Lógica Elementar Conjuntos e Relações
Lógica Elementar O estudo da lógica é o estudo dos princípios e métodos usados para distinguir argumentos válidos dos não válidos. Proposição Declaração que é verdadeira ou falsa mas não ambos. Cada uma das seguintes frases é uma proposição. (a) Teresópolis é uma cidade no estado do Rio de Janeiro. (b) 2 + 1 é 4. (c) O dígito na 105a casa decimal na expansão decimal de 3 é 7. (d) O céu é azul. (e) Está chovendo. 41
Exercício Determine se as sentenças são proposições 1. Em 7 de junho de 1442 nevou em algum lugar no Rio Grande do Sul. 2. Aristóteles tinha pés chatos. 3. O socialismo esté errado. 4. O homem mais rico do mundo é o Sr. Malagutti de S~ao Carlos. 5. Joana e Pedro são pessoas boas. 6. Quanto vale este carro? 7. Saia da grama. 8. Use sempre cinto de segurança. 9. O número 2987654321 + 37 é primo. 10. Beethoven escreveu algumas das músicas de Chopin. 42
Lógica Elementar Conectivos Conectivos ~ não Λ e V ou P ~P V F F V 43 A B A Λ B F F F F V F V F F V V V A B A V B F F F F V V V F V V V V
Exercício 1 Construir tabela verdade para (5 minutos) ~ [(~ A) Λ (~ B)] A B ~ A ~ B ~ A Λ ~ B ~ [(~ A) Λ (~ B)] F F V V V F F V V F F V V F F V F V V V F F F V 44
Exercício 2 Construir tabela verdade para (5 minutos) ~ (A Λ B) e ~ A Λ B A B ~ A ~ B ~(A Λ B) ~ A Λ B F F V V V F F V V F V V V F F V V F V V F F F F 45
Exercício 3 Numa proposição composta envolvendo três componentes distintos p q e r quantos casos são necessários para cobrir todas as possibilidades lógicas? Quantos casos são necessários se houver quatro componentes distintos? Quantos casos são necessários se houver n componentes distintos? 46
Outros Conectivos A B Se A então B Atenção: Diferente de nossa linguagem ordinária Ex: Sejam p a proposição : O sol está brilhando" e q a proposição Eu estou jogando tênis". Então a proposição composta Se o sol está brilhando então eu estou jogando tênis". Só é falsa se o sol está brilhando mas eu não estou jogando tênis e apenas neste caso. 47
Outros Conectivos A B A Se e somente se B 48
Exercícios É a proposição (~ q) Λ (~ p) logicamente equivalente à proposição p q? É a proposição ~ p V q logicamente equivalente à proposição p q? Em cada um dos seguintes itens traduza a proposição composta dada em uma forma simbólica usando os símbolos sugeridos. (a) Não ocorre que eu seja amigável a você. (A) (b) Se ela é uma gata então ela tem quatro pernas. (G; P) (c) O preço do arroz aumenta se e somente se o suprimento de arroz não atende à demanda. (P; S) (d) Ou os grandes laboratórios reduzem os preços ou o governo intervirá. (L;G) 49
Equivalências P ~(~P) P V Q Q V P P Λ Q Q Λ P P V P P Λ P P Lei de De Morgan 50
Teoria de conjuntos Um conjunto é descrito como uma coleção de objetos bem definidos. Objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Objetos podem ser qualquer coisa: números pessoas outros conjuntos 51
Definições Identidade de Conjuntos 52
Conjuntos Exercício: Liste todos os subconjuntos do conjunto { 10 1} Exercício: Exiba os elementos dos seguintes conjuntos: 53
Uniões e Interseções 54
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Conjuntos Axioma do Conjunto das Partes: Para cada conjunto existe um conjunto de conjuntos que consiste de todos os subconjuntos do conjunto dado 56
Exemplos Sejam dois conjuntos A e B { } { } { } todoselementos U f e d c B d c b a A a b c e U 57 { } { } { } ( ) { } A U A b a B A A b a B A d c B A f e d c b a B A ' I I U b d f g
Diagrama de Venn 58
Diagrama de Venn Exemplo A B C U A { 1237 } { 2457} { 3567} { 12345678 } AU BU C AI A B BI C { 13} { 1234567 } { 7} ( AI B) { 13} A ' { 4568} 59
Exercício Prove a veracidade das afirmações abaixo através de diagramas de venn utilize elementos heurísticos 60
Relações e Funções Produto cartesiano de conjuntos 61
Relações e Funções Produto cartesiano de conjuntos Note que A X B B X A 62
Relações e Funções Relação É um conjunto de pares ordenados. Dado dois conjuntos A e B dizemos que um elemento a de A está relacionado a um elemento b de B através de uma relação R quando o resultado é um subconjunto do produto cartesiano A X B 63
Relações Exemplos de relações > < Є é uma relação é reflexiva simétrica e transitiva 64