Capítulo 7 Transformações de Tensão e Deformação O Círculo de Mohr André P. Santos Edward O. Schaden Pedro G. Rubira Túlio J. Silva Grupo 9: RA:070166 RA:060316 RA:073592 RA:072544
Transformação do Estado Plano de Tensão Para fins de análise das forças e tensões de cisalhamento adota-se o eixo z como o eixo perpendicular a estes (σz=τxz=τzy=0), assim o plano de tensão Q fica definido a partir de σx, σy, τxy. Pode-se rotacionar o sistema no eixo Z um ângulo θ, definindo o plano de tensão Q a partir de σx', σy', τx'y'.
Transformação do Estado Plano de Tensão Através da analise do sistema rotacionado pod-se obster as tenões msotradas na figura abaixo.
Transformação do Estado Dedução das equações de σx', σy', τx'y' A partir dos valoros das forças em cada eixo podem-se deduzir as equações para os coeficientes que caracterizam o plano de tensão. Resolvendo a primeira equação para σx' e a segunda para τx'y.
Transformação do Estado Dedução das equações de σx', σy', τx'y' Através de utilização de relaçoes trigonométricas podemos reescrever as equações como: Substituíndo-se θ por θ + 90º na primeira equação obtêm-se a equação para σy': Somando as equações para σx' e σy' termo a termo obtêm-se a equação:
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Com intuito de representar os valores de tensão normal e tensão de cisalhamento normal em um sistema de eixos cartesiano obtemos a seguinte expressão: Definindo as variáveis : Podemos representar essa equação por meio de circunferência
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Ponto A: Tensão Normal Máxima Ponto B: Tensão Normal Mínima
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Para os pontos de Tensão Máxima Temos: Assim obtemos o seguinte parâmetro
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA A equação define 2 valores 2θp defasados 180 graus portanto θp graus defasados
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
Círculo de Mohr para estado plano tensão Método gráfico simples para resolver exercícios de estado plano tensão σx, σy e Txy X(σx, -Txy) Y(σy, +Txy) Ponto C é a intersecção da reta XY com o eixo σ. A e B: pontos onde o círculo intercepta o eixo σ.
Mesmo círculo pode ser obtido para componentes σx', σy' e Txy' Mesmo esquema para pontos X' e Y'. Novamente, mesmo sentido de rotação para o círculo e para os planos de tensão
Tensão de cisalhamento máxima para θ = 45
Se T (tensão de cisalhamento) de uma face tenta girar objeto no sentido horário O ponto X ou Y correspondente a essa fase está acima do eixo σ. e vice versa. Convenção para σ tensões normais: Tração positiva Compressão negativa
Exemplo: Construção do Círculo de Mohr A tensão normal que atua no eixo x é positiva e a tensão de cisalhamento tende a girar o elemento no sentido anti-horário. Figura 1: Corpo em estudo
(a) Construção do círculo de Mohr O ponto X será representado à direita do eixo vertical e abaixo do eixo horizontal. De forma análoga, o ponto Y que representa a face oposta deverá ser representado a 180 de X. Traçando a linha XY, obtemos o centro C do círculo de Mohr; sua abscissa é σmédio = (σx + σy) / 2 = ( 50 + (-10) ) / 2 = 20 MPa Como os lados do triângulo CFX são: CF = 50 20 = 30 MPa e FX = 40 MPa O raio do círculo é R = CX = sqrt(30^2+40^2) = 50 MPa Figura 2: Diagrama do círculo
(b) Planos principais e tensões principais As tensões principais são: σmáx = OA = OC + OA = 20 + 50 = 70 MPa σmín = OB = OC BC = 20 50 = -30 MPa Como o ângulo ACX representa 2θp, escrevemos: tg(2θp) = FX / CF = 40 / 30 2θp = 53,1 (ângulo no circulo) Θp = 26,6 (ângulo do objeto) Figura 2:Diagrama do círculo
(c) Tensão de cisalhamento máxima Com mais uma rotação de 90 no sentido anti-horário faz CA coincidir com CD na Figura 4, uma rotação adicional de 45 no sentido anti-horário fará o eixo Oa coincidir com o eixo Od correspondendo à tensão de cisalhamento máxima na Figura 3. Nota-se na Figura 4 que Tmáx = R = 50 MPa e que a tensão normal correspondente é σ' = σméd = 20 MPa. Como o ponto D está localizado acima do eixo σ na Figura 4, as tensões de cisalhamento que atuam nas faces perpendiculares a Od na Figura 3 devem ser direcionadas de modo que tenham a tendência de rodar o elemento no sentido horário.
Figura 3 Figura 4
FIM