi marcado por um estilo que ficou conhecido como new wave. Um grande sucesso dessa época foi a música Safety Dance do grupo canadense Men Without Hats. No videoclipe da música, ambientado num cenário medieval, um casal dança ao som da música e, no refrão Oh Well the safety dance, ah yes the safety dance, forma com os braços a letra S, inicial de Safety. Essa representação ficou sendo a marca registrada do sucesso alcançado. Alguns programas e séries da TV atual apresentaram a sua versão para o Safety Dance. Nas figuras a seguir, estão representadas a versão original, a versão da série animada Uma família da pesada e a versão da série Glee. Pág 5

Na versão da série Glee do Safety Dance, um grupo de atores dança no hall de um shopping center, enquanto os demais apenas observam. Suponha que, para a execução da cena, foi necessário escolher, dentre 6 atores e 8 atrizes, um grupo formado por 5 atores e 5 atrizes. Quantos grupos de dançarinos podem ser escolhidos dessa forma? a) 336. b) 168. c) 70. d) 48. e) 25. QUESTÃO 05 Numa festa comparecem N pessoas e cada pessoa cumprimenta todas as outras uma única vez, totalizando 820 apertos de mão. Então N é um número compreendido entre: A) 30 e 39 B) 40 e 49 C) 50 e 59 D) 60 e 69 E) 70 e 79 QUESTÃO 06 O cientista John Dalton é bastante conhecido pelas suas contribuições para a Química e a Física. Descreveu a forma e o uso de vários instrumentos de meteorologia, fazendo considerações sobre a variação da altura barométrica. Além disso, Dalton descreveu uma doença hereditária que o impossibilitava de distinguir a cor verde da vermelha. Essa doença hereditária, causada por um alelo recessivo ligado ao cromossomo X, recebeu o nome de daltonismo. Dois daltônicos fazem parte de um grupo de 10 pessoas. De quantas maneiras distintas pode-se selecionar 4 pessoas desse Pág 6

grupo, de maneira que haja pelo menos um daltônico entre os escolhidos? a) 140 b) 240 c) 285 d) 336 e) 392 3 a Parte PROBABILIDADES 1) Experimentos aleatórios Considere os seguintes experimentos: o aquecimento da água dentro de uma chaleira; a queda livre de um corpo. Observe que, se conhecermos certas condições iniciais, poderíamos calcular qual a temperatura em que aágua ferveria e a velocidade com que o corpo atingiria o solo. Os experimentos cujos resultados podem ser previstos antes de sua realização são denominados experimentos determinísticos.agora considere os experimentos: lançamento de moeda e a observação da figura na face voltada para cima; lançamento de um dado e a observação da face (número) voltada para cima; o sorteio de uma loteria de números. Observe que esses experimentos estão sujeitos as acaso, uma vez que os resultados são imprevisíveis,mesmo que qualquer um desses experimentos fosse repetido, em condições semelhantes, inúmeras vezes. Os experimentos cujos resultados são variados, não sendo possível a previsão dos mesmos, são denominados experimentos aleatórios (não-determinísticos).apesar de sujeito ao acaso, todo o experimento aleatório possui as seguintes características: pode ser repetido várias vezes (nas mesmas condições); o conjunto de todos os resultados possíveis é conhecido; não se pode prever o resultado. Uma vez que não podemos prever o resultado, procuraremos descobrir as possibilidades de ocorrência de cada experimento aleatório. A Teoria das Probabilidades estuda a forma de estabelecer essas possibilidades. 2) Espaço Amostral O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostraldesse experimento. O espaço amostral de um experimento aleatório será representado pela letra E e o seu número de elementos por n (E).Considere os seguintes experimentos aleatórios e seus respectivos espaços amostrais: Lançamento de um dado e a observação da face voltada para cima.e = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n (E) = 6 Lançamento de uma moeda e observação da face voltada para cima.e = {K, C}, n (E) = 2 (K: cara e C: coroa) Lançamento simultâneo de um dado e uma moeda e a observação das faces voltadas para cima. Retirada de uma bola de uma urna que contém 7 bolas vermelhas e 3 brancas, idênticas, diferindo apenas pela cor.e = { V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7, B1, B2, B3}. n (E) = 10 3) Evento Um evento de um experimento aleatório é qualquer subconjunto do espaço amostral desse experimento.o números de elementos de um evento A será representado por n(a).a partir do lançamento de um dado e a observação da face voltada para cima, podemos descrever osseguintes eventos: Evento A a face observada é um nº par. A = {2, 4, 6}, n (A) = 3 Evento B a face observada é um quadrado perfeito. B = {1, 4}, n (B) = 2 Pág 7

Evento C a face observada é um número múltiplo de 5 C = {5}, n (C) = 1 Evento D a face obtida é um número menor que 7. D = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, n (D) = 6(evento certo) Evento F a face obtida é um número maior que 6. F = { }, n (F) = zero (evento impossível) Importante! 1. Um evento certo é o próprio espaço amostral; 2. Um evento impossível é o subconjunto vazio do espaço amostral. 4) Probabilidade Consideremos um experimento aleatório. Seja E o seu espaço amostral finito e não-vazio, n(e) o número de elementos do espaço amostral, um evento A e n(a) o número de elementos do eventos A. A probabilidade do evento A ocorrer, é o número P(A), tal que: Importante! 1. A definição de probabilidade só tem validade se todos os elementos de E tiverem as mesmas chances de ocorrer (espaço amostral equiprovável). 2. Quando A = E (evento certo), temos P (A) = 1. 3. Quando A = { } (evento impossível), temos P (A) = 0. 4. Como 0 < n(a) < n(e), temos 0 < P (A) < 1. 5. A probabilidade pode ser representada em porcentagem. Dessa forma,0% < P (A) < 100%. Podemos dizer que cada elemento de um evento A é um caso favorável à ocorrência de A. Uma vez que o espaço amostral E é o conjunto de todos os resultados possíveis para o experimento, a probabilidade do evento A ocorrer também pode ser expressa pela relação ao lado. 5) Probabilidade condicional A probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B, ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada sobre o evento B e não em função o espaço amostral S. A probabilidade de ocorrência de um evento A em relação a um evento ocorrido B é expressa como: Para calculá-la podemos nos utilizar da fórmula: Sabemos que de elementos do espaço amostral:, a probabilidade da intersecção, é a razão do seu número de elementos, para o número A probabilidade de B também é a razão do seu número de elementos, para o número de elementos do espaço amostral: Os substituindo na fórmula original temos: 6) Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Neste caso a probabilidade de ocorrência de um ou outro evento é expressa por: P(A ou B) = P(A) + P(B) Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou uma menina de olhos azuis. Assim, tem-se: Pág 8

P(A) = P(menino de olhos castanhos) = 3/8 P(B) = P(meninas de olhos azuis) = 1/8 P(A ou B) = P(A) + P(B)= 3/8 + 1/8 = 1/4 7) Lei da soma para eventos com interseção Neste caso podemos definir a seguinte expressão de probabilidade P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B) Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um menino ou uma criança de olhos azuis. Assim, tem-se: P(A) = P(menino) = 1/2 P(B) = P(olhos azuis) = 1/4 P(A e B) = P(meninos de olhos azuis) = 1/8 P(A ou B) = P(A) + P(B ) - P(A e B) = 1/2 + 1/4-1/8 A necessidade de subtrair a probabilidade de meninos de olhos azuis na P(A ou B) pode ser constatada pois tanto a valor P(menino) quanto P(olhos azuis) inclui a possibilidade de sair menino de olhos azuis, consequentemente esta probabilidade estaria sendo somada duas vezes caso não houvesse aquela subtração. 8) Lei do produto para eventos independentes Dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrer B não é condicional à ocorrência de A. A expressão que define a lei do produto para eventos independentes é a seguinte: P(A e B) = P(A). P(B) Exemplo: Em uma família será estimada a probabilidade do ser menino e ter olhos azuis. P( menino e olhos azuis) = P(menino). P(olhos azuis) =(1/2)(1/4) = 1/8 9) Lei do produto para eventos dependentes (ou condicionais ou ligados) Neste caso temos a seguinte expressão de probabilidade: P(A e B) = P(A). P(B/A) = P(B). (P(A/B) 10) Probabilidade do Evento Complementar Sejam A um evento de um espaço amostral U e Ā o seu evento complementar, então:p(a) + P(Ā) = 1 ou P(Ā) = 1 P(A) QUESTÕES DE CONCURSOS QUESTÃO 01 Em uma urna há quinze bolas iguais numeradas de 1 a 15. Retiram-se aleatoriamente, em sequência e sem reposição, duas bolas da urna. A probabilidade de que o número da segunda bola retirada da urna seja par é: a) ½ b) 3/7 c) 4/7 d) 7/15 e) 8/15 QUESTÃO 02 Em uma urna há duas bolas pretas e duas bolas brancas. Ana retira, aleatoriamente e sem reposição, duas bolas da urna, e Beatriz retira as duas bolas que sobraram. A probabilidade de Beatriz retirar duas bolas da mesma cor é a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6 QUESTÃO 03 Dois dados são jogados simultaneamente. A probabilidade de se obter soma igual a 10 nas faces de cima é Pág 9

1 a) 18 1 b) 12 c) d) 1 10 1 6 e) 1 5 QUESTÃO 04 Suponha haver uma probabilidade de 20% para uma caixa de Microvlar ser falsificada. Em duas caixas extraídas de uma prateleira, uma a uma, a probabilidade de pelo menos uma delas ser falsa é: a) 4% b) 16% c) 20% d) 36% e) 38% QUESTÃO 05 Na Sildávia joga-se uma modalidade de futebol, na qual o juiz da partida leva, ao bolso da camisa, quatro cartões : um todo vermelho, outro todo amarelo, outro todo verde e um último vermelho de um lado e amarelo do outro. Retirando ao acaso do bolso um dos cartões e mostrando-o à um jogador, qual a probabilidade de o juiz ver uma face amarela e o jogador ver uma face vermelha? a) ½ b) ¼ c) 1/6 d) 1/8 e) 1/10 QUESTÃO 06 Num dado viciado a probabilidade de ser observada a face 4, quando lançado sobre uma mesa, é igual a 30%. As probabilidades das demais faces ocorrerem são valores iguais. Esse dado é lançado duas vezes seguidas. A probabilidade de ser observada, voltada para cima, a face 1 nos dois lançamentos é igual a : a) 2% b) 1,99% c) 1,98% d) 1,97% e) 1,96% Pág 10