Oficina Probabilidade O objetivo da oficina é investigar o conceito de probabilidade por meio de atividades práticas. Ela está estruturada em duas partes. A primeira busca refletir sobre a natureza do conceito de probabilidade, a partir da discussão sobre acontecimentos certos (eventos determinísticos) e incertos (eventos aleatórios). A segunda parte, a principal, traz duas atividades práticas: uma série de lançamentos de dados para a compreensão da probabilidade como uma frequência relativa e um jogo envolvendo probabilidade. As atividades propostas neste material objetivam que os alunos desenvolvam a habilidade H11 (Utilizar princípios probabilísticos na resolução de problemas) da Matriz de Referência para Avaliação da área de Ciências da Natureza I. 1ª parte Discussão sobre certeza, incerteza, previsibilidade O ponto de partida para a compreensão do conceito de probabilidade é a identificação de uma característica especial dos acontecimentos: a certeza, ou incerteza, de ocorrência. Propor aos alunos que eles citem alguns acontecimentos que podem ser previstos com certeza e outros que não podem. Eis algumas possibilidades, dentre tantas outras: Acontecimentos certos: - se soltarmos uma bola de gude de certa altura, ela certamente cairá. - se tentarmos distribuir 5 moedas entre 6 pessoas, certamente alguém ficará sem uma moeda. - se tirarmos a pilha da máquina fotográfica, ela certamente deixará de funcionar. - se lançarmos um dado comum, o número sorteado certamente estará entre 1 e 6. Acontecimentos incertos: (comentar com os alunos sobre o uso da palavra aleatório como sinônimo de incerto, imprevisível): - se soltarmos uma pena bem pequena de certa altura, não é absolutamente certo que ela cairá, pois ela é muito suscetível ao vento. Se na hora em que soltarmos a pena estiver soprando uma leve brisa, a pena poderá subir, levada pela brisa. - se um casal tiver relações sexuais no período fértil da mulher, não é possível prever com certeza se ela vai engravidar ou não. - se uma pessoa sair de casa às 7h00, não é possível determinar com certeza se ele chegará ao trabalho antes das 7h30. O ônibus pode demorar para passar, o pneu pode furar, uma rua pode estar interditada, o trânsito pode estar congestionado etc. São os famosos imprevistos nome, aliás, muito apropriado para essas situações.
- se lançarmos um dado comum, não é possível prever com certeza se sairá 6. Após a análise dos exemplos, falar para os alunos que são os acontecimentos incertos que interessam à teoria da probabilidade. Embora essa teoria não nos permita adquirir certeza sobre um acontecimento incerto, ela nos permite saber a chance de um acontecimento incerto se concretizar ou não, e isso pode ser muito útil. Citar dois exemplos: - jogar na loteria pode parecer tentador, mas você arriscaria todas as suas economias em um jogo? A teoria da probabilidade não tem o poder de dizer se você vai ganhar ou não. Porém, ela tem o poder de dizer que é difícil que você ganhe (mais adiante veremos o que significa difícil ). - acerto de um pênalti no futebol: quando um jogador vai bater um pênalti, não é possível saber se ele vai convertê-lo em gol ou não. Entretanto, baseado em estatísticas (dados anteriores), é possível estimar a chance do gol acontecer ou não. Se você fosse o técnico da seleção brasileira, quem você escolheria para bater o pênalti na final da copa? O centroavante-craque ou o zagueiro limitado? Mesmo não podendo prever o resultado, sabemos que o centroavante tem mais chances de fazer o gol. Mostrar aos alunos o sistema abaixo. Perguntar se eles fazem alguma associação entre essa situação e a ideia de probabilidade. Conduzir a discussão para o aspecto incerto do resultado do lançamento de uma bolinha. Não é possível prever com certeza onde a bolinha cairá, mas podemos perceber que a chance de cair nos compartimentos centrais é maior do que nos laterais. Se fôssemos apostar em um, seria razoável escolher o do meio. A teoria da probabilidade torna o conceito de chance mais preciso e nos dá ferramentas para quantificá-la, auxiliando-nos a tomar decisões frente a situações incertas. Para concluir esta parte introdutória, comentar com os alunos que a teoria da probabilidade surgiu do estudo dos jogos de azar. O marco desse surgimento foi uma famosa troca de correspondências
entre os matemáticos franceses Pierre de Fermat e Blaise Pascal em meados do século 17, sobre as chances de ganhar determinado jogo de dados (para mais detalhes, ver http://www.ime.unicamp.br/~nancy/cursos/me104/prob1.pdf). 2ª parte Atividades Atividade 1 Probabilidade como frequência relativa O objetivo dessa atividade é introduzir o conceito de probabilidade de ocorrência de um evento 1 como a razão (fração) entre o número de vezes que este evento ocorre e o número de vezes em que foi dada a chance de ele acontecer. Essa razão, porém, é calculada em uma situação especial: aquela em que esse número de vezes em que foi dada a chance é muito grande. Certamente, o que está escrito no parágrafo acima é impreciso. Entretanto, a atividade prática ajudará a tornar mais concreta a ideia de probabilidade como uma fração, ou razão. Organizar os alunos em grupos e pedir que cada grupo realize 100 lançamentos de dados (no lançamento de um dado, o resultado é um evento aleatório, ou seja, imprevisível), registrando a frequência dos números sorteados (1, 2, 3, 4, 5 e 6) a cada intervalo de 10 lançamentos, da seguinte maneira 2 : - 10 primeiros lançamentos: 4, 2, 4, 6, 1, 2, 1, 4, 2 e 4 (os alunos, evidentemente, deverão preencher a tabela com seus próprios resultados). Número Nº de vezes que saiu (frequência) Fração das vezes que saiu (frequência relativa) 1 2 2 3 3 0 4 4 5 0 2 10 = 0,2 3 10 = 0,3 0 10 = 0 4 10 = 0,4 0 10 = 0 6 1 1 10 = 0,1 Após os 10 primeiros lançamentos, realizar mais 10 e incorporar os resultados aos anteriores. 1 O termo evento significa simplesmente um acontecimento. 2 Os dados apresentados abaixo são reais - eu mesmo fiz os 100 lançamentos!
- 20 primeiros lançamentos: 4, 2, 4, 6, 1, 2, 1, 4, 2, 4 / 3, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 2, 4, 5. Número Nº de vezes que saiu (freqüência) Fração das vezes que saiu (freqüência relativa) 1 2 2 4 3 3 4 7 5 3 6 1 2 20 = 0,1 4 20 = 0,2 3 20 = 0,15 7 20 = 0,35 3 20 = 0,15 1 20 = 0,05 Tabela 2 O procedimento deve ser continuado até que sejam feitos os 100 lançamentos. Ao final da atividade, portanto, todos os grupos deverão ter 10 tabelas (uma para 10 lançamentos, outra para 20, outra para 30, até 100). A última (décima) está indicada abaixo: - 100 lançamentos:... Número Nº de vezes que saiu (freqüência) Fração das vezes que saiu (freqüência relativa) 1 17 2 16 3 15 4 19 5 16 6 17 17 100 = 0,17 16 100 = 0,16 15 100 = 0,15 19 100 = 0,19 16 100 = 0,16 17 100 = 0,17 Tabela 10
Frequência relativa Oficina CNI/EM Quando os grupos estiverem com suas 10 tabelas, pedir que montem um gráfico como o apresentado abaixo, relacionando a frequência relativa (terceira coluna das tabelas acima) em função do número de lançamentos (1 gráfico por grupo). O aspecto deverá ser parecido com o do gráfico abaixo. 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 Número 1 Número 2 Número 3 Número 4 Número 5 Número 6 0,05 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Número de lançamentos Esse gráfico é bastante rico. O ponto central de sua análise é a observação de uma tendência das freqüências relativas se aproximarem de um determinado valor conforme o número de lançamentos aumenta. Essa aproximação é chamada de convergência. Com poucos lançamentos (10, por exemplo), as frequências relativas de cada número do dado têm valores bastante dispersos : variam de 0 (para os números 3 e 5) até 0,4 (para o número 4). Já para 100 lançamentos, percebe-se claramente que os valores estão mais agrupados: a variação ocorre em uma faixa mais estreita: de 0,15 a 0,19. Após essa análise, propor aos alunos a questão fundamental: Se continuássemos fazendo muitos lançamentos, o que aconteceria com as frequências relativas de cada número? Deixar que eles pensem um pouco. A resposta a essa questão é a seguinte: conforme o número de lançamentos aumenta, a tendência é que as frequências relativas de todos os números aproximem-
se do valor 1 (0,1666...). Por que 1? Porque não há nenhum motivo para que um número tenha mais 6 6 chance de sair do que outro (se o dado for honesto). Então, se fizermos muitos lançamentos, cada número tenderá a sair o mesmo número de vezes que o outro, ou seja, todos tenderão a ter a mesma freqüência relativa. Como são seis números possíveis, cada um deles tenderá a sair 1 6 das vezes. Esse valor 1 é justamente o que chamamos de probabilidade de sair cada um dos números. 6 Argumentar com os alunos que a palavra tendência foi usada diversas vezes acima, e pode soar um tanto imprecisa. Mas a análise do gráfico da página anterior elucida seu significado. É possível definir a probabilidade de maneira mais rigorosa e precisa, mas esse rigor não é de tanto interesse no nosso nível de ensino. Reforçar a interpretação do conceito de probabilidade propondo aos alunos a análise da seguinte frase: Um casal que tem relações sexuais no momento adequado do mês pode ter uma chance de até 25% de ficar grávido a cada mês. Fonte: http://www.explicaki.com/gravidez/chances-de-engravidar/ A interpretação é a seguinte: se um número muito grande de casais tentar engravidar, a tendência é que, após 1 mês, cerca de 25% deles consigam. Para finalizar essa atividade, pedir aos grupos que escrevam na lousa seus resultados para os 100 lançamentos e determinem, ao final, a fração relativa de cada número nesse conjunto maior de resultados, montando uma tabela como a ilustrada abaixo. Por exemplo, suponhamos que haja 10 grupos na sala (G1, G2,...), e que eles tenham obtido os seguintes resultados 3 : Número G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 Frequência em 1000 lançamentos Frequência relativa em 1000 lançamentos 1 12 25 13 16 17 13 18 15 16 21 166 0,166 2 14 11 17 27 17 16 17 19 20 15 173 0,173 3 18 17 16 17 19 20 18 15 20 14 174 0,174 4 15 15 15 13 18 24 16 21 16 20 173 0,173 5 20 17 27 10 18 16 20 18 19 17 182 0,182 6 21 15 12 17 11 11 11 12 9 13 132 0,132 Observamos que com um conjunto maior de lançamentos (1000), os valores estão ainda mais agrupados e próximos do valor esperado ( 1, ou 0,1666...). Observamos que a variação das 6 frequências ocorre entre 0,166 e 0,182, com exceção do resultado do número 6, que afastou-se bastante do valor esperado (0,1666...). Caso isso aconteça na turma, discutir com os alunos que, embora a tendência seja que, com o aumento de lançamentos, as freqüências relativas se aproximem cada vez mais do valor 0,1666..., não é absolutamente garantido que isso aconteça com todos os números. O valor 0,132 em 1000 lançamentos, obtido com o número 6, é algo raro de 3 Estes números foram obtidos por meio de sorteios aleatórios no programa MS-Excel.
acontecer (probabilidade baixa), mas pode acontecer. É como lançar um dado 5 vezes e nas 5 vezes sair o número 1: é difícil, mas pode acontecer! Atividade 2 Jogo Esta atividade foi extraída do livro Matemática Ensino Médio vol. 2 4. Trata-se de um jogo bastante simples para ser jogado em duplas. As regras são as seguintes: - Os participantes decidem quem será o jogador A e quem será o B. - Os jogadores deverão realizar 10 rodadas. - A cada rodada, os dois jogadores lançam, ao mesmo tempo, cada um o seu dado. - o jogador a marca 1 ponto se o valor da diferença entre os números que saírem nos dois dados for 0, 1 ou 2. O Jogador B marca 1 ponto se o valor da diferença for 3, 4 ou 5. - Após 10 rodadas, vence o jogador com maior número de pontos. Em caso de empate (5 a 5), tem-se uma rodada extra de desempate. Por exemplo, se em um lançamento (dos dois dados) tivermos o resultado 4 e 6, a diferença é 2 e o jogador A ganha um ponto. Se o resultado for 5 e 1, a diferença é 4 e o jogador B ganha um ponto. Após os jogos, anotar na lousa os vencedores de cada dupla (A ou B). A questão fundamental a ser explorada é: as regras do jogo são justas, no sentido de dar a ambos os jogadores probabilidades iguais de ganhar? Caso não sejam, o que poderíamos fazer para torná-las justas? Novamente, deixar que os alunos pensem um pouco sobre a questão. A resposta é que as regras não são justas. Por que não? Se considerarmos todos os resultados possíveis em um lançamento, teremos: Resultado Diferença Resultado Diferença Resultado Diferença 1-1 0 3-1 2 5-1 4 1-2 1 3-2 1 5-2 3 1-3 2 3-3 0 5-3 2 1-4 3 3-4 1 5-4 1 1-5 4 3-5 2 5-5 0 1-6 5 3-6 3 5-6 1 2-1 1 4-1 3 6-1 5 4 Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz, Editora Saraiva, 2010.
2-2 0 4-2 2 6-2 4 2-3 1 4-3 1 6-3 3 2-4 2 4-4 0 6-4 2 2-5 3 4-5 1 6-5 1 2-6 4 4-6 2 6-6 0 Vemos que dos 36 resultados possíveis, 6 levam à diferença 0 (1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6) 10 levam à diferença 1 (1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-5, 5-4, 4-3, 3-2, 2-1) Ponto para A (24 resultados) 8 levam à diferença 2 (1-3, 2-4, 3-5, 4-6, 6-4, 5-3, 4-2, 3-1) 6 levam à diferença 3 (1-4, 2-5, 3-6, 6-3, 5-2, 4-1) 4 levam à diferença 4 (1-5, 2-6, 6-2, 5-1) Ponto para B (12 resultados) 2 levam à diferença 5 (1-6, 6-1) Ou seja, dos 36 resultados possíveis em um lançamento, 24 favorecem A e 12 favorecem B. Como todos os resultados têm a mesma probabilidade de acontecer, a probabilidade de A ganhar em um lançamento é de 24 = 2 12, e a de B ganhar é de = 1. Portanto, as chances de A são maiores (o 36 3 36 3 dobro). Isso deverá se refletir nos resultados da classe - provavelmente haverá mais ganhadores A do que B (pode ser que haja mais ganhadores B, mas isso é pouco provável ver discussão no final da 1ª atividade). Uma regra justa daria probabilidades iguais para ambos os jogadores em um lançamento. Como são 36 resultados possíveis, todos com a mesma probabilidade, A deveria ganhar 1 ponto com 18 deles e B deveria ganhar 1 ponto com os outros 18. Analisando a tabela do início dessa página, uma possibilidade é que A ganhe 1 ponto caso a diferença entre os dados seja 0, 2 ou 4 e B ganhe um ponto caso a diferença seja 1, 3 ou 5: 6 levam à diferença 0 - Ponto para A Ponto para B (18 possibilidades) 10 levam à diferença 1 - Ponto para B 8 levam à diferença 2 - Ponto para A 6 levam à diferença 3 - Ponto para B 4 levam à diferença 4 - Ponto para A 2 levam à diferença 5 - Ponto para B Ponto para A (18 possibilidades)