Planejamento de Experimentos 8. Planos Fatoriais Fracionários 2 k 8.1 Introdução A medida que o número de fatores k cresce, o número de combinações de tratamento em cada replicação cresce exponencialmente (2 k ). Em um plano 2 6 são necessárias 64 observações para uma replicação completa do plano. Num 2 6 não replicado tem-se 63 graus de liberdade. Destes, 6 graus são para os efeitos principais e 15, para os efeitos de interação de ordem 2. Os 42 graus de liberdade restantes (2/3 do total) estão associados aos efeitos de interação de ordem 3 ou maior. Apenas 1/3 do total dos graus de liberdade está associado aos efeitos de maior interesse potencial. 1
Se é possível assumir que certas interações de maior ordem são desprezíveis, as informações sobre os efeitos principais e de interação de menor ordem podem ser obtidas realizando-se apenas uma fração do plano fatorial. Planos fatoriais fracionários estão entre os mais usados em planejamento da produção e processos de aperfeiçoamento. Um uso comum de fatoriais fracionários ocorre em experimentos de seleção nos quais muitos fatores são considerados e o foco é identificar aqueles fatores que apresentam efeitos importantes. Este tipo de experimento costuma ser usado nos estágios iniciais de um projeto, quando muitos dos fatores inicialmente considerados, provavelmente, têm um efeito pequeno ou não têm efeito sobre a resposta. Os fatores identificados como importantes são então investigados de forma mais detalhada em experimentos subsequentes. 2
O uso bem sucedido de planos fatoriais fracionários está baseado em três ideias centrais. (1) Princípio dos efeitos esparsos Quando existem várias variáveis, o sistema, provavelmente, será dirigido primariamente por alguns dos efeitos principais e de interação de baixa ordem. (2) Propriedade da projeção Planos fatoriais fracionários podem ser projetados em planos maiores no subconjunto dos efeitos importantes. (3) Experimentação sequencial É possível combinar as observações de dois ou mais planos fatoriais fracionários para reuní-las sequencialmente num plano maior para estimar efeitos e interações de interesse. 3
8.2 A fração 1/2 do plano 2 k 8.2.1 Definições e Princípios Básicos Considere um plano 2 3 para o qual só podemos observar 4 combinações de tratamento. fração 1/2 do 2 3 ou 2 3 1. Suponha que as combinações selecionadas sejam a, b, c e abc. Observando a tabela de sinais a seguir, podemos verificar que estas 4 combinações estão associadas com o sinal + na coluna ABC. ABC é chamado gerador desta particular fração do plano 2 3. 4
Tabela de sinais do plano 2 3 Comb. I A B C AB AC BC ABC (1) + - - - + + + - a + + - - - - + + b + - + - - + - + ab + + + - + - - - c + - - + + - - + ac + + - + - + - - bc + - + + - - + - abc + + + + + + + + Veja na figura a seguir uma ilustração para esta particular escolha de fração do 2 3. 5
6
Algumas vezes o gerador da fração é chamado palavra. Como a coluna I de qualquer plano 2 k é sempre composta apenas por sinais +, escrevemos I = ABC chamando esta equação de relação de definição do plano fracionário. Em geral, a relação de definição para um fatorial fracionário será sempre o conjunto de todas as colunas que são iguais à coluna identidade I. As combinações de tratamento no plano 2 3 1 produzem três graus de liberdade que nós podemos usar para estimar os efeitos principais. 7
Observe que [A] = 1 2 [abc + a b c] [B] = 1 2 [abc + b a c] [C] = 2 1 [abc + c a b] A notação [A], [B] e [C] é usada para indicar as combinações lineares associadas aos efeitos principais. Também é fácil verificar que as combinações lineares das observações usadas para estimar as interações de ordem 2 são [AB] = 1 2 [abc + c a b] = [C] [AC] = 2 1 [abc + b a c] = [B] [BC] = 1 2 [abc + a b c] = [A] 8
Consequentemente, é impossível diferenciar entre A e BC, entre B e AC e entre C e AB. De fato, quando estimamos A, B e C estamos realmente estimando A+BC, B+AC e C +AB. Dois ou mais efeitos que têm esta propriedade são chamados efeitos associados (aliased). Neste exemplo, os pares (A,BC), (B,AC) e (C,AB) são associados. Indicaremos esta relação usando a seguinte notação: [A] A + BC [B] B + AC [C] C + AB 9
A estrutura de associação (aliasing) para este plano é facilmente determinada usando-se a relação de definição I = ABC. Multiplicando-se qualquer coluna pela relação de definição, produz-se o par associado para aquela coluna. Usando esta técnica neste exemplo, tem-se como efeito associado (aliased) ao efeito A: A.I = A.ABC = A 2 BC = BC, pois A 2 = I. Associado ao efeito B tem-se B.I = B.ABC = AB 2 C = AC e, ao efeito C: C.I = C.ABC = ABC 2 = AB. 10
Esta meia fração com I = ABC costuma ser chamada de fração principal. Suponha que tenhamos escolhido a outra metade, isto é, as combinações de tratamento com sinal - na coluna ABC. Esta meia fração alternativa, consistirá das combinações (1), ab, ac e bc e terá como relação de definição I = ABC. As combinações lineares das observações, denotadas por [A], [B] e [C], da fração alternativa, fornecem Por que? [A] A BC [B] B AC [C] C AB 11
Assim, quando estimamos A, B e C com esta fração particular, estamos de fato estimando A BC, B AC e C AB. Na prática, não importa que fração é de fato usada. Ambas pertencem a uma mesma família, isto é, as duas meias frações formam juntas uma replicação completa do plano 2 3. Suponha que depois de realizar uma das meias frações do plano 2 3, a outra fração também seja realizada. Desse modo, as oito observações associadas ao plano 2 3 completo estarão agora disponíveis. Observe que agora poderemos estimar todos os efeitos principais e de ordem 2, conforme a tabela a seguir. 12
13
8.2.2 Resolução do Plano O plano 2 3 1 que acabamos de descrever é chamado plano de resolução III e é comum usar a notação plano 2 3 1 III. Em tal plano, os efeitos principais estão associados com efeitos de interação de ordem 2. Diz-se que um plano é de resolução R, se nenhum efeito de interação de ordem p está associado com qualquer outro efeito de ordem menor do que R p. No exemplo estudado, temos um plano 2 3. Observe que como são 3 fatores a resolução máxima possível é III. Afirmamos que o plano estudado é de resolução III. 14
Pela definição acima nenhum efeito de ordem p está associado com qualquer outro efeito de ordem menor que 3 p. Neste caso p pode ser 1, 2 ou 3. De fato os efeitos de ordem 1 não estão associados com efeitos de ordem menor que 2 (só tem a ordem 1). Também os efeitos de ordem 2 não podem estar associados a efeitos de ordem menor que 1! (Não existem.) Em geral, usa-se um sub-índice em algarismos romanos para denotar a resolução do plano. Planos de resolução III, IV e V são particularmente importantes e serão descritos separadamente. 15
(1) Planos de Resolução III Nenhum efeito principal está associado com qualquer outro efeito principal, mas os efeitos principais estão associados com efeitos de interação de ordem 2 e alguns efeitos de ordem 2 podem estar associados com outros efeitos de mesma ordem. Exemplo: I = ABC em um plano 2 3 2 3 1 III. (2) Planos de Resolução IV Nenhum efeito principal está associado com qualquer outro efeito principal ou qualquer efeito de interação de ordem 2, mas efeitos de interação de ordem 2 estão associados entre si. Exemplo: I = ABCD em um plano 2 4 2 4 1 IV. 16
(3) Planos de Resolução V Nenhum efeito principal ou de ordem 2 é associado com qualquer outro efeito principal ou de ordem 2, mas efeitos de ordem 2 estão associados com efeitos de ordem 3. Exemplo: I = ABCDE em um plano 2 5 2 5 1 V. 17
8.2.3 Construção e Análise da fração 1/2 de um plano 2 k. Uma fração 1/2 do plano 2 k de maior resolução possível pode ser construída escrevendo-se um plano básico consistindo de k 1 fatores como se tivessemos um plano 2 k 1 completo. Depois, adiciona-se uma coluna cujos sinais serão dados pelo produto dos sinais das colunas a sua esquerda. Por exemplo, para o plano 2 3 1 III temos Obs. A B C=AB trat. 1 - - + c 2 + - - a 3 - + - b 4 + + + abc Observe que o plano básico sempre tem k 1 colunas. A k-ésima coluna é obtida pela multiplicação dos sinais correspondentes às colunas a sua esquerda. A fração alternativa, no plano 2 3 é obtida fazendo-se C = AB, como mostra a tabela a seguir. 18
19
Qualquer efeito de interação poderia ser usado para gerar a coluna correspondente ao k-ésimo fator. Porém, usar qualquer outro efeito diferente de ABC...(K 1), não produzirá o plano de maior resolução possível. Outra forma de ver a construção da meia fração é particionar as combinações de tratamento em dois blocos com a maior interação ABC...K confundida. Cada bloco é um 2 k 1 de maior resolução possível. Projeção de Frações em Fatoriais Qualquer plano fatorial de resolução R contém um fatorial completo em qualquer subconjunto de R 1 fatores. 20
Por exemplo, se um experimentador está em dúvida com relação a vários fatores de potencial interesse, mas acredita que somente R 1 deles têm efeitos importantes, então um plano fatorial fracionário de resolução R é a escolha apropriada. Se o experimentador estiver correto, o plano fracionário de resolução R projetará um plano fatorial completo nos R 1 fatores significantes. Esta propriedade está ilustrada na figura a seguir para o plano 2 3 1 III, que projeta um 22 em qualquer subconjunto de dois fatores. 21
22
Como a resolução máxima possível de uma meia fração de um plano 2 k é R = k, todo 2 k 1 projetará um fatorial completo em qualquer subconjunto de k 1 fatores. Além disso, um 2 k 1 pode ser projetado em duas replicações de um fatorial completo em qualquer subconjunto de k 2 fatores, quatro replicações em qualquer subconjunto de k 3 fatores, etc. 23
EXEMPLO 8.1: Considere novamente o experimento do exemplo 6.2 para explicar os efeitos de 4 fatores sobre a taxa de filtragem. No exemplo original, dispõe-se de uma replicação única de um plano 2 4. Vimos que apenas os efeitos A, C, D, AC e AD são importantes. Vamos voltar a este exemplo e observar o que teria acontecido se uma fração 1/2 do plano 2 4 tivesse sido observada no lugar da fração inteira. 24
Usaremos um plano 2 4 com I = ABCD, pois esta escolha de gerador resultará no plano de maior resolução possível, a saber, um plano 2 4 1 IV. Os pares de efeitos associados aqui serão dados por A e BCD B e ACD C e ABD D e ABC AB e CD AC e BD AD e BC 25
Após definir o plano a ser usado, o usual é aleatorizar a ordem na qual as observações serão tomadas. No entanto, neste exemplo, vamos aproveitar os dados já disponíveis do exemplo 6.2. Os dados são mostrados a seguir. 26
27
Os efeitos, estimados por (contraste/(n/2)), são [A] = 1 4 [B] = 1 4 [C] = 1 4 [D] = 1 4 {100 + 65 + 60 + 96 45 45 75 80} = 19 {45 + 65 + 80 + 96 45 100 75 60} = 1, 5 {75 + 60 + 80 + 96 45 45 100 65} = 14 {100 + 45 + 75 + 96 45 65 60 80} = 16, 5 [AB] = 1 4 1 [AC] = 1 4 18, 5 [AD] = 1 4 19 {45 100 45 + 65 + 75 60 80 + 96} = {45 100 +5 65 75 + 60 80 + 96} = {45 + 100 + 80 + 96 45 65 75 60} = 28
Tabela ANOVA FV gl efeito SQ % de contribuição na SQ T A 1 19 722 23,50 B 1 1,5 4,5 0,15 C 1 14 392 12,8 D 1 16,5 544,5 17,70 AB 1-1 2 0,07 AC 1-18,5 684,5 22,30 AD 1 19 722 23,50 Erro 0 - - - Total 7-3071,5 1 Perecebe-se que os efeitos significativos são A, C, D, AC e AD, exatamente os mesmos quando analisamos o exemplo 6.2 com uma replicação completa, isto é, observando as 16 combinações de tratamento possíveis. Podemos ajustar o modelo reduzido descartando os efeitos desprezíveis. A tabela a seguir mostra os resultados. 29
FV SQ gl QM F A 722 1 722 222,2 C 392 1 392 120,6 D 544,5 1 544,5 167,5 AC 684,5 1 684,5 210,6 AD 722 1 722 222,2 erro 6,5 2 3,25 A figura a seguir mostra o particionamento utilizado. 30
31
Como o fator B não é significativo podemos descartá-lo, projetando o plano 2 4 1 IV num plano 2 3 nos fatores A, C e D, como mostrado na figura a seguir. Um exame visual do cubo reforça as conclusões obtidas. Observe que se a temperatura A está no nível baixo, a concentração C tem um efeito positivo grande. Se a temperatura está no nível alto, a concentração tem um efeito muito pequeno. Isto deve-se à interação AC. Além disso, se a temperatura está no nível alto, a taxa de mistura tem um efeito positivo grande, mas se ela está no nível baixo, o efeito da taxa de mistura é desprezível. Isto deve-se à interação AD. 32
33
Baseado nesta análise, podemos obter um modelo para prever a taxa de filtragem sobre a região experimental. O modelo é dado por y = 70.75+ ( 19.00 2 ) x1 + ( 14.00 2 ) x3 + ( 16.50 2 ) x4 + ( 18.50 2 ) ( ) 19.00 x1 x 3 + x1 x 2 4 A figura a seguir mostra os perfis da resposta em função da temperatura para cada combinação de concentração (x 3 ) e taxa de mistura (x 4 ): (-,-), (-,+). (+,-) e (+,+). 34
Recomendação: 8.3. Resolver os exemplos 8.2 e 35