Métodos Estatísticos Aplicados à Economia I (GET00117) Probabilidade

Uiversidade Federal Flumiese Istituto de Matemática e Estatística Métodos Estatísticos Aplicados à Ecoomia I (GET00117) Probabilidade Aa Maria Lima de Farias Departameto de Estatística Agosto 015

Sumário 1 Probabilidade: coceitos básicos 1 1.1 Itrodução........................................... 1 1. Experimeto aleatório, espaço amostral e eveto................... 1 1..1 Experimeto aleatório............................... 1.. Espaço amostral.................................. 1..3 Evetos aleatórios................................. 3 1.3 Operações com evetos aleatórios............................ 5 1.3.1 Iterseção...................................... 5 1.3. Exclusão....................................... 6 1.3.3 Uião......................................... 6 1.3.4 Complemetação.................................. 7 1.3.5 Difereça....................................... 7 1.3.6 Propriedades das operações........................... 8 Probabilidade: axiomas e propriedades 13.1 Itrodução........................................... 13. Defiição axiomática de probabilidade......................... 13.3 Espaços amostrais fiitos e equiprováveis....................... 17 3 Probabilidade codicioal e idepedêcia de evetos 7 3.1 Probabilidade codicioal................................. 7 3.1.1 Regra da multiplicação.............................. 3 i

ii SUMÁRIO 3. Idepedêcia de evetos................................. 38 4 Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes 43 4.1 Exemplos........................................... 43 4. Os teoremas......................................... 5 5 Exercícios propostos 55 A Aálise combiatória 63 A.1 Pricípio Fudametal da Adição............................. 63 A. Pricípio Fudametal da Multiplicação........................ 65 A.3 Permutações......................................... 66 A.4 Arrajos............................................ 69 A.5 Combiações Simples.................................... 71 A.6 Triâgulo de Pascal e Biômio de Newto....................... 75 A.6.1 Aplicações...................................... 81

Capítulo 1 Probabilidade: coceitos básicos 1.1 Itrodução No osso cotidiao, lidamos sempre com situações em que está presete a icerteza do resultado, embora, muitas vezes, os resultados possíveis já sejam cohecidos. Por exemplo: o sexo de um embrião pode ser masculio ou femiio, mas só saberemos o resultado exato quado o bebê ascer. Se estivermos iteressados a face voltada para cima ao jogarmos um dado, os resultados possíveis serão 1,, 3, 4, 5, 6. Mas só saberemos o resultado quado o experimeto se completar, ou seja, quado o dado atigir a superfície sobre a qual foi laçado. É coveiete, etão, dispormos de uma medida que exprima a icerteza presete em cada um desses acotecimetos. Tal medida é a probabilidade. No estudo das distribuições de frequêcias, vimos como essas são importates para etedermos a variabilidade de um feômeo aleatório. Por exemplo, quado sorteamos uma amostra de empresas para aalisar a distribuição do úmero de empregados, sabemos que uma outra amostra forecerá resultados diferetes. No etato, se sortearmos um grade úmero de amostras, esperamos que surja um determiado padrão que irá refletir a verdadeira distribuição da população de todas as empresas. Através de um modelo teórico, costruído com base em suposições adequadas, podemos reproduzir a distribuição de frequêcias quado o feômeo for observado diretamete. Esses modelos são chamados modelos probabilísticos e serão estudados a seguda parte deste curso. A probabilidade é a ferrameta básica a costrução de tais modelos e será estudada esta primeira parte. 1. Experimeto aleatório, espaço amostral e eveto Cosideremos o laçameto de um dado, a fim de estudarmos a proporção de ocorrêcias das suas faces. O primeiro fato a observar é que existem apeas 6 resultados possíveis, as faces 1,, 3, 4, 5, 6. O segudo fato é uma suposição sobre o dado: em geral, é razoável supor que ele seja equilibrado. Assim, cada face deve ocorrer o mesmo úmero de vezes e, portato,

CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS essa proporção deve ser 1 6. Nessas codições, osso modelo probabilístico para o laçameto de um dado pode ser expresso da seguite forma: Face 1 3 4 5 6 Total 1 1 1 1 1 1 Frequêcia teórica 6 6 6 6 6 6 1 Supohamos que uma mulher esteja grávida de trigêmeos. Sabemos que cada bebê pode ser do sexo masculio (M) ou femiio (F). Etão, as possibilidades para o sexo das três criaças são: MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, FFF. Uma suposição razoável é que todos esses resultados sejam igualmete prováveis, o que equivale a dizer que cada bebê tem igual chace de ser do sexo masculio ou femiio. Etão cada resultado tem uma chace de de acotecer. Assim, o modelo probabilístico para esse experimeto seria 1 8 Sexo MMM MMF MFM FMM FFM FMF MFF FFF Total 1 1 1 1 1 1 1 8 8 8 8 8 8 8 1 Freq. teórica 1 8 Por outro lado, se só estivermos iteressados o úmero de meias, esse mesmo experimeto os coduzirá ao seguite modelo probabilístico: Meias 0 1 3 Total 1 3 3 1 Freq. teórica 8 8 8 8 1 Nesses exemplos, vimos que a especificação de um modelo probabilístico para um feômeo casual depede da especificação dos resultados possíveis e das respectivas probabilidades. Vamos, etão, estabelecer algumas defiições ates de passarmos à defiição propriamete dita de probabilidade. 1..1 Experimeto aleatório Um experimeto aleatório é um processo que acusa variabilidade em seus resultados, isto é, mesmo repetido-se o experimeto sob as mesmas codições, os resultados serão diferetes. Em cotraposição aos experimetos aleatórios, temos os experimetos determiísticos, que, repetidos sob as mesmas codições, coduzem a resultados idêticos. Neste curso, estaremos iteressados apeas os experimetos aleatórios. 1.. Espaço amostral O espaço amostral de um experimeto aleatório é o cojuto de todos os resultados possíveis do mesmo. Iremos deotar tal cojuto pela letra grega ômega maiúscula, Ω. Quado o espaço amostral for fiito ou ifiito eumerável, será chamado de espaço amostral discreto. Caso cotrário, isto é, quado Ω for ão eumerável, iremos chamá-lo de espaço amostral cotíuo.

1.. EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO 3 1..3 Evetos aleatórios Os subcojutos de Ω são chamados de evetos aleatórios e os elemetos de Ω são chamados de evetos elemetares. Os evetos, sedo cojutos, serão represetados por letras maiúsculas do osso alfabeto, equato os elemetos de um eveto serão represetados por letras miúsculas. EXEMPLO 1.1 Laçameto de uma moeda O laçameto de uma moeda é um experimeto aleatório, uma vez que, em cada laçameto, matidas as mesmas codições, ão podemos prever qual das duas faces (cara ou coroa) cairá para cima. Por outro lado, se colocarmos uma paela com água para ferver e aotarmos a temperatura de ebulição da água, o resultado será sempre 100 o C. Logo, este é um experimeto determiístico. EXEMPLO 1. Laçameto de um dado Cosideremos o experimeto aleatório laçameto de um dado. O espaço amostral é Ω {1,, 3, 4, 5, 6}, sedo, portato, um espaço discreto. Os evetos elemetares são {1}, {}, {3}, {4}, {5}, {6}. Outros evetos são: face par {, 4, 6}, face ímpar {1, 3, 5}, face ímpar meor que 5 {1, 3}, etc. EXEMPLO 1.3 Laçameto de duas moedas Cosideremos o laçameto simultâeo de duas moedas. Vamos represetar por K a ocorrêcia de cara e por C a ocorrêcia de coroa. Um espaço amostral para esse experimeto é Ω {K K, KC, CK, CC}, que também é um espaço discreto. Os evetos simples são {K K }, {KC}, {CK }, {CC} e um outro eveto é cara o primeiro laçameto {KC, K K }. Para esse mesmo experimeto, se estivermos iteressados apeas o úmero de caras, o espaço amostral poderá ser defiido como Ω {0, 1, }. EXEMPLO 1.4 Medição do ível de ruído Cosidere o experimeto que cosiste em medir, diariamete e durate um mês, em decibéis, o ível de ruído a vizihaça da obra de costrução do metrô em Ipaema. O espaço amostral associado a este experimeto é formado pelos úmeros reais positivos, sedo, portato, um espaço amostral cotíuo. Um eveto: observar íveis superiores a 80 decibéis, represetado pelo itervalo (80, ), que correspode a situações de muito barulho. EXEMPLO 1.5 Bolas em uma ura Uma ura cotém 4 bolas, das quais são bracas (umeradas de 1 a ) e são pretas (umeradas de 3 a 4). Duas bolas são retiradas dessa ura, sem reposição. Defia um espaço amostral apropriado para esse experimeto e os seguites evetos:

4 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS A : B : C : a primeira bola é braca; a seguda bola é braca; ambas as bolas são bracas; Solução Cosiderado a umeração das bolas, o espaço amostral pode ser defiido como: Ω {(i, j) : i 1,, 3, 4; j 1,, 3, 4; i j} {(1, ), (1, 3), (1, 4), (, 1), (, 3), (, 4), (3, 1), (3, ), (3, 4), (4, 1), (4, ), (4, 3)} Os evetos são: A {(i, j) : i 1, ; j 1,, 3, 4; i j} {(1, ), (1, 3), (1, 4), (, 1), (, 3), (, 4)} B {(i, j) : i 1,, 3, 4; j 1, ; i j} {(, 1), (3, 1), (4, 1), (1, ), (3, ), (4, )} C {(i, j) : i 1, ; j 1, ; i j} {(1, ), (, 1)} EXEMPLO 1.6 Cartas de um baralho Três cartas são retiradas, sem reposição, de um baralho que tem três cartas de cada uma das seguites cores: azul, vermelha, preta e braca. Dê um espaço amostral para esse experimeto e, em seguida, liste os evetos: A : B : C : D : todas as cartas selecioadas são vermelhas; uma carta vermelha, uma carta azul e uma carta preta são selecioadas; três diferetes cores ocorrem; todas as quatro cores ocorrem. Solução Vamos deotar por A, V, P e B as cores azul, vermelha, preta e braca, respectivamete. Etão, Ω {(x 1, x, x 3 ) : x i A, V, P, B; i 1,, 3} Os evetos são: A {(V, V, V )} B {(V, A, P), (V, P, A), (A, V, P), (A, P, V ), (P, V, A), (P, A, V )} C (V, A, P), (V, P, A), (A, V, P), (A, P, V ), (P, V, A), (P, A, V ), (V, A, B), (V, B, A), (A, V, B), (A, B, V ), (B, V, A), (B, A, V ), (V, B, P), (V, P, B), (B, V, P), (B, P, V ), (P, V, B), (P, B, V ), (B, A, P), (B, P, A), (A, B, P), (A, P, B), (P, B, A), (P, A, B)

1.3. OPERAÇÕES COM EVENTOS ALEATÓRIOS 5 Como temos quatro cores diferetes e apeas três extrações, ão é possível obter todas as cores. Logo, D 1.3 Operações com evetos aleatórios 1.3.1 Iterseção O eveto iterseção de dois evetos A e B é o que equivale à ocorrêcia simultâea de A e B (ver Figura 1.1). Seguido a otação da teoria de cojutos, a iterseção de dois evetos será represetada por A B. Figura 1.1 Iterseção de dois evetos: A B Note que x A B x A e x B (1.1) EXEMPLO 1.7 Laçameto de dois dados - cotiuação Cosideremos o experimeto laçameto de dois dados os evetos A soma das faces é um úmero par e B soma das faces é um úmero maior que 9. Calcule A B. Solução O espaço amostral desse experimeto, que tem 36 elemetos, é Ω {(1, 1), (1, ),..., (1, 6), (, 1),..., (, 6),..., (6, 6)} Para que um elemeto perteça à iterseção A B, ele tem de pertecer, simultaeamete, aos evetos A e B. O eveto B é B {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Dos seus elemetos, os úicos que pertecem ao eveto A, isto é, aqueles que têm soma das faces par, são os elemetos (4, 6), (5, 5), (6, 4) e (6, 6). Logo, A B {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (6, 6)}. Note que ão precisamos listar o eveto A, que tem 18 elemetos!

6 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS 1.3. Exclusão Dois evetos, A e B, são mutuamete exclusivos quado ão podem ocorrer simultaeamete, isto é, quado a ocorrêcia de um impossibilita a ocorrêcia do outro. Isso sigifica dizer que os evetos A e B ão têm elemetos em comum. Etão, esses dois evetos serão mutuamete exclusivos quado sua iterseção for o cojuto vazio, ou seja, A B (ver Figura 1.). Figura 1. Evetos mutuamete exclusivos: A B EXEMPLO 1.8 Laçameto de dois dados Cosideremos, ovamete, o experimeto laçameto de dois dados Ṡejam os evetos A soma das faces é ímpar e B duas faces iguais. Etão, A e B são mutuamete exclusivos, porque a soma de dois úmeros iguais é sempre um úmero par. 1.3.3 Uião A uião de dois evetos A e B é o eveto que correspode à ocorrêcia de pelo meos um deles. Note que isso sigifica que pode ocorrer apeas A, ou apeas B, ou A e B simultaeamete. Esse eveto será represetado por A B; (ver Figura 1.3). Figura 1.3 Uião de dois evetos: A B Observe que x A B x A ou x B (1.) EXEMPLO 1.9 Laçameto de duas moedas

1.3. OPERAÇÕES COM EVENTOS ALEATÓRIOS 7 Cosideremos o experimeto laçameto de duas moedas, em que o espaço amostral é Ω {K K, KC, CK, CC}. Sejam os evetos A ocorrêcia de exatamete 1 cara e B duas faces iguais. Etão A {KC, CK } e B {CC, K K } ; logo, A B Ω e A B. Seja C o eveto pelo meos uma cara e, etão, C {KC, CK, K K } e B C Ω e B C {K K }. 1.3.4 Complemetação O complemetar de um eveto A, deotado por A ou A c, é a egação de A. Etão, o complemetar de A é formado pelos elemetos que ão pertecem a A (ver Figura 1.4). Figura 1.4 Complemetar do eveto A A Observe que e também que x A x / A (1.3) A A Ω (1.4) EXEMPLO 1.10 Laçameto de um dado Cosideremos o experimeto laçameto de um dado e seja A face par. Etão, A é o eveto face ímpar. Note que A {, 4, 6} e A {1, 3, 5} e Ω A A. 1.3.5 Difereça A difereça etre dois evetos A e B, represetada por A \ B, é o eveto formado pelos elemetos do espaço amostral que pertecem a A, mas ão pertecem a B (ver Figura 1.5). Perceba que podemos pesar em A \ B como o complemetar de B relativo ao eveto A. Note que e também que x A \ B x A e x / B x A B (1.5) Além disso, A \ B B \ A, coforme ilustrado a Figura 1.6. A (A \ B) (A B) (1.6) De maeira aáloga, B \ A é o complemetar de A relativo ao eveto B.

8 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS Figura 1.5 Difereça A \ B Figura 1.6 Difereça B \ A EXEMPLO 1.11 Laçameto de dois dados Cosideremos, ovamete, o laçameto de dois dados e os evetos A soma das faces é par e B soma das faces é maior que 9. Vamos cosiderar as duas difereças, A \ B e B \ A. Temos { } (1, 1), (1, 3), (1, 5), (, ), (, 4), (, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), A (4, ), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, ), (6, 4), (6, 6) B {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Logo, A\B { (1, 1), (1, 3), (1, 5), (, ), (, 4), (, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, ), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (6, ) } B\A {(5, 6), (6, 5)} 1.3.6 Propriedades das operações Sejam A, B, C evetos de um espaço amostral Ω. Etão, valem as seguites propriedades. 1. Idetidade A A Ω Ω (1.7)

1.3. OPERAÇÕES COM EVENTOS ALEATÓRIOS 9 A A A Ω A (1.8) Note que Ω é o equivalete do cojuto uiversal da teoria de cojutos.. Complemetar Ω Ω (1.9) A A A A Ω (1.10) 3. Ivolução A (A c ) c A 4. Idempotêcia A A A A A A (1.11) 5. Comutatividade A B B A A B B A (1.1) 6. Associatividade (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) (1.13) 7. Distributividade A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (1.14) A ilustração da primeira propriedade está a Figura 1.7. Na liha superior, ilustramos o lado esquerdo da igualdade A (B C): o diagrama à esquerda, temos o eveto A e, o diagrama do cetro, o eveto B C. Para assialar a iterseção desses dois evetos, basta cosiderar as partes que estão sombreadas em ambos os diagramas, o que resulta o diagrama à direita, ode temos o eveto A (B C). Na liha iferior, ilustramos o lado direito da igualdade (A B) (A C): o diagrama à esquerda, temos o eveto A B e, o diagrama do cetro, o eveto A C. Para determiar a uião desses dois evetos, basta cosiderar todas as partes que estão sombreadas em algum dos diagramas, o que resulta o diagrama à direita, ode temos o eveto (A B) (A C). Aalisado os diagramas à direita as duas lihas da figura, vemos que A (B C) (A B) (A C).

10 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS A B A B A B C C C A B A B A B C C C Figura 1.7 Ilustração da propriedade distributiva: A (B C) (A B) (A C) A ilustração da seguda propriedade está a Figura 1.8. Na liha superior, ilustramos o lado esquerdo da igualdade A (B C): o diagrama à esquerda, temos o eveto A e, o diagrama do cetro, o eveto B C. Para determiar a uião desses dois evetos, basta tomar todas as partes que estão sombreadas em algum dos diagramas, o que resulta o diagrama à direita, ode temos o eveto A (B C). Na liha iferior, ilustramos o lado direito da igualdade (A B) (A C): o diagrama à esquerda, temos o eveto A B e, o diagrama do cetro, o eveto A C. Para determiar a iterseção desses dois evetos, basta cosiderar todas as partes que estão sombreadas em ambos os diagramas e isso resulta o diagrama à direita, ode temos o eveto (A B) (A C). Aalisado os diagramas à direita as duas lihas da figura, vemos que A (B C) (A B) (A C). 8. Absorção A (A B) A A (A B) A (1.15) 9. Leis de De Morga A B A B A B A B (1.16) Na primeira liha da Figura 1.9, ilustra-se a primeira propriedade A B A B. Observe que, o diagrama à esquerda, temos o eveto A B. Já os dois diagramas cetrais, temos, respectivamete, A e B; e o diagrama à direita, A B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja, A B A B.

1.3. OPERAÇÕES COM EVENTOS ALEATÓRIOS 11 A B A B A B C C C A B A B A B C C C Figura 1.8 Ilustração da propriedade distributiva: A (B C) (A B) (A C) Na seguda liha da Figura 1.9, ilustra-se a seguda propriedade A B A B: o diagrama à esquerda temos A B; os dois diagramas cetrais, respectivamete, A e B; e o diagrama à direita, A B, que é igual ao diagrama à esquerda, ou seja, A B A B. A B A B A B A B Figura 1.9 Ilustração das leis de De Morga

1 CAPÍTULO 1. PROBABILIDADE: CONCEITOS BÁSICOS

Capítulo Probabilidade: axiomas e propriedades.1 Itrodução Cosidere, mais uma vez, o experimeto aleatório que cosiste o laçameto de um dado equilibrado. Como já visto, o espaço amostral desse experimeto é Ω {1,, 3, 4, 5, 6}, e algus evetos de iteresse são A sair face, B sair face par, etc. A questão que se coloca, agora, é como atribuir probabilidade a esses evetos. Ou seja, queremos determiar um úmero que expresse a verossimilhaça de cada um desses evetos. Uma solução seria laçar o dado um grade úmero de vezes e observar a proporção dos laçametos que resultam o eveto A. Se deotarmos por (A) o úmero de vezes que ocorreu o eveto A em laçametos, a defiição de probabilidade com base a frequêcia relativa é (A) P(A) lim Essa defiição tem algus problemas, a saber: quão grade deve ser? quem garate que a razão (A) coverge e coverge sempre para o mesmo úmero cada vez que repetimos o experimeto? Temos que buscar, etão, uma ova forma de defiir probabilidade.. Defiição axiomática de probabilidade A abordagem que adotaremos será a utilização da defiição axiomática da probabilidade. Isto é, vamos estabelecer algumas propriedades míimas que se espera sejam satisfeitas pela probabilidade de qualquer eveto. Tais propriedades são os axiomas da probabilidade. 1. A título de motivação, vamos usar o experimeto do laçameto de um dado, bem como 1 Axioma: (1) Premissa imediatamete evidete que se admite como uiversalmete verdadeira sem exigêcia de demostração. () Proposição que se admite como verdadeira porque dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático. (dicioário Aurélio)

14 CAPÍTULO. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES a defiição frequetista vista acima. A primeira observação que podemos fazer é a seguite: dado um experimeto aleatório, desejamos atribuir probabilidade aos evetos do respectivo espaço amostral, ou seja, para cada eveto, queremos determiar um úmero que idique a probabilidade desse eveto. Assim, probabilidade é uma fução defiida o cojuto de todos os evetos de um espaço amostral Ω. Vamos deotar tal fução por P. Uma primeira propriedade bastate ituitiva é que a probabilidade de qualquer eveto deve ser um úmero ão egativo, ou seja, para qualquer eveto A, P(A) 0. Para apresetar a seguda propriedade, cosidere o seguite eveto associado ao experimeto do laçameto de um dado: C face meor que 7. É bastate ituitivo ver que, ao laçarmos um dado, sempre obteremos uma face meor que 7, ou seja, a proporção de vezes que obteremos o eveto C será sempre 1, ão importa quatas vezes lacemos o dado. Note, também, que C Ω. Assim, a seguda propriedade que vamos exigir da probabilidade é que P(Ω) 1. A terceira propriedade evolve a uião de evetos mutuamete exclusivos. Vimos que, se A B, etão (A B) (A) + (B) e, assim, a defiição frequetista da probabilidade os daria que P(A B) P(A) + P(B). Esse é o terceiro e último axioma que precisamos para defiir probabilidade. DEFINIÇÃO Defiição axiomática de probabilidade Seja Ω um espaço amostral associado a um experimeto aleatório. Probabilidade é uma fução, deotada por P, que associa a cada eveto A de Ω um úmero real P(A), que satisfaz os seguites axiomas: I. Axioma 1: P(A) 0 II. Axioma : P(Ω) 1 III. Axioma 3: A B P(A B) P(A) + P(B) III. Vamos, agora, apresetar propriedades da probabilidade que resultam dos Axiomas I a 1. P( ) 0 Demostração Temos que Ω Ω e como Ω, podemos aplicar o Axioma III para obter que P(Ω) P(Ω) + P( ), de ode segue que P( ) 0.. P(A) 1 P(A) Demostração

.. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE 15 Temos que Ω A A e como A A, podemos aplicar o Axioma III para obter que P(Ω) P(A) + P(A) e o Axioma II os dá que 1 P(A) + P(A), de ode segue o resultado. 3. P(A \ B) P(A B) P(A) P(A B) Demostração Veja a Figura.1 para visualizar melhor esse resultado. É um erro comum pesar que P(A \ B) P(A) P(B), o que pode resultar em uma probabilidade egativa. O eveto A \ B é a parte sombreada mais escura; a parte sombreada mais clara correspode a A B e o eveto A é a uião dessas duas partes, ou seja, A (A \ B) (A B) de ode segue o resultado pela aplicação do Axioma III, já que as partes sombreadas ão têm iterseção. Figura.1 Difereça de dois evetos A \ B A B. Volte à Figura.1 para ver que o eveto B\A B A correspode à parte ão sombreada do eveto B e que P(B \ A) P(B A) P(B) P(A B) 4. Para dois evetos A e B quaisquer, Demostração P(A B) P(A) + P(B) P(A B). Note que esse resultado geeraliza o Axioma III para dois evetos quaisquer, ou seja, ão estamos exigido que A e B sejam mutuamete exclusivos. Veja a Figura.: Toda a parte sombreada represeta a uião dos dois evetos, que pode ser decomposta as duas partes com diferetes sombreametos, isto é, A B (A \ B) B. Como (A \ B) B, o Axioma III os dá que como cosequêcia da Propriedade 3. P(A B) P(A \ B) + P(B) P(A B) P(A) P(A B) + P(B) Note que, se somássemos P(A) + P(B) estaríamos cotado duas vezes a probabilidade da iterseção, daí o resultado.

16 CAPÍTULO. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES Figura. Uião de dois evetos quaisquer A B 5. Se B A, etão P(B) P(A). Demostração Veja a Figura.3; ote que B A A B (A \ B) P(A) P(B) + P(A \ B) P(A) P(B) uma vez que P(A \ B) 0. Figura.3 B A 6. P(A) 1 para qualquer eveto A Ω. Demostração Esse resultado é cosequêcia imediata da propriedade aterior, uma vez que A Ω P(A) P(Ω) 1 Eis um resumo dos axiomas e propriedades da probabilidade:

.3. ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS E EQUIPROVÁVEIS 17 Axiomas P(A) 0 P(Ω) 1 A B P(A B) P(A) + P(B) Propriedades P( ) 0 P(A) 1 P(A) P(A \ B) P(A B) P(A) P(A B) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) A B P(A) P(B) P(A) 1.3 Espaços amostrais fiitos e equiprováveis Vamos cosiderar, agora, uma situação especial, em que o espaço amostral Ω é fiito e todos os seus evetos elemetares são igualmete prováveis. Esse cotexto leva à defiição clássica de probabilidade, que foi a primeira defiição formal de probabilidade, explicitada por Girolamo Cardao (1501-1576). Sejam E 1, E, E N os evetos elemetares de Ω. Etão, Ω E 1 E E N e esses evetos elemetares são mutuamete exclusivos dois a dois. idução, que Pode-se provar, por P(Ω) 1 P(E 1 E E N ) P(E 1 ) + P(E ) + + P(E N ) Como estamos supodo que todos eles são igualmete prováveis, resulta P(E i ) 1 N 1 (Ω) i Mas, qualquer eveto A Ω pode ser escrito como uião de evetos elemetares. Logo, P(A) (A) (Ω

18 CAPÍTULO. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES DEFINIÇÃO Defiição clássica de probabilidade Seja Ω um espaço amostral fiito, cujos evetos elemetares são todos igualmete prováveis, isto é, podemos escrever Ω E 1 E E N ode Etão, para qualquer eveto A Ω, P(E i ) 1 N 1 (Ω) i P(A) (A) (Ω) EXEMPLO.1 Laçameto de um dado No laçameto de um dado, qual é a probabilidade de se obter face maior que 4? Solução Note que esse é um espaço amostral fiito em que os evetos elemetares são igualmete prováveis, pois estamos supodo que o dado seja hoesto. Já sabemos que (Ω) 6 e que o eveto de iteresse é A {5, 6). Logo, P(A) 6 1 3. EXEMPLO. Carta de um baralho Cosidere um baralho usual composto de 5 cartas divididas em 4 aipes: ouros, copas, paus e espadas, cada aipe com 13 cartas. As cartas dos primeiros aipes são vermelhas e as dos dois últimos, pretas. Em cada aipe, as cartas podem ser Ás,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valete, Dama e Rei. Essas três últimas são figuras que represetam a realeza. Retira-se, ao acaso, uma carta desse baralho. Qual é a probabilidade de que seja (a) uma figura? (b) uma carta preta? (c) uma figura ou uma carta preta? Solução Temos um espaço amostral fiito em que os evetos elemetares são igualmete prováveis, pois estamos retirado a carta aleatoriamete. Como há 5 cartas ao todo,

.3. ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS E EQUIPROVÁVEIS 19 (Ω) 5. Vamos deotar por F o eveto carta retirada é uma figura e por P o eveto carta retirada é preta. (a) Em cada um dos 4 aipes há três figuras. Logo, o úmero total de figuras é 4 3, ou seja, (F) 1. Logo, P(F) 1 5 3 13. (b) Metade das cartas é de cor preta. Logo, P(P) 6 5 1. P(F P) P(F) + P(P) P(F P) 1 5 + 6 5 6 5 3 5 8 13

0 CAPÍTULO. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES EXEMPLO.3 Escolha de um úmero Um úmero é escolhido etre os 0 primeiros iteiros, de 1 a 0. Qual é a probabilidade de que o úmero escolhido seja (a) par? (b) primo? (c) quadrado perfeito? Solução Temos um espaço amostral fiito com evetos elemetares equiprováveis, pois estamos escolhedo o úmero aleatoriamete. (a) Vamos deotar por P o eveto úmero par. Logo, (b) Seja R o eveto úmero primo P {, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, 0} P(P) 10 0 1 (c) Se Q é o eveto quadrado perfeito, etão, R {1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} P(R) 8 0 5 Q {1, 4, 9, 16} P(Q) 4 0 1 5 EXEMPLO.4 Bolas em uma ura Uma ura cotém 6 bolas pretas, bolas bracas e 8 bolas verdes. Uma bola é escolhid,a ao acaso, desta ura. Qual é a probabilidade de que essa bola (a) ão seja verde? (b) seja braca? (c) ão seja em braca em verde? Solução Temos um total de 6 + + 8 16 bolas. Logo, (Ω) 16. Vamos deotar por P, B, V os evetos bola preta, braca e verde, respectivamete.

.3. ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS E EQUIPROVÁVEIS 1 (a) Queremos a probabilidade de V, ou seja, do complemetar de V. (b) P(V ) 1 P(V ) 1 8 16 8 16 1 P(B) (B) (Ω) 16 1 8. (c) Se a bola ão é braca em verde, ela tem de ser preta. Observe que estamos pedido P(B V ). Pela lei de De Morga e pela Propriedade e Axioma III, temos P(B V ) P(B V ) 1 P(B V ) 1 [P(B) + P(V )] 1 16 8 16 6 16 3 8 P(P) EXEMPLO.5 Laçameto de dois dados Cosideremos, ovamete, o laçameto de dois dados e vamos defiir os seguites evetos: A soma das faces par, B soma das faces maior que 9, C soma das faces ímpar meor que 9. Agora vamos calcular a probabilidade de tais evetos. Solução A visualização do espaço amostral desse experimeto pode ser vista a tabela a seguir, ode, para cada par possível de resultados, apresetamos também a soma das faces: Dado 1 3 4 5 6 1 (1, 1) (1, ) 3 (1, 3) 4 (1, 4) 5 (1, 5) 6 (1, 6) 7 (, 1) 3 (, ) 4 (, 3) 5 (, 4) 6 (, 5) 7 (, 6) 8 Dado 3 (3, 1) 4 (3, ) 5 (3, 3) 6 (3, 4) 7 (3, 5) 8 (3, 6) 9 1 4 (4, 1) 5 (4, ) 6 (4, 3) 7 (4, 4) 8 (4, 5) 9 (4, 6) 10 5 (5, 1) 6 (5, ) 7 (5, 3) 8 (5, 4) 9 (5, 5) 10 (5, 6) 11 6 (6, 1) 7 (6, ) 8 (6, 3) 9 (6, 4) 10 (6, 5) 11 (6, 6) 1 Podemos ver que : Ω A (1, 1), (1, ), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (, 1), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (3, 1), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) (1, 1), (1, 3), (1, 5), (, ), (, 4), (, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, ), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, ), (6, 4), (6, 6) (Ω) 36 (A) 18

CAPÍTULO. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES Logo, B {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} (B) 6 { } (1, ), (1, 4), (1, 6), (, 1), (, 3), (, 5), C (C) 1 (3, ), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (5, ), (6, 1), P (A) 18 36 1 P (B) 6 36 1 6 P (C) 1 36 1 3 EXEMPLO.6 Bolas de uma ura Em uma ura,há 4 bolas bracas e 3 verdes. Duas bolas são retiradas dessa ura, seqüecialmete e sem reposição. Qual é a probabilidade de obtermos (a) bolas bracas? (b) bolas verdes? (c) bolas de cores diferetes? Solução Vamos idicar por B 1, B, B 3 e B 4 as quatro bolas bracas e por V 1, V e V 3 as três bolas verdes. O espaço amostral para este experimeto é Ω {(C 1, C ); C 1, C B 1, B, B 3, B 4, V 1, V, V 3 ; C 1 C } A primeira bola pode ser qualquer uma, logo, há 7 bolas possíveis. Como a extração é sem reposição, para a seguda bola, só há 6 possibilidades. Assim, o úmero total de pares é 7 6 4, ou seja, (Ω) 4. (a) Para os pares do eveto A bolas bracas, a primeira bola pode ser qualquer uma das bracas, e a seguda, qualquer uma das bracas restates. Logo, (b) Aalogamete, se B bolas verdes, (A) 4 3 P(A) 1 4 7 (B) 3 P(B) 6 4 1 7 (c) O eveto C bolas de cores diferetes é o complemetar do eveto D bolas de cores iguais. Por sua vez, D A B, e assim, como A e B são mutuamete exclusivos, temos P(D) P(A) + P(B) 7 + 1 7 3 7 P(C) 1 P(D) 1 3 7 4 7

.3. ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS E EQUIPROVÁVEIS 3 EXEMPLO.7 Extração de bolas de uma ura É iteressate otar o seguite fato sobre a extração das bolas: em vez de fazermos extrações sequeciais, podemos retirar bolas simultaeamete. Em ambos os casos, as extrações são sem reposição, ou seja, a mesma bola ão pode sair duas vezes. O que muda, etão? Solução Nas extrações simultâeas, ão podemos difereciar a ordem das bolas: por exemplo, os pares V 1 V e V V 1 são os mesmos. Dessa forma, a cardialidade do espaço amostral fica reduzida por, que é!, úmero de maeiras de orgaizar as bolas. Se fossem 3 bolas, ficaria reduzido por 3! 6. Para ajudar a compreesão dessa difereça, vamos listar o espaço amostral os dois casos, bem como os evetos que estudamos. Eveto Extrações sequeciais Eveto Extrações simultâeas bolas B 1 B, B 1 B 3, B 1 B 4, bolas B 1 B, B 1 B 3, B 1 B 4, bracas B B 1, B B 3, B B 4, bracas B B 3, B B 4, B 3 B 1, B 3 B, B 3 B 4, B 3 B 4, B 4 B 1, B 4 B, B 4 B 3, bolas V 1 V, V 1 V 3, bolas V 1 V, V 1 V 3, verdes V V 1, V V 3, verdes V V 3, V 3 V 1, V 3 V, Braca B 1 V 1, B 1 V, B 1 V 3, Uma B 1 V 1, B 1 V, B 1 V 3, e verde B V 1, B V, B V 3, braca B V 1, B V, B V 3, B 3 V 1, B 3 V, B 3 V 3, e uma B 3 V 1, B 3 V, B 3 V 3, B 4 V 1, B 4 V, B 4 V 3, verde B 4 V 1, B 4 V, B 4 V 3 Verde V 1 B 1, V 1 B, V 1 B 3, V 1 B 4, e V B 1, V B, V B 3, V B 4, braca V 3 B 1, V 3 B, V 3 B 3, V 3 B 4 Note que as probabilidades são as mesmas em ambos os casos: Extrações sequeciais 6 4 1 7 P( verdes) P( bracas) P(cores diferetes) 1 4 7 4 4 4 7 Extrações simultâeas 3 1 1 7 6 1 7 1 1 4 7 EXEMPLO.8 Ou exclusivo Prove que: P [( A B ) ( A B )] P(A) + P(B) P(A B) Observe que a afirmação trata da probabilidade da ocorrêcia de exatamete um dos evetos A ou B. Solução

4 CAPÍTULO. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES Pela Propriedade 3, temos que P ( A B ) P(A) P (A B) P ( A B ) P(B) P (A B) Somado essas igualdades termo a termo, obtém-se que: P ( A B ) + P ( A B ) P(A) P (A B) + P(B) P (A B) Como A B e A B são mutuamete exclusivos, a soma de suas probabilidades é a probabilidade da sua uião, ou seja, P ( A B ) + P ( A B ) P [( A B ) ( A B )] Logo, P [( A B ) ( A B )] P(A) + P(B) P (A B) EXEMPLO.9 Questões certas em uma prova prova Em uma prova, caíram dois problemas. Sabe-se que 13 aluos acertaram o primeiro, 86 erraram o segudo, 10 acertaram os dois e 54 acertaram apeas um. Sorteado-se, ao acaso, um desses aluos, qual é a probabilidade de que o sorteado: (a) ão teha acertado qualquer um dos dois problemas? (b) teha acertado apeas o segudo problema? Solução Vamos deotar por P 1 e P os evetos acertar problema 1 e acertar problema respectivamete. Os dados do problema os dão que: (P 1 P ) 10 (acertar os ) (P 1 ) 13 (acertar o primeiro) (P ) 86 (errar o segudo) [( P 1 P ) (P1 P ) ] 54 (acertar apeas um) Usado o resultado do exemplo aterior, tem-se que: [( P 1 P ) (P1 P ) ] (P 1 ) + (P ) (P 1 P ) Logo, o úmero total de aluos é 54 13 + (P ) 10 (P ) 16 (Ω) (P P ) (P ) + (P ) 16 + 86 48

.3. ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS E EQUIPROVÁVEIS 5 (a) Pela lei de De Morga, tem-se que: (b) Pela Propriedade 3, tem-se que: P ( P 1 P ) P ( P1 P ) 1 P (P1 P ) 1 [P(P 1 ) + P(P ) P(P 1 P )] 1 13 48 16 48 + 10 48 74 48 37 14 P ( P P 1 ) P(P ) P(P 1 P ) 16 10 48 4 48 1 14 EXEMPLO.10 Atribuição de probabilidade Dado que Ω { 1, 0, 1}, verifique se é possível defiir uma medida de probabilidade em Ω tal que Justifique sua resposta. Solução P ({ 1, 1}) 0, 6 P ({0, 1}) 0, 9 P ({ 1, 0}) 0, 5 Note que o eveto { 1, 1} { 1} {1}. Logo, as probabilidades dadas se trasformam o seguite sistema de 3 equações com 3 icógitas: P ( 1) + P(1) 0, 6 P(0) + P(1) 0, 9 P( 1) + P(0) 0, 5 Da primeira equação, obtemos P(1) 0, 6 P( 1). Substituido a seguda, obtemos o seguite sistema de equações e icógitas: ou Somado termo a termo, resulta P(0) + 0, 6 P( 1) 0, 9 P( 1) + P(0) 0, 5 P(0) P( 1) 0, 3 P(0) + P( 1) 0, 5 P(0) 0, 8 P(0) 0, 4

6 CAPÍTULO. PROBABILIDADE: AXIOMAS E PROPRIEDADES Substituido, obtemos P( 1) 0, 5 P(0) 0, 5 0, 4 P( 1) 0, 1 Substituido ovamete, obtemos P(1) 0, 6 P( 1) 0, 6 0, 1 0, 5 Como todos os valores obtidos estão o itervalo (0, 1), a atribuição dada é válida.

Capítulo 3 Probabilidade codicioal e idepedêcia de evetos 3.1 Probabilidade codicioal Cosideremos o laçameto de um dado equilibrado e o eveto A sair face. Já vimos que o espaço amostral desse experimeto é Ω {1,, 3, 4, 5, 6} e, se ão tivermos qualquer iformação além de o dado ser equilibrado, P(A) 1 6. Supohamos, agora, que o dado teha sido laçado e a seguite iformação forecida: saiu face par. Qual é a probabilidade de ter saído face? Note a difereça: agora ós temos uma iformação parcial sobre o experimeto e devemos usá-la para reavaliar a ossa estimativa. Mais precisamete, sabemos que ocorreu o eveto B face par. Com essa iformação, podemos os cocetrar o eveto B {, 4, 6}, uma vez que as faces 1, 3, 5 ficam descartadas em fução da iformação dada. Detro dessas três possibilidades, a probabilidade do eveto A passa a ser 1 3. Calculamos, assim, a probabilidade do eveto A, sabedo que ocorreu o eveto B. Essa probabilidade será deotada P (A B) (lê-se probabilidade de A dado B). Cosideremos, agora, o laçameto de dois dados equilibrados e os evetos A soma das faces é par e B soma das faces é maior ou igual a 9. Se sabemos que ocorreu B, qual é a probabilidade de ter ocorrido A? Queremos calcular P(A B). Temos que { (1, 1), (1, 3), (1, 5), (, ), (, 4), (, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), A (4, ), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, ), (6, 4), (6, 6) } B {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Se ocorreu B, a úica chace de ter ocorrido A é que teha ocorrido o eveto A B {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (6, 6)}

8 CAPÍTULO 3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS e, esse caso, a probabilidade é 4 10, ou seja, P(A B) 4 10 4 36 10 36 P(A B) P(B) Esses dois exemplos ilustram o fato geral que está represetado a Figura 3.1. Se sabemos que acoteceu o eveto B, esse eveto passa a ser o ovo espaço amostral e, esse ovo espaço amostral, a úica parte de A presete é A B a parte sombreada mais clara. Figura 3.1 Probabilidade codicioal P(A B). Com esses exemplos, ilustramos uma situação bastate comum, em que temos de calcular a probabilidade de um eveto tedo uma iformação parcial. Esse é o coceito de probabilidade codicioal. DEFINIÇÃO Probabilidade codicioal A probabilidade codicioal do eveto A, dada a ocorrêcia do eveto B, é P(A B) P (A B) P (B) Note que, essa defiição, temos que supor que o eveto B é um eveto possível, já que ele ocorreu. Logo, é óbvio que P(B) > 0. EXEMPLO 3.1 Gêero e esporte Um grupo de 100 aluos foi classificado quato ao sexo e à atividade de lazer preferida, obtedo-se a distribuição dada a tabela a seguir.

3.1. PROBABILIDADE CONDICIONAL 9 Sexo Atividade de lazer Ciema Praia Esporte Total Masculio 10 1 13 35 Femiio 15 41 9 65 Total 5 53 100 1. Qual é a probabilidade de que uma pessoa, escolhida ao acaso esse grupo, seja do sexo masculio?. Se a pessoa escolhida preferir a praia como atividade de lazer, qual será a probabilidade de ser um homem? Solução Vamos defiir os seguites evetos: M masculio ; F femiio ; C ciema ; P praia ; E esporte. 1. O problema pede P(M). Como há 35 homes detre as 100 pessoas,. O problema pede P(M P). Por defiição, P(M) 35 0, 35 100 P(M P) P(M P) P(P) 1 100 53 100 1 0, 64 53 Note que a probabilidade do eveto aluo do sexo masculio se modifica quado sabemos que a pessoa prefere ir à praia como atividade de lazer. EXEMPLO 3. Aposetadoria De um total de 500 empregados de uma empresa, 00 possuem plao pessoal de aposetadoria complemetar, 400 cotam com o plao de aposetadoria complemetar oferecido pela empresa e 00 empregados possuem ambos os plaos. Sorteia-se, aleatoriamete, um empregado dessa empresa. (a) Qual é a probabilidade de que ele teha algum plao de aposetadoria complemetar? (b) Qual é a probabilidade de que ele ão possua qualquer plao de aposetadoria complemetar? (c) Se o empregado cota com o plao de aposetadoria complemetar oferecido pela empresa, qual é a probabilidade de que ele teha plao pessoal de aposetadoria complemetar?

30 CAPÍTULO 3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS (d) Se o empregado tem plao pessoal de aposetadoria complemetar, qual é a probabilidade de que ele cote com o plao de aposetadoria complemetar da empresa? Solução Vamos deotar por E o eveto empregado tem o plao aposetadoria complemetar da empresa e por P o eveto empregado possui plao pessoal de aposetadoria complemetar. O problema diz que P(P) 00 500 5 P(E) 400 500 4 5 P(P E) 00 500 5 Note que essas iformações podem ser dispostas em forma de tabela, como podemos ver a seguir: Plao pessoal Total Sim Não Plao da Sim 00 00 400 Empresa Não 0 100 100 Total 00 300 500 Os úmeros em egrito são as iformações dadas o problema. observado-se os totais de liha e de colua. O restate é calculado (a) O problema pede P(P E) P(P) + P(E) P(P E) 5 + 4 5 5 4 5 (b) O problema pede P(P E) P(P E) 1 P(P E) 1 4 5 1 5 (c) O problema pede (d) O problema pede P(P E) P(E P) P(P E) P(E) P(P E) P(P) 5 4 5 5 5 1 1 EXEMPLO 3.3 Campaha publicitária A probabilidade de que uma ova campaha publicitária fique prota ates do prazo estipulado pela diretoria foi estimada em 0,60. A probabilidade de que a diretoria aprove essa campaha é de 0,50. A probabilidade de que ambos os objetivos sejam atigidos é 0,30.

3.1. PROBABILIDADE CONDICIONAL 31 (a) Qual é a probabilidade de que pelo meos um dos objetivos seja atigido? (b) Qual é a probabilidade de que ehum objetivo seja atigido? (c) Se a campaha ficar prota ates do prazo estipulado, qual é a probabilidade de ela ser a provada pela diretoria? Solução Vamos defiir os evetos P campaha prota ates do prazo e A diretoria aprova campaha. O problema forece as seguites iformações: P(P) 0, 6 P(A) 0, 5 P(A P) 0, 3 (a) P(A P) P(A) + P(P) P(A P) 0, 6 + 0, 5 0, 3 0, 8 (b) P(A P) P(A P) 1 P(A P) 0, (c) P(A P) P(A P) P(P) 0, 3 0, 6 0, 5. É iteressate otar que a probabilidade codicioal apresetada acima realmete defie uma lei de probabilidade, ou seja, a fução que associa o úmero P(A B) a cada eveto A de Ω satisfaz os axiomas de probabilidade. De fato: Axioma 1: P(A B) P(A B) P(B) 0 pois P(A B) 0 e P(B) > 0. Axioma : P(Ω B) P(Ω B) P(B) P(B) P(B) 1 Na verdade, como P(B B) P(B) 1, toda a probabilidade codicioal está cocetrada P(B) em B, o que justifica cosiderarmos B como o ovo espaço amostral para essa ova lei de probabilidade. Axioma 3: Sejam A 1 e A dois evetos mutuamete exclusivos (veja a Figura 3.). Usado a propriedade distributiva, temos P(A 1 A B) P[(A 1 A ) B] P(B) P[(A 1 B) (A B)] P(B)

3 CAPÍTULO 3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS Figura 3. P(A 1 A B) P(A 1 B) + P(A B). Mas, como A 1 e A são mutuamete exclusivos, resulta que (A 1 B) e (A B) também o são esses dois evetos correspodem à parte sombreada mais clara da figura. Logo, P(A 1 A B) P[(A 1 B) (A B)] P(B) P(A 1 B) + P(A B) P(B) P(A 1 B) + P(A B) P(B) P(B) P(A 1 B) + P(A B) Sedo a probabilidade codicioal uma lei de probabilidade, todas as propriedades vistas ateriormete, que eram cosequêcia dos axiomas, valem também para a probabilidade codicioal. A propriedade que usaremos com maior frequêcia é P(A B) 1 P(A B). Observe que a defiição de probabilidade codicioal está viculada ao eveto B ao qual estamos codicioado. Ou seja, se codicioarmos a outro eveto C, estaremos defiido uma outra fução de probabilidade a fução de probabilidade codicioal em C. 3.1.1 Regra da multiplicação A defiição de probabilidade codicioal leva a um resultado importate, cohecido como regra da multiplicação.

3.1. PROBABILIDADE CONDICIONAL 33! Regra da multiplicação para dois evetos Sejam A e B evetos de um espaço amostral Ω. Etão, P(B) P(A B) P(A B) P(A) P(B A) Esse resultado os permite calcular a probabilidade da iterseção de dois evetos e é muito útil para modelar experimetos que têm caráter sequecial, isto é, que são executados em etapas, uma seguida da outra. Em tais situações, pode ser útil desehar um diagrama de árvore para ilustrar os evetos em questão. Vamos ver algus exemplos. EXEMPLO 3.4 Radar Se um avião está presete em determiada área, um radar detecta sua preseça com probabilidade 0,99. No etato, se o avião ão está presete, o radar detecta erradamete a preseça de um avião com probabilidade 0,0. A probabilidade de um avião estar presete essa área é de 0,05. Qual é a probabilidade de um falso alarme? Qual é a probabilidade de o radar deixar de detectar um avião? (Note que esses são os dois erros possíveis essa situação.) Solução Vamos defiir os evetos a seguir. Os evetos complemetares são: A avião presete D radar detecta preseça de avião A avião ão está presete D radar ão detecta avião O problema os forece as seguites iformações: Pr (D A) 0, 99 Pr ( D A ) 0, 0 Pr(A) 0, 05 Pela lei do eveto complemetar, temos que Pr ( D A ) 0, 01 Pr ( D A ) 0, 98 Pr(A) 0, 95 Na Figura 3.3, este experimeto é ilustrado através de um diagrama de árvore. Cada ó a árvore correspode à ocorrêcia de um eveto codicioada à ocorrêcia de todos os evetos represetados pelos ós ateriores o camiho correspodete. Assim, a parte superior da

34 CAPÍTULO 3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS Figura 3.3 Problema do radar árvore correspode à ocorrêcia do eveto radar detecta avião, codicioada à ocorrêcia do eveto avião presete. Já a parte iferior correspode à ocorrêcia do eveto radar ão detecta avião, codicioada à ocorrêcia do eveto avião ão está presete. O problema pede Pr(D A) Pr(D A) falso alarme Pela regra da multiplicação, temos: P(D A) P ( A ) P ( D A ) 0, 95 0, 0 0, 019 P(D A) P (A) P ( D A ) 0, 05 0, 01 0, 0005 Note que a probabilidade de um erro é a soma dessas probabilidades. EXEMPLO 3.5 Extração de cartas Cosidere que duas cartas de um baralho (13 cartas de cada um dos aipes copas, paus, ouros, espadas) sejam extraídas, sem reposição, uma depois da outra. Qual é a probabilidade de (a) ehuma das duas ser de copas? (b) pelo meos uma carta ser de copas? Solução

3.1. PROBABILIDADE CONDICIONAL 35 Para solucioar esse problema, devemos otar que as cartas o baralho são igualmete prováveis, ates e depois da primeira extração. Vamos defiir os seguites evetos: C 1 copas a primeira extração C copas a seguda extração Na Figura 3.4, temos o diagrama de árvore que represeta esse experimeto. Figura 3.4 Extração de cartas de um baralho A parte superior da árvore correspode à ocorrêcia de copas a primeira extração eveto C 1 e a parte iferior à ão-ocorrêcia de copas a primeira extração eveto C 1. Na primeira extração, temos 13 cartas de copas e 39 que ão são de copas. Logo, P(C 1 ) 13 5 P(C 1 ) 39 5 Na seguda extração, dado que a primeira saiu copas, temos 1 cartas de copas e 39 cartas que ão são de copas em um baralho com 51. O eveto represetado pelo camiho superior da árvore é C 1 C e sua probabilidade é P(C 1 C ) P(C 1 ) P(C C 1 ) 13 5 1 51 Cotiuado com a parte superior, vemos que P(C 1 C ) P(C 1 ) P(C C 1 ) 13 5 39 51 Note que, pela lei do complemetar, P(C C 1 ) + P(C C 1 ) 1.

36 CAPÍTULO 3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS Na parte iferior, temos: P(C 1 C ) P(C 1 ) P(C C 1 ) 39 5 13 51 P(C 1 C ) P(C 1 ) P(C C 1 ) 39 5 38 51 Novamete, pela lei do complemetar, P(C C 1 ) + P(C C 1 ) 1. A partir desse diagrama de árvore podemos calcular qualquer probabilidade desejada. Por exemplo, o eveto ehuma carta de copas é o eveto C 1 C, e o eveto pelo meos uma carta de copas, o complemetar do eveto ehuma carta de copas. EXEMPLO 3.6 Três cartas de um baralho Supohamos agora a extração de três cartas sem reposição e o eveto ehuma carta de copas. Como podemos geeralizar a regra da multiplicação para esse caso? Solução Como ates, vamos defiir os evetos C i carta de copas a i ésima extração, i 1,, 3. Veja a Figura 3.5, que ilustra o espaço amostral desse experimeto. Como ates, quado camihamos ao logo de cada galho o diagrama de árvores, cada ó represeta a ocorrêcia de um eveto codicioal à ocorrêcia dos evetos ateriores. Por exemplo, vamos cosiderar o galho superior: o primeiro ó correspode ao eveto C 1 ; o segudo, ao eveto C, codicioado à ocorrêcia de C 1 ; e o terceiro e último, ao eveto C 3, codicioado à ocorrêcia de C 1 C. Quado multiplicamos as probabilidades desses 3 evetos, obtemos a seguite probabilidade da iterseção: P(C 1 C C 3 ) P(C 1 ) P(C C 1 ) P(C 3 C 1 C ) 13 5 1 51 11 50 Aalogamete, a probabilidade de ão sair qualquer carta de copas as 3 estrações é P(C 1 C C 3 ) P(C 1 ) P(C C 1 ) P(C 3 C 1 C ) 39 5 38 51 37 50 Estes exemplos ilustram a regra geral da multiplicação.! Regra geral da multiplicação Seja A 1, A,..., A uma sequêcia de evetos de um espaço amostral Ω. Etão, P (A 1 A A ) P (A 1 ) P (A A 1 ) P (A A 1 A A 1 )

3.1. PROBABILIDADE CONDICIONAL 37 1/51 11/50 C 3 13/5 C 1 C C 39/51 C 3 39/50 1/50 C 3 C 3 38/50 1/50 C 3 C 1 39/5 13/51 C C 3 38/50 C 38/51 13/50 C 3 C 3 37/50 Figura 3.5 Extração de 3 cartas de um baralho EXEMPLO 3.7 Trasporte público e badejão Em uma pesquisa realizada com um grupo de aluos da UFF, costatou-se que 10% dos estudates ão utilizam trasporte público para ir às aulas e que 65% dos estudates que utilizam o trasporte público fazem refeições o badejão do campus. Selecioado-se, aleatoriamete, um estudate desse grupo, calcule a probabilidade de que ele use trasporte público e faça refeições o badejão. Solução Vamos defiir os seguites evetos: T aluo utiliza trasporte público e B aluo come o badejão. O problema os forece P(T ) 0, 10 P(B T ) 0, 65 O problema pede P(T B) P(T ) P(B T ) 0, 9 0, 65 0, 585

38 CAPÍTULO 3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS EXEMPLO 3.8 Bolas de uma ura Uma ura cotém seis bolas pretas e cico bolas amarelas. Extraem-se, sequecialmete, três bolas dessa ura, sem reposição. Qual é a probabilidade de que as três bolas sejam da mesma cor? Solução Vamos defiir os evetos P i bola preta a extração i e A i bola amarela a extração i, i 1,, 3. Seja M 3 bolas de mesma cor. Etão, P(M) P(P 1 P P 3 ) + P(A 1 A A 3 ) P(P 1 ) P(P P 1 ) P(P 3 P 1 P ) + P(A 1 ) P(A A 1 ) P(A 3 A 1 A ) 6 11 5 10 4 9 + 5 11 4 10 3 9 4 33 + 33 11 3. Idepedêcia de evetos Cosidere ovamete um baralho usual, com 5 cartas, 13 de cada aipe, do qual será retirada uma carta. Vamos defiir os seguites evetos: Já vimos que P(C) 13 5 1 4 ; P(R) 4 5 1 13 C carta é de copas R carta é um rei V carta é vermelha e P(V ) 6 5 1. Vamos agora calcular as seguites probabilidades codicioais: P(R C) e P(V C). No primeiro caso, estamos calculado a probabilidade de sair um rei, dado que a carta é de copas. No segudo caso, estamos calculado a probabilidade de sair uma carta vermelha, dado que saiu uma carta de copas. P(R C) P(V C) P(R C) P(C) P(V C) P(C) 1 5 1 4 4 5 1 13 P(R) P(C) P(C) 1 P(V )

3.. INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS 39 No primeiro caso, saber que a carta é de copas ão acrescetou iformação útil para avaliarmos a probabilidade de sair rei, ou seja, saber ou ão que saiu copas ão altera a probabilidade de sair rei. Já o segudo caso, saber que saiu carta de copas faz com que mudemos a probabilidade de sair carta vermelha. Como podemos ver, se sabemos que saiu carta de copas, etão a carta tem de ser vermelha. Esses exemplos ilustram um coceito importate. No primeiro caso, dizemos que os evetos R e C são idepedetes e, o segudo caso, que os evetos V e C são depedetes. No primeiro caso, o cohecimeto da ocorrêcia de C ão ajuda para reavaliarmos a probabilidade de C. Já, o segudo caso, o cohecimeto da ocorrêcia de C faz com que mudemos ossa estimativa da probabilidade de V. DEFINIÇÃO Evetos idepedetes Sejam A e B evetos de um espaço amostral Ω. Etão, A e B são idepedetes se P(A B) P(A) Essa defiição tem algumas implicações importates. A e B são idepedetes P(A B) P(A) P(B). Demostração A, B idepedetes P(A B) P(A) P(A B) P(B) P(A) P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A) P(B) A e B são idepedetes. Demostração P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A B) P(B) P(A) P(B) P(B) P(A) A, B idepedetes. Provamos, etão, que A e B são idepedetes P(A B) P(A) P(B). Esse resultado os permite estabelecer uma outra defiição equivalete para a idepedêcia de dois evetos.

40 CAPÍTULO 3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS DEFINIÇÃO Evetos idepedetes Sejam A e B evetos de um espaço amostral Ω. Etão, A e B são idepedetes se P(A B) P(A) P(B) Se A e B são idepedetes, etão B e A também o são (comutatividade). Demostração A, B idepedetes P(B A) P(B A) P(A) P(A) P(B) P(A) P(B) B, A idepedetes. Se A e B são idepedetes A, B são idepedetes. Demostração P(A B) P(B) P(A B) P(B) P(A) P(B) P(B)[1 P(A)] P(B) P(A) A, B idepedetes. A e B idepedetes A, B idepedetes. Demostração P(A B) P(A B) 1 P(A B) 1 P(A) P(B) + P(A B) 1 P(A) P(B) + P(A) P(B) [1 P(A)] P(B)[1 P(A)] P(A) P(B) P(A) P(A)[1 P(B)] P(A) P(B) A, B idepedetes. Se A e B são evetos possíveis e idepedetes A B. Demostração Por hipótese, temos que P(A) > 0 e P(B) > 0. Pela hipótese de idepedêcia, P(A B) P(A) P(B) > 0 A B. Logo, se A e B são evetos possíveis e idepedetes, etão A e B ão são mutuamete exclusivos. Se A e B são evetos possíveis tais que A B A, B ão são idepedetes. Demostração P(A B) P(A B P(B) 0 P(A) A, B ão são idepedetes.