Fundamentos de Controlo

Fundamentos de Controlo 4 a Série Root-locus: traçado, análise e projecto. S4.1 Exercícios Resolvidos P4.1 Considere o sistema de controlo com retroacção unitária representado na Figura 1 em que G(s) = s + s 4s + 13. R(s) Y K G(s) (s) + Figura 1 a) Obtenha o root-locus do sistema em função do ganho K (K > 0 e K < 0), determinando os ângulos e pontos notáveis. b) Para que valores de K o sistema em cadeia fechada é estável? c) Considere agora retroacção positiva. Esboce o root-locus para K > 0. Resolução: a) A função de transferência em cadeia aberta é s + KG(s) = K s 4s + 13 O root-locus tem ramos que se iniciam (K = 0) nos polos s = ± j3 da função de transferência em anel aberto. Quando K ±, um dos ramos converge para o zero s = da função de transferência em anel aberto e o outro converge para ±. Root-locus para K > 0 Pertencem ao root-locus os pontos sobre o eixo real que tenham à sua direita um número ímpar de polos mais zeros da função de transferência em anel aberto, pelo que o troço sobre o eixo real corresponde ao intervalo ], [. Assim, tem de existir neste intervalo um ponto de entrada no eixo real, que ocorre para a um mínimo relativo do ganho K = 1 G(s) = 4s + 13 s s + no domínio de s real. Derivando K em ordem a s e igualando a zero obtém-se dk ds = s + 4s 1 (s + ) = 0 s 1 = 7 s = 3. 1

O ponto s 1 ], [ pelo que representa o ponto de entrada no eixo real. Porque s 1 é uma raíz simples da equação anterior, cruzam-se neste ponto ramos que entram no eixo real segundo um ângulo λ = ± π. Para determinar os pontos de cruzamento com o eixo imaginário é preciso obter o ganho K que conduz a raízes da equação característica 1 + KG(s) = 0 s + (K 4)s + (K + 13) = 0 imaginárias conjugadas. Construíndo a matriz de Routh obtém-se s 1 K + 13 s 1 K 4 s 0 K + 13 Para que haja raízes imaginárias conjugadas, a linha de s 1 tem de ser nula, o que acontece para K = 4. O polinómio auxiliar obtido a partir da linha anterior para este valor de K é Q(s) = s + 1 cujas raízes, que também são raízes da equação característica e representam os pontos de cruzamento com o eixo imaginário, são s = ±j 1. O ângulo de partida do polo complexo s = + j3 é θ 1 = 180 + γ θ = 180 + arctan 3 90 = 180 + 36.9 90 = 16.9o 4 em que γ é a contribuição angular do zero e θ é a contribuição angular do outro polo. Como o root-locus é simétrico em relação ao eixo real, o ângulo de partida do polo complexo s = j3 é θ = 16.9 o. Na Figura está representado o root-locus do sistema para K > 0. Root-locus para K < 0 Figura Pertencem ao root-locus os pontos sobre o eixo real que tenham à sua direita um número par de polos mais zeros da função de transferência em anel aberto, pelo que o troço sobre o eixo real corresponde ao intervalo ], + [. Assim, tem de existir neste intervalo um ponto de entrada no eixo real. Este ponto ocorre para s = 3 ], + [ e que corresponde ao outro valor de s real, determinado anteriormente, para o qual dk ds = 0. Como s é uma raíz simples da equação anterior, cruzam-se neste ponto ramos que entram no eixo real segundo um ângulo λ = ± π.

O ângulo de partida do polo complexo s = + j3 é θ 1 = 360 + γ θ = 360 + arctan 3 4 90 = 360 + 36.9 90 = 306.9o = 53.1 o Como o root-locus é simétrico em relação ao eixo real, o ângulo de partida do polo complexo s = j3 é θ = 53.1 o. Na Figura 3 está representado o root-locus do sistema para K < 0. Figura 3 b) Do root-locus para K > 0 verica-se que o ponto de cruzamento com o eixo imaginário ocorre para K = 4. Assim, os polos do sistema em anel fechado estão ambos no semiplano complexo esquerdo, e o sistema é estável, para K > 4. c) A equação característica do sistema com retroacção positiva é 1 KG(s) = 0, que é equivalente à equação característica do sistema com retroacção negativa 1 + K G(s) = 0 quando o ganho K = K. Consequentemente, o root-locus do sistema com retroacção positiva e K > 0 é igual ao root-locus do sistema com retroacção negativa e K < 0 representado na Figura 3. P4. Esboce o root-locus em função de α > 0 do sistema com retroacção negativa representado na Figura 4. r(t) 9 w(t) + s (s + ) 1 + αs Resolução: A equação característica do sistema é 1 + Figura 4 9(1 + αs) s (s + ) = 0 s (s + ) + 9 s (s + ) [ ] 9s 1 + α = 0 s (s + ) + 9 obtendo-se para função de transferência em anel aberto para o traçado do root-locus em função de α 9s αw (s) = α s (s + ) + 9. 3

A função de transferência W (s) tem 3 polos, localizados em s 1 = 3 e s,3 = 0.5 ± 1.7, e um zero na origem. Consequentemente o root-locus tem 3 ramos que se iniciam nos polos de W (s), dos quais um termina no zero e os outros dois no innito. O troço sobre o eixo real corresponde ao intervalo ] 3, 0[. O centro assimptótico situa-se em σ A = polos f.t.c.a. zeros f.t.c.a. número de assimptotas = 3 + (0.5 + j1.7) + (0.5 j1.7) 0 = 1 e o ângulo das assimptotas com o eixo real é φ A = O ângulo de partida do polo s = 0.5 + j1.7 é (1 + k)180 número de assimptotas = 90o, 70 o. θ 1 = 180 + γ θ θ 3 = 180 + arctan 1.7 1.7 90 arctan 0.5 3.5 = 180 + 73.6 90 5.9 = 137.7o em que γ é a contribuição angular do zero e θ é a contribuição angular do outro polo. Como o root-locus é simétrico em relação ao eixo real, o ângulo de partida do polo complexo s = 0.5 j1.7 é θ = 137.7 o. Na Figura 5 está representado o root-locus do sistema para α > 0. Figura 5 P4.3 Considere o sistema de controlo com retroacção unitária representado na Figura 6, em que G(s) = 1 s(s + ). R(s) E(s) C(s) G(s) Y (s) + Figura 6 Dimensione o controlador C(s) de modo a que a resposta no tempo y(t) satisfaça as seguintes especicações: para uma entrada escalão r(t) = u 1 (t): sobre-elevação inferior a 1%; tempo de estabelecimento a 5% inferior a 0.75 s. 4

para uma entrada rampa r(t) = tu 1 (t): erro estático inferior a 0.04. Analise as seguintes opções: a) Controlador proporcional: C(s) = K; b) Controlador proporcional-integral: C(s) = K ( 1 + 1 ) ; T i s c) Controlador proporcional-derivativo: C(s) = K(s + α); d) Compensador de fase: C(s) = K s + α s + β. Nota: Admita que o sistema nal em malha fechada tem polos de a ordem dominantes. Resolução: Admitindo que o sistema em anel fechado tem polos de a ordem dominantes, obtém-se Sobre-elevação: S = e ξπ Tempo de estabelecimento a 5%: 1 ξ < 0.1 ξ > ln(0.1) π + ln(0.1) ξ > 0.44. t s = 3 ξω n < 0.75 ξω n > 4. Tendo em conta as condições anteriores conclui-se que se pretende dimensionar o controlador de modo a que o sistema tenha polos de a ordem dominantes localizados na região do plano complexo representada na Figura 7, em que θ = arcsin ξ 6 o. Figura 7 Im(s) j8. θ 4 Re(s) j8. 5

a) Com o controlador proporcinal C(s) = K, a função de transferência em anel aberto é KG(s) = K 1 s(s + ). O root-locuas tem ramos que se iniciam (K = 0) nos polos s = 0 e s = da função de transferência em anel aberto, e que terminam no. Para K > 0, pertencem ao root-locus os pontos sobre o eixo real que tenham à sua direita um número ímpar de polos mais zeros da função de transferência em anel aberto, pelo que o troço sobre o eixo real corresponde ao intervalo entre os polos da função de transferência em anel aberto. Assim, tem de existir neste intervalo um ponto de saída do eixo real, que ocorre para a um mínimo relativo do ganho K = 1 G(s) = s(s + ) no domínio de s real. Derivando K em ordem a s e igualando a zero obtém-se dk ds = (s + ) = 0 s = 1. Porque s = 1 é uma raíz simples da equação anterior, cruzam-se neste ponto ramos que saiem no eixo real segundo um ângulo λ = ± π. O centro assimptótico situa-se em σ A = polos f.t.c.a. zeros f.t.c.a. número de assimptotas = + 0 = 1 e o ângulo das assimptotas com o eixo real é φ A = (1 + k)180 número de assimptotas = 90o, 70 o. Na Figura 8 está representado o root-locus do sistema para K > 0. Repare-se que, qualquer que seja o valor de K > 0, não existe qualquer sobreposição entre o root-locus do sistema e a região do plano complexo em que se pretende localizar os polos do sistema em anel fechado, pelo que com um controlador proporcional não é possível satisfazer as especicações dadas. Figura 8 6

b) O controlador proporcional-integral C(s) = K ( 1 + 1 ) s + 1 T = K i st i s, introduz um zero em s = 1 T i aberto é e um polo na origem. A função de transferência em anel s + 1 T C(s)G(s) = K i s (s + ). O root-locus tem 3 ramos, dois dos quais terminam em e o outro termina no zero. A localização do zero vai determinar a forma do root-locus pelo que é necessário começar por vericar se há alguma localização para o zero que permita satisfazer as especicações dadas. Existem 3 alternativas: 1. zero no semi-plano complexo direito;. zero no intervalo ], 0[; 3. zero à esquerda de. Zero no semi-plano complexo direito Um dos ramos do root-locus sobre o eixo real é constituído pelo troço entre o polo duplo na origem e o zero no semi-plano complexo direito. Consequentemente, o sistema em anel fechado tem sempre um polo no semi-plano complexo direito pelo que é instável. Na Figura 9 representa-se o root-locus do sistema para K > 0 e uma localização particular (s = 1) do zero no semi-plano complexo direito. Zero no intervalo ], 0[ Figura 9 Os troços do root-locus sobre o eixo real são o intervalo entre o polo localizado em s = e o zero, e a origem do plano complexo. Existe um ponto de saída do eixo real em s = 0, dando origem a ramos que vão para innito. O centro assimptótico situa-se em Como σ A = + 1 T i < 1 T i < 0 1 < σ A < 0.. 7

O ângulo das assimptotas com o eixo real é φ A = 90 o, 70 o. Na Figura 10 está representado o root-locus do sistema para K > 0 e uma localização particular do zero (s = 1). Repare-se que, qualquer que seja o valor de K > 0, não existe qualquer sobreposição entre o root-locus do sistema e a região do plano complexo em que se pretende localizar os polos do sistema em anel fechado, pelo que não é possível satisfazer as especicações dadas. Zero à esquerda de Figura 10 Os troços do root-locus sobre o eixo real são o intervalo entre o zero e o polo localizado em s =, e a origem do plano complexo. Existe um ponto de saída do eixo real em s = 0, dando origem a ramos que vão para innito. O centro assimptótico situa-se em σ A = + 1 T i. Como 1 T i < 1 T i > σ A > 0. O ângulo das assimptotas com o eixo real é φ A = 90 o, 70 o. Consequentemente, os ramos que vão para situam-se sempre no semi-plano complexo direito e o sistema em anel fechado é instável. Na Figura 11 está representado o root-locus do sistema para K > 0 e uma localização particular do zero (s = 4). Figura 11 8

c) O controlador proporcional-derivativo C(s) = K (s + α), introduz um zero em s = α. A função de transferência em anel aberto é C(s)G(s) = K s + α s (s + ). O root-locus tem ramos, um dos quais termina em e o outro termina no zero. A localização do zero vai determinar a forma do root-locus pelo que é necessário começar por vericar se há alguma localização para o zero que permita satisfazer as especicações dadas. Tal como foi feito para o controlador proporcional-integral, é fácil concluir que o sistema em anel fechado é sempre instável quando se coloca o zero no semi-plano complexo direito, ver Figura 1, e que não é possível localizar um dos polos do sistema em anel fechado na região do plano complexo determinada anteriormente colocando o zero entre os dois polos da função de transferência em cadeia aberta, ver Figura 13. Figura 1 Figura 13 Quando o zero é colocado à esquerda de, os ramos do root-locus vão ser atraídos pelo zero deslocando-se para a esquerda, permitindo a localização dos polos do sistema em anel fechado na região do plano complexo seleccionada. Por exemplo, considere que se pretende para polos desejados do sistema em anel fechado aqueles que aproximadamente satisfazem as especicções com a igualdade, i.e. s = 4 ± j8. Para que estes polos pertençam ao root-locus, a condição de argumento tem de ser cumprida (ver Figura 14) θ 1 θ + θ 3 = ±(k + 1)180 o. 9

Figura 14 Como θ 1 = 180 arctan 8 4 117o θ = 180 arctan 8 104o θ 3 41 o, conclui-se que tan θ 3 = 8 α 4 = tan 41o α = 8 + 4 tan 41o tan 41 o 13, i.e., o zero do controlador situa-se em s = 13. A função de transferência em anel aberto é C(s)G(s) = K s + 13 s(s + ). O valor do ganho K pode agora ser obtido a partir da equação característica 1 + K s + 13 s(s + ) = 0 K = s(s + ) s s + s + 13 = s= 4±j8 s + 13 6, s= 4±j8 obtendo-se o controlador C(s) = 6(s + 13). O erro estático a uma entrada rampa unitária é o erro estático de velocidade e v = que K v = lim s 0 sc(s)g(s) = lim s 0 6 s + 13 s + = 39 e v = 1 39 0.06 pelo que a especicação relativa ao erro é satisfeita. 1 K v em O controlador também podia ter sido dimensionado por via algébrica. O polinómio característico do sistema em anel fechado com o controlador C(s) = K(s + α) é D(s) + N(s) = s(s + ) + K(s + α) = s + ( + K)s + Kα em que N(s) e D(s) representam, respectivamente, os polinómios do númerador e do denominador da função de transferência em anel aberto. Dado que o sistema em anel fechado é de a ordem e se pretende colocar os seus polos em s = 4 ± j8, o polinómio característico desejado é (s + 4 + j8)(s + 4 j8) = s + 8s + 80. 10

Comparando os polinómios característicos assim formados, obtém-se { + K = 8 Kα = 80 { K = 6 α = 80 6 13. d) O compensador de fase C(s) = K s + α s + β, introduz um zero em s = α e um polo em s = β. Se este polo se situasse em β =, obteríamos o controlador proporcional-derivativo dimensionado na alínea anterior. A função de transferência em anel aberto é s + α C(s)G(s) = K s (s + )(s + β). O root-locus tem 3 ramos, dois dos quais terminam em e o outro termina no zero. A localização do zero e do polo do controlador vão determinar a forma do root-locus. Da análise efectuada para o controlador proporcional-derivativo é fácil concluir que o zero do controlador se deve situar à esquerda dos polos do sistema a controlar, e o polo do controlador à esquerda do zero, de forma a atraír os ramos do root-locus para a região do plano complexo em que se pretende localizar os polos do sistema em anel fechado. Por exemplo, considere novamente que se pretende localizar os polos do sistema em anel fechado em s = 4 ± j8. Para que estes polos pertençam ao root-locus, a condição de argumento tem de ser cumprida (ver Figura 15) θ 1 θ + θ 3 θ 4 = ±(k + 1)180 o. Figura 15 Substituindo θ 1 e θ na equação anterior obtém-se θ 1 = 180 arctan 8 4 117o θ = 180 arctan 8 104o θ 3 θ 4 41 o. A expressão anterior indica a posição relativa entre o zero e o polo do controlador. Note-se ainda que a contribuição angular do zero 0 o < θ 3 < 104 o pois tem de car à esquerda do 11

polo do sistema localizado em s =, i.e., o zero tem de estar localizado no intervalo ] 13, [. Numa 1 a tentativa, localize-se o zero em s = 4. Neste caso θ 3 = 90 o θ 4 49 o tan 49 o = 8 β 4 β = 4 + 8 tan 49 o 11. i.e., o polo do controlador situa-se em s = 11. A função de transferência em anel aberto é s + 4 C(s)G(s) = K s(s + )(s + 11). O valor do ganho K pode agora ser obtido a partir da equação característica s + 4 1 + K s(s + )(s + 11) = 0 K = s(s + )(s + 11) s + 4 98, s= 4±j8 obtendo-se o controlador C(s) = 98 s + 4 s + 11. A constante de erro estático de velocidade é K v = lim s 0 sc(s)g(s) = lim s 0 98 s + 4 (s + )(s + 11) 17.8 e v = 1 17.8 0.056 pelo que a especicação relativa ao erro não é satisfeita. Para diminuir o erro estático de velocidade seria necessário deslocar o zero para a esquerda, o que conduzia ao deslocamento também para a esquerda do polo do controlador, aproximando o controlador de fase do controlador proporcional-derivativo analisado na alínea anterior. O dimensionamento efectuado parte do pressuposto de que os polos s = 4 ± j8 do sistema em malha fechada são polos dominantes. Tendo em conta que a soma dos polos da função de transferência em cadeia aberta é igual à soma dos polos da função de transferência em anel fechado para sistemas em que a diferença entre o número de polos e o número de zeros da função de transferência em anel aberto é maior ou igual a, conclui-se que 11 + 0 = 4 + j8 4 j8 p 3 p 3 = 5, i.e., o 3 o polo do sistema em anel fechado está localizado em s = 5. O sistema em malha fechada tem ainda um zero, coincidente com o zero do controlador, em s = 4. Desta forma, os polos s = 4 ± j8 não são polos dominantes pelo que, na prática, seria necessário ajustar os parâmetros do controlador de modo a satisfazer as especicações relativas à sobre-elevação e ao tempo de estabelecimento. O controlador também podia ter sido dimensionado por via algébrica. O polinómio característico do sistema em anel fechado com o controlador C(s) = K s + α s + β é D(s) + N(s) = s(s + )(s + β) + K(s + α) = s 3 + ( + β)s + (β + K)s + Kα em que N(s) e D(s) representam, respectivamente, os polinómios do númerador e do denominador da função de transferência em anel aberto. Dado que o sistema em anel fechado é de 3 a ordem e se pretende colocar dos seus polos em s = 4 ± j8, o polinómio característico desejado é (s + 4 + j8)(s + 4 j8)(s + p 3 ) = s 3 + (8 + p 3 )s + 8(10 + p 3 )s + 80p 3. 1

Comparando os polinómios característicos assim formados, e optando por localizar o zero do controlador em s = α = 4, obtém-se S4. Exercícios Propostos + β = 8 + p 3 β + K = 8(10 + p 3 ) Kα = 4K = 80p 3 K 98 β 11 α 5 P4.4 Para o sistema com retroacção unitária representado na Figura 1, esboce o root-locus em função do ganho K > 0 para as seguintes funções de transferência e indique para que valores de K > 0 o sistema é estável. a) G(s) = b) G(s) = s + 4 s + 1 ; c) G(s) = s + 1 s ; d) G(s) = e) G(s) = f) G(s) = s 9 s + 4 ; g) G(s) = (s + )(s + 6) s + 8s + 5 ; 1 (s + 1) 3 (s + 4) ; (s + 3)(s + 5) (s + 1)(s 7) ; s + (s + 3)(s + 4) ; P4.5 Considere o sistema com retroacção unitária representado na Figura 1 em que. a) Esboce o root-locus para K > 0. G(s) = s + 3 s (s + 6). b) Escreva a expressão da função de transferência em anel fechado correspondente ao ponto do root-locus em que os três polos do sistema em cadeia fechada coincidem. P4.6 Esboce o root-locus em função do ganho K > 0 para o sistema cuja função de transferência em malha aberta tem o mapa polos/zeros representado na Figura 16. 3 Im(s) j 1 1 j Re(s) Figura 16 13

P4.7 Considere o sistema de posicionamento de um foguete representado na Figura 17. r 1 y + s sensor H(s) Figura 17 a) Mostre que se o sensor que mede y tiver uma função de transferência unitária, o controlador estabiliza o sistema. H(s) = K s + s + 4 b) Assuma que a função de transferência do sensor é modelizada por um único polo com uma constante de tempo de 0.1 s e ganho estático unitário. Para que valores do ganho K o sistema se mantém estável? P4.8 O polinómio característicode um sistema de controlo em anel fechado é (s) = s 3 + s + (0K + 7)s + 100K. Esboce o root-locus deste sistema em função de K (K > 0 e K < 0). P4.9 Para o sistema de controlo com retroacção unitária representado na Figura 1, em que G(s) = s + α s(s + 3)(s + 6), determine os valores de α e K para que o sistema em anel fechado tenha um par de polos em 1 ± j100. P4.10 Esboce o root-locus em função de K > 0 do sistema com retroacção positiva representado na Figura 18. R(s) K Y (s) + s (s + 1) + Figura 18 P4.11 Esboce o root-locus em função de α (α > 0 e α < 0) do sistema com retroacção negativa representado na Figura 19. R(s) 1 Y (s) + s(s + α) Figura 19 14

P4.1 Considere o sistema de controlo com retroacção unitária representado na Figura 6, em que Dimensione um compensador G(s) = 1 (s + )(s + 3). C(s) = K s + α s + β de modo a que a resposta no tempo do sistema em anel fechado ao sinal de entrada escalão unitário (r(t) = u 1 (t)) seja caracterizada por: 1. Tempo de estabelecimento a %: t s (%) = 1 seg;. Tempo de pico: t p = π 10 seg. Nota: Admita que o sistema nal em malha fechada tem polos de a ordem dominantes. P4.13 Considere o sistema de controlo com retroacção unitária representado na Figura 6, em que Dimensione um compensador G(s) = 1 s. C(s) = K s + α s + β de modo a que a resposta no tempo do sistema em anel fechado ao sinal de entrada escalão unitário (r(t) = u 1 (t)) seja caracterizada por: 1. Tempo de estabelecimento a 5%: t s (5%) = 1 seg;. Frequência das oscilações amortecidas: ω a = 3 rad/seg. Nota: Admita que o sistema nal em malha fechada tem polos de a ordem dominantes. P4.14 Considere o sistema de controlo com retroacção unitária representado na Figura 6, em que G(s) = 1 s(s + 1). Pretende-se dimensionar um compensador de modo a que a resposta no tempo do sistema em anel fechado ao sinal de entrada escalão unitário (r(t) = u 1 (t)) seja caracterizada por: 1. Sobre-elevação: S = 16.3%;. Tempo de pico: t p = π 3 seg. Nota: Admita que o sistema nal em malha fechada tem polos de a ordem dominantes. a) Mostre que não é possível satisfazer esta especicação com um controlador apenas proporcional, C(s) = K P. b) Dimensione um compensador de modo a satisfazer a especicação dada. C(s) = K s + α s + β 15

P4.15 Considere o sistema de tipo 1 representado na Figura 0. Pretende-se dimensionar um controlador C(s) de modo a satisfazer as seguintes especicações: 1. Valor estacionário de y devido a uma perturbação w escalão unitário inferior a 4 5 ;. Coeciente de amortecimento do par de polos dominantes ξ =. W (s) + R(s) C(s) 1 Y (s) + + s(s + 1) Figura 0 a) Mostre que um controlador apenas proporcional, C(s) = K P, não é adequado. b) Mostre que um controlador proporcional-derivativo, C(s) = K P + K D s, funciona. c) Determine valores para os ganhos K P e K D de C(s) = K P + K D s de modo a satisfazer as especicações dadas. S4.3 Soluções dos Exercícios Propostos P4.4 a) b) Sistema estável K > 0. c) Sistema marginalmente estável K > 0. Sistema marginalmente estável K > 0. 16

d) e) Sistema estável para K < 0.4. Sistema estável para K > 3 4. f) Sistema marginalmente estável para K > 4 9. g) Sistema estável K > 0. P4.5 a) b) Y (s) s + R(s) = 1 3 (s + ) 3. 17

P4.6 P4.7 a) b) Sistema estável K > 0. Sistema estável para 0 < K < 16.8. P4.8 P4.9 α 7 e K = 9997; 18

P4.10 P4.11 P4.1 Da condição de argumento: θ zero θ polo 17 o ; Por exemplo, C(s) = 107 s + 4 s + 7. P4.13 Da condição de argumento: θ zero θ polo 90 o ; Por exemplo, C(s) = 7 s + 1 s + 7.5. P4.14 b) Da condição de argumento: θ zero θ polo 30 o ; Por exemplo, C(s) = 6 s + s + 4. 5 P4.15 a) A especicação (1) conduz a ω n > e a () a ω n =, que são condições incompatíveis; 5 b) A especicação (1) conduz a ω n > e a () a ω n = 1 + K D. Por dimensionamento adequado de K D é possível satisfazer as especicações dadas. Bibliograa c) Escolhendo colocar os polos em s = 1 ± j (ω n = ), obtém-se C(s) = s +. 1. Gene F. Frankline, J. David Powell, Abbas Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Sixth edition.. Eduardo Morgado, Controlo-problemas, 1999. 3. Norman S. Nise, Control Systems Engineering, Sixth edition. 19