Compensadores: projeto no domínio da

Compensadores: projeto no domínio da frequência Relembrando o conteúdo das aulas anteriores: o Compensador (também conhecido como Controlador) tem o objetivo de compensar características ruins do sistema original. Usualmente empregamos Compensadores(Controladores) em malha fechada com o sistema original. Empregamos técnicas apropriadas de modo que o Compensador altere a configuração do sistema de modo a satisfazer especificações de projeto. 1 of 33

Sistema em malha fechada R(s) Controlador Planta + G c(s) G(s) Y(s) Desenvolveremos a seguir um Compensador chamado de Avanço-Atraso, usando técnicas do domínio da frequência. 2 of 33

Margem de Ganho (db): é a quantidade obtida na frequência de cruzamento do angulo de fase igual a 180 o. Margem de fase φ pm : é a quantidade do angulo correspondente a 0 db. Em sistemas de 2a. ordem podemos usar a fórmula ξ = 0.01φ pm (quando 0 < ξ < 0.707). Issosignificaqueamargemdefasealterasignificativamente o Máximo Overshoot do sistema. Então projetamos φ pm para ter um bom desempenho do Máximo Overshoot. 3 of 33

Compensador Avanço A sua função de transferência é dada por G c (s) = K(s +z) s +p É Compensador Avanço quando z < p. Isso implica que(em sistema estável) o polo está localizado à esquerda do zero no Gráfico Plano s. 4 of 33

Compensador Avanço Faça p = 1/τ e z = 1/(ατ). Então a sua função de transferência é dada por G c (s) = (1+ατs) α(1+τs) A frequência onde ocorre a fase máxima do avanço ocorre no meio entre as frequências do polo e zero, ou seja, ω m = zp = 1 τ α O valor do angulo de avanço máximo é sin φ m = α 1 α+1 5 of 33

Compensador Avanço O diagrama de Bode do Compensador Avanço é dado por 6 of 33

Homework Compensador Avanço Mostre para o circuito abaixo que G c (s) = V 2 (s)/v 1 (s) quando τ = R 1R 2 C R 1 +R 2 α = R 1 +R 2 R 2 7 of 33

Exemplo Determine valores para R 1, R 2 e C no circuito acima de modo que o máximo angulo de fase seja maior que 50 o e que a sua frequência correspondente seja inferior a 100 rad/seg. Solução: α 1 α+1 = sin φ m sin 50 o = 0.766 α 7.547 Adotamos α = 8. Note que 8 of 33 100 ω m = 1 τ 8 τ 0.0035 Adotamos τ = 0.004025.

Escolha R 1 = 14kΩ, R 2 = 2kΩ, C = 0.0023mF, para obter τ = 14 2 0.0023 14+2 = 0.004025 α = R 1 +R 2 = 14+2 = 8 R 2 2 Podemos então concluir que R 1 = 14kΩ, R 2 = 2kΩ, C = 0.0023mF garantem que as especificações do projeto. 9 of 33

Projeto: Compensador Avanço via Diagrama de Bode 1 Faça a constante de erro (erro estacionário) estar no valor desejado no projeto. 2 Avalie o Diagrama de Bode do sistema (sem o uso de Compensador). Obtenha a margem de fase φ pm. 3 Determine a quantidade adicional de avanço de fase φ m necessário para que o sistema de controle resultante atenda a especificação de projeto. Tome esse valor e adione entre +1 o a +10 o graus (para gerar uma folga ). 4 Faça φ m = φ m + folga (graus). Determine α a partir da equação sin φ m = α 1 α+1 5 Calcule 10logα e determine a frequência onde a curva de magnitude não-compensada é igual a 10logα db. Isso decorre do fato de que o Compensador provê um ganho de 10logα em ω m, então essa frequência ω m é a nova frequência de crossover 0 db e ω m, simultaneamente. 10 of 33

Projeto: Compensador Avanço via Diagrama de Bode 6 Calcule p = ω m α e z = p/α. 7 Desenhe o Diagrama de Bode resultante do sistema (acoplando o Compensador) e veja se a margem de fase resultante satisfaz a especificação de projeto. Em caso negativo refaça os passos anteriores adotanto outros valores (altere φ m ). 11 of 33

Projeto: Compensador Avanço via Diagrama de Bode R(s) Controlador Planta + G c(s) G(s) = 10 s 2 Y(s) Exemplo Considere o sistema acima. Determine um Compensador Avanço de Fase de modo que as especificações sejam atendidas: (a) Tempo de assentamento menor ou igual a 4 seg. (b) Máximo overshoot menor ou igual a 21%. 12 of 33

Solução. Para o tempo de assentamento ser inferior a 4 s, tem-se: t s = 4 ξω n 4 ξω n 1, Para um Máximo overshoot menor ou igual a 21%, faça M O = 21/100 e calcule: ln(m O ) ξ = = 0.45 π 2 +ln 2 (M O ) Máximo overshoot menor que 21% implica que 0.45 < ξ < 1. Vamos adotar ξ = 0.45. E assim podemos fixar ω n ξ = 1, logo ω n = 2.22 Estamos lidando com G(s) de segunda ordem, por isso podemos aproximar a margem de fase desejável para o sistema, que seja aproximada por φ pm = ξ 0.01 = 45o. 13 of 33

14 of 33 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

A margem de fase do sistema não-compensado é 0 o porque um integrador duplo na origem resulta em fase atrasada em 180 o para todas as frequências possíveis. Então devemos adicionar um angulo de Avanço de +45 o na frequência de crossover (0-dB). Faça φ m = 45 o +1 o = 46 o. Determine α a partir da equação sin 46 o = α 1 α+1 α = 6. Note agora que 10log(α) = 7.78 db. Voltamos a visualizar o Diagrama de Bode não-compensado e marcamos a frequência em que ocorre 7.78 db; esse valor ocorre no Diagrama em ω = 4.95 rad/seg. Faça ω m = ω = 4.95 e calcule o pólo-zero usando a formula p = ω m α = 12 z = p/α = 2. A função de transferência do Compensador Avanço é 15 of 33 G c (s) = (1+ατs) α(1+τs) = 1 6 ( 1+s/2 1+s/12 )

Projeto 2: Compensador Avanço via Diagrama de Bode Controlador Planta R(s) + G c(s) G(s) Y(s) Exemplo Considere um sistema de controle com função de transferência de malha aberta dada por 40 G(s) = s(s +2) Deseja-se implementar um compensador avanço tal que: (a) o erro estacionário devido a entrada rampa-unitária seja menor ou igual a 0.25; (b) a margem de fase resultante seja superior a 50. 16 of 33

Solução: B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil Relembre que o controlador avanço possui formato G c (s) = (1+ατs) α(1+τs) Erro a entrada rampa-unitária exige calculo de K v, que é dado por ( ) (1+ατs) 40 K v = lim sg c (s)g(s) = lim s s 0 s 0 α(1+τs) s(s +2) = 20 α Da fórmula do erro estacionário obtemos 0.25 R K v = 1 20 α = α 20 α 5. Portanto devemos escolher α 5 para satisfazer item (a). 17 of 33

10 1 10 0 10 1 10 2 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil 50 40 30 20 Bode Diagram Magnitude (db) 10 0 10 20 30 40 50 90 120 Phase (deg) 150 180 Frequency (rad/s) 18 of 33

Para satisfazer item (b) devemos analisar o Diagrama de Bode. A margem de fase do sistema não-compensado é igual a +17, logo para satisfazer a especificação de margem de fase de +50 precisa-se produzir um adicional à margem de fase no valor φ m = 33. Considere folga de +5. Disto temos que φ m = φ m +5 = 38. Podemos agora escrever sin φ m = α 1 α+1 α = 4.12 Adotamos α = 4.12 e esse valor já satisfaz item (a). Note agora que 10log(α) = 6.15 db. Voltamos a visualizar o Diagrama de Bode não-compensado e marcamos a frequência em que ocorre 6.15 db; esse valor ocorre no Diagrama em ω = 9 rad/seg. Faça ω m = ω = 9 e calcule o pólo-zero usando a formula p = ω m α = 18.26 z = p/α = 4.43 Lembrando que z = 1/(ατ) e p = 1/τ, temos que o controlador é 19 of 33 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil G c (s) = (1+ατs) α(1+τs) = (1+s/4.43) 4.12(1 + s/18.26)

Bode Diagram B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil 50 0 Magnitude (db) 50 100 90 Phase (deg) 135 φpm 180 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/s) Diagrama de Bode para sistema compensado. Note que a Margem de Fase compensada é superior a 50 o. 20 of 33

Homework Repita o exercício anterior para uma função de transferência de malha aberta dada por 20 G(s) = (s +1)(s +2) Implemente um compensador tal que, obrigatoriamente, satisfaça: (a) o erro estacionário devido a entrada degrau-unitário seja menor ou igual a 0.8; (b) a margem de fase seja superior a 60. 21 of 33

Compensador Atraso A sua função de transferência é dada por G c (s) = K(s +z) s +p É Compensador Atraso quando z > p. Isso implica que (em sistema estável) o polo está localizado à direita do zero no Gráfico Plano s. 22 of 33

Compensador Atraso Faça p = 1/(ατ) e z = 1/τ. Então a sua função de transferência é dada por G c (s) = 1+τs 1+ταs A frequência onde ocorre a fase máxima do atraso ocorre no meio entre as frequências do polo e zero, ou seja, ω m = zp = 1 τ α Cuidado: O Compensador Atraso não é usado para compensação de angulo, pois ele pode diminuir a margem de fase e isso provê a tendência de instabilidade. Usaremos Compensador Atraso para promover atenuação de altas frequências e para diminuir o erro estacionário. 23 of 33

Homework Compensador Atraso Mostre para o circuito abaixo que G c (s) = V o(s) V in (s) = 1+τs 1+ταs quando τ = R 2 C α = R 1 +R 2 R 2 25 of 33

Projeto: Compensador Atraso via Diagrama de Bode 1 Faça a constante de erro (erro estacionário) estar no valor desejado no projeto. 2 Avalie o Diagrama de Bode do sistema (sem o uso de Compensador). Obtenha a margem de fase φ pm. Se não satisfaz a especificação do projeto então siga para o próximo passo. 3 Tome a margem de fase especificada pelo projeto e adione +5 o graus (para gerar uma folga ). Verifique no gráfico a frequência ω c na qual esse novo valor de margem de fase ocorreria. 4 Ponha o zero do compensador uma década abaixo da nova frequência de crossover ω c, ou seja, z = ω c /10. 5 Faça a medição da atenuação necessária em ω c para assegurar que a curva de magnitude cruze essa frequência. 6 Calcule α lembrando que o valor da atenuação em ω c é dado por 20log(α). 7 Calcule o pólo p = z/α. 26 of 33

Projeto 3: Compensador Atraso via Diagrama de Bode Controlador Planta R(s) + G c(s) G(s) Y(s) Exemplo Considere um sistema de controle com função de transferência de malha aberta dada por K G(s) = s(s +2) Deseja-se implementar um compensador tal que: (a) a constante de erro estático de velocidade seja K v = 20s 1 ; (b) a margem de fase seja 45 ; 27 of 33

Exemplo Solução: A constante K obtém-se de K v, que é dado por K v = lim s 0 s K s(s +2) = lim K s 0 s +2 K = 40 A curva de Bode para o sistema (não-compensado) está na figura curva contínua da próxima pagina. Note que a Margem de Fase não-compensada é φ pm = 20 o, e por isso não atende a especificação de projeto. A especificação de projeto exige Margem de Fase 45 o, e adicionamos folga 5 o, totalizando 50 o. Por isso o ponto φ(ω) = 130 o é desejado e ocorre em ω = ω c = 1.5. A atenuação necessária em ω c = 1.5 é 20dB. Obtemos α usando a fórmula 20log(α) = 20 e portanto α = 10. Obtemos z = ω c /10 = 0.15 e p = z/α = 0.015. Usando as fórmulas p = 1/(ατ) e z = 1/τ, encontramos o controlador Atraso: G c (s) = 1+τs 1+ταs = 1+s/0.15 1+s/0.015 A especificação foi atendida (curva pontilhada). 28 of 33

Projeto 4: Compensador Atraso via Diagrama de Bode Controlador Planta R(s) + G c(s) G(s) Y(s) Homework Considere um sistema de controle com função de transferência de malha aberta dada por 20 G(s) = s(0.1s +1) 2 Deseja-se implementar um compensador tal que: (a) a margem de fase seja 65. Dica: use a figura da próxima pagina. 30 of 33

Passos: obtenha ω c = 1.5, atenuação de 23dB, α = 14.2, z = 0.15, e enfim encontre G c (s) = 1+τs 1+ταs = 1+6.66s 1+94.6s 32 of 33

Dica de atividades Dica 1. Fazer os Exercícios apresentados no Cap. 10 do livro Sistemas de Controle Modernos - Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. 2. Fazer os Exercícios apresentados no livro K. OGATA, Engenharia de Controle Moderno. 33 of 33