Aula 01 mtm B MATEMÁTICA BÁSICA

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Paridade Par: x = 2n, n Z Exemplo 1: 6 6 = 2.3 n = 3 Ímpar: x = 2n+1, n Z Exemplo 2: 9 9 = 2.4 +1 n = 4 Exemplo 3: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) 3,2 é um número sem paridade. ( F ) 2,4 é um número par. ( F ) Zero é um número sem paridade. ( V ) - 2 é um número par. ( V ) (UFPR) 0,999... é um número ímpar.

Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 2: Números pares. Exemplos: 4, 16, 13750. Divisibilidade por 3: Números cuja soma dos algarismos for divisível por 3. Exemplo 1: 2759 2+7+5+9 = 23 Exemplo 2: 1902 1+9+0+2 = 12 23 não é divisível por 3, logo 2759 também não é. 12 é divisível por 3, logo 1902 também é.

Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 4: Número formados pelos dois últimos algarismos divisível por 4. Exemplo 1: 777732 Exemplo 2: 555500 32 é divisível por 4, logo 777732 também é. 0 é divisível por 4, logo 555500 também é. Divisibilidade por 5: Números terminados em 0 ou 5. Exemplos: 10, 125, 22225.

Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 6: Números divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplo : 1902 É um número par, logo divisível por 2. 1+9+0+2 = 12 12 é divisível por 3, logo 1902 é divisível por 3. 1902 é divisível por 6.

Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 7: Retira o algarismo das unidades, multiplica por 2 e subtrai do número que sobrou. Exemplo 1: 7154 4 x 2 = 8-8 707 7 x 2 = 14-14 56 56 é divisível por 7, logo 7154 também é.

Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 7: Retira o algarismo das unidades, multiplica por 2 e subtrai do número que sobrou. Exemplo 2: 2303 3 x 2 = 6-6 224-8 14 4 x 2 = 8 14 é divisível por 7, logo 2303 também é.

Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 8: Números formado pelos três últimos algarismos divisível por 8. Exemplo 1: 3333016 16 é divisível por 8, logo 3333016 também é. Exemplo 2: 1111000 0 é divisível por 8, logo 1111000 também é.

Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 9: Números cuja soma dos algarismos for divisível por 9. Exemplo 1: 1902 1+9+0+2 = 12 Exemplo 2: 27594 2+7+5+9+4 = 27 12 não é divisível por 9, logo 1902 também não é. 27 é divisível por 9, logo 27594 também é. Divisibilidade por 10: Números terminados em 0 (zero). Exemplos: 30, 920, 3131310.

Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 11: Números cuja soma dos algarismos de ordem par menos a soma dos algarismos de ordem ímpar for divisível por 11. Exemplo 1: 3 5 4 3 1 8-8 = 0 0 é divisível por 11, logo 35431 também é. Exemplo 2: 9 1 3 0 8 2 5 3-25 = - 22-22 é divisível por 11, logo 9130825 também é.

Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 12: Números divisíveis por 3 e por 4 ao mesmo tempo. Exemplo: 54012 5+4+0+1+2 = 12 É um número que termina em 12, logo divisível por 4. 12 é divisível por 3, logo 54012 é divisível por 3. 54012 é divisível por 12. Lei O número deve ser divisível por outros dois, tais que eles sejam primos entre si e que o produto dê o divisor. Exemplos: 18 Deve ser divisível por 2 e 9 ao mesmo tempo. 20 Deve ser divisível por 4 e 5 ao mesmo tempo.

Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) Menor múltiplo comum entre os números dados. Exemplo 1: Calcule o M.M.C. de 50, 60 e 100. Resolução: 50, 60, 100 2 25, 30, 50 2 25, 15, 25 3 25, 5, 25 5 5, 1, 5 5 1, 1, 1 multiplicar M.M.C. (50, 60, 100) = 2.2.3.5.5 = 2 2.3.5 2 = 300

Máximo Divisor Comum (M.D.C.) Maior divisor comum entre os números dados. Exemplo 2: Calcule o M.D.C. de 60, 140 e 420. Resolução: 60, 140, 420 2 30, 70, 210 2 15, 35, 105 5 3, 7, 21 primos entre si multiplicar M.D.C. (60, 140, 420) = 2.2.5 = 2².5 = 20

Exemplo 3: (FGV) Estudos e simulações são necessários para melhorar o trânsito. Por exemplo, imagine que, em uma avenida de um bairro temos três semáforos A, B e C. O semáforo A fica verde a cada 15 segundos; o semáforo B, a cada 20 segundos ; o semáforo C, a cada 25 segundos. Às 7h, simultaneamente os 3 semáforos, ficaram verdes ao mesmo tempo, a próxima vez que simultaneamente os 3 semáforos ficarão verdes ao mesmo tempo será à que horas: Resolução: Você procura um número comum? Sua resposta é número maior ou menor? Múltiplo ou divisor? MMC ou MDC? M.M.C. (15, 20, 25) = 2.2.3.5.5 = 2².3.5² = 300seg 300seg = 5min, logo às 7h e 5min. 15, 20, 25 2 15, 10, 25 2 15, 5, 25 3 5, 5, 25 5 1, 1, 5 5 1, 1, 1

Exemplo 4: Erivaldo possui 90 livros de geometria, 96 de trigonometria 144 de álgebra e 210 de culinária, ele deseja reparti-los pelo maior número possível de alunos, de modo que cada um receba o mesmo número de livros de cada tipo. Quantos alunos que ele conseguirá contemplar? Resolução: Você procura um número comum? Sua resposta é número maior ou menor? Múltiplo ou divisor? MMC ou MDC? Geo Trigo Álg Culinária 90, 96, 144, 210 2 45, 48, 72, 105 3 15, 16, 24, 35 M.D.C. (90, 96, 144, 210) = 2.3 = 6 alunos

Exemplo 5: (CEM SIMULADO) Ao fazer a triagem das doações para as famílias desabrigadas de SC, um grupo de pessoas contou 200 peças de roupas, 120 cobertores e 80 brinquedos. Se esse grupo montou o maior número possível de cestas com a mesma quantidade de itens de cada tipo por cesta, então haverá quantas cestas, com quantas peças de roupa, com quantos cobertores e quantos brinquedos em cada cesta. Resolução: Você procura um número comum? Sua resposta é número maior ou menor? Múltiplo ou divisor? MMC ou MDC? roupa M.D.C. (200, 120, 80) = 2.2.2.5 = 40 cestas cobertor brinquedo 200, 120, 80 2 100, 60, 40 2 50, 30, 20 2 25, 15, 10 5 5, 3, 2 Peças de roupa: Cobertores: Brinquedos: 5 3 2

Números Primos Todo número que assume apenas dois divisores naturais. Exemplos: 2, 3, 13. Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( F ) 1 é um número primo. ( V ) (UFSC) 2 é o único número par primo. Números Primos Entre Si Números que possuem o M.D.C. igual a 1. Exemplos: 5 e 12. 4, 9 e 35. 105 e 88. Números Compostos Todo número que assume mais de dois divisores naturais.

Epístola de Eratóstenes Método para verificar se um número é primo. Passo 1: Liste os números naturais que o quadrado é menor que o número a se verificar. Passo 2: Verificar quais são os divisores da lista, através dos critérios de divisibilidade. Exemplo 1: Verificar se 221 é primo. Resolução: 13²= 169 14²= 196 15²= 225 15² > 221, então vamos verificar até 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 221 não é primo.

Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade. Exemplo 1: Encontre quantos divisores possui o número 36. Resolução: 36 2 18 2 9 3 3 3 1 36 = 2.2.3.3 = 2 2.3 2 d = (2+1).(2+1) = 3.3 = 9

Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade. Exemplo 2: Encontre quantos divisores possui o número 540. Resolução: 540 2 270 2 135 3 45 3 15 3 5 5 1 540 = 2.2.3.3.3.5 = 2 2.3 3.5 1 d = (2+1).(3+1).(1+1) = 3.4.2 = 24

Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade. Exemplo 3: O número 9.10 x possui 12 divisores. Calcule x. Resolução: As bases devem ser números primos. 9.10 x = 3 2.2 x.5 x (2 + 1).(x + 1).(x + 1) = d 3.(x + 1) 2 = 12 (x + 1) 2 = 4 x 2 + 2x + 1 = 4 x 2 + 2x - 3 = 0 x 1 = 1 2 S = {1} -

Conhecendo os Divisores de Um Número Exemplo 1: Encontre o conjunto dos divisores de 36. 36 2 18 2 9 3 3 3 1 1 2 4 3, 6, 12 9, 18, 36 36 = 2.2.3.3 = 2 2.3 2 d = (2+1).(2+1) = 3.3 = 9 D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Conhecendo os Divisores de Um Número Exemplo 2: Encontre o conjunto dos divisores de 180. 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 1 2 180 = 2.2.3.3.5 = 2 2.3 2.5 1 4 d = (2+1).(2+1).(1+1) = 3.3.2 = 18 3, 6, 12 9, 18, 36 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180 D(180) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180}

M.M.C.(a, b). M.D.C.(a, b) = a.b Exemplo 1: Sabendo que M.M.C.(20, x) = 180 e M.D.C.(20, x) = 4, calcule x. M.M.C.(20, x). M.D.C.(20, x) = 20. x 180. 4 = 20. x 720 = 20. x x = 36 S = {36}

Aula 01 mtm B FIM