1 MTEMÁTIC 3 SÉRIE - E. MÉDIO Pof. Rogéio Rodigues ELEMENTOS PRIMITIVOS / ÂNGULOS NOME :... NÚMERO :... TURM :...
2 I) ELEMENTOS PRIMITIVOS ÂNGULOS Os elementos pimitivos da Geometia são O Ponto, eta e O Plano. O Ponto é o elemento fundamental, todos os outos entes são conjuntos de pontos. Sua nomeação é feita com letas maiúsculas do nosso alfabeto. Exemplo :. (Lê-se Ponto ) Reta é um infinito conjunto de pontos alinhados. Ela pode se nomeada com letas minúsculas do nosso alfabeto. Exemplo : (Lê-se Reta ) OS : Como dois pontos deteminam uma eta, toda eta também pode se no meada po dois de seus pontos. Exemplo : (Lê-se Reta e epesenta-se po ) O Plano é uma supefície infinita constituída de pontos cuja imagem pode se lembada pelo piso de uma quada de futebol, po exemplo. Seá sempe e pesentado po um paalelogamo e nomeado po letas gegas ( α, β,... ) Exemplo : α (Lê-se Plano α )
3 Os subconjuntos da Reta são os Segmentos de eta e as Semi-etas. 1 o ) Um ponto de uma eta a divide em duas Semi-etas. P Tomando mais um ponto em cada uma das semi-etas, teemos : P Semi-eta P ou P Semi-eta P ou P 2 o ) Dois pontos de uma eta deteminam, nessa eta, um Segmento de eta que é o pedaço ente os dois pontos e esses pópios pontos. C Na figua acima temos deteminados os seguintes segmentos da eta : - Segmento ou - Segmento C ou C - Segmento C ou C
4 3 o ) Toda eta de um plano o divide em dois Semi-planos. α 1 α 2 Na figua acima a eta dividiu o plano α em dois Semi-planos α 1 e α 2. 4 o ) Duas etas concoentes (que só têm um ponto comum) dividem o plano que as contém em quato fatias chamadas de ÂNGULOS. O D C Sendo O o ponto onde se inteceptam as etas C e D, temos deteminados os seguintes ângulos : - ângulo de vétice O e lados O e O (semi-etas) ou Ô ; - ângulo de vétice O e lados O e OC (semi-etas) ou ÔC ; - ângulo de vétice O e lados OC e OD (semi-etas) ou CÔD ; - ângulo de vétice O e lados OD e O (semi-etas) ou DÔ.
5 5 o ) medição de um ângulo se baseia na inclinação de um lado em elação ao outo. unidade padão é o GRU ( Uma das 360 fatias iguais em que um disco pode se dividido a pati do seu cento ). Os submúltiplos do Gau são o MINUTO e o SEGUNDO. 1 o = 60, ou seja, 1 GRU equivale a 60 minutos 1 = 60, ou seja, 1 minuto equivale a 60 segundos EXEMPLOS : 1) Veja como muitas medidas de ângulos podem se eduzidas : a) 2 o 25 72 = 2 o 25 (60 + 12 ) = 2 o 26 12 1 b) 15 o 92 85 = 15 o (60 + 32 ) (60 + 25 ) = 16 o 33 25 1 o 1 c) 10.250 =? Dividindo-se po 60, teemos minutos e segundos : 10.250 : 60 = 170 e esto 50 Dividindo-se 170 po 60, teemos gaus e minutos : 170 : 60 = 2 o e esto 50 Então 10.250 = 2 o 50 50. 2) Veja como efetua opeações com medidas de ângulos : a) 13 o 45 30 + 27 o 36 40 =? - Somando gau com gau : 13 o + 27 o = 40 o - Somando minuto com minuto : 45 + 36 = 81 - Somando segundo com segundo : 30 + 40 = 70 Então, a soma pedida é 40 o 81 70, que eduzida dá 41 o 22 10. b) 32 o 12 25-10 o 30 12 =? Como a odem dos minutos no minuendo é meno do que no subtaendo, convete-se 1 gau do minuendo em minutos. Então, a opeação poposta pode se escita assim : 31 o 72 25-10 o 30 12 = 21 o 42 13.
6 c) 3. ( 32 o 22 24 ) = (3. 32 o )(3. 22 )(3. 24 ) = 96 o 66 72 que eduzido dá 97 o 7 24. d) 61 o 41 5 : 5 =? Como as odens de gau e de minuto não são divisíveis po 5, basta eduzí-las ao múltiplo de 5 imediatamente abaixo : 61 o 41 5 = 60 o 101 5 = 60 o 100 65. Então, a opeação poposta equivale a 60 o 100 65 : 5 = 12 o 20 13. OS : Uma unidade muito usual paa a medição de ângulos é o RDINO. Sabe-se que o compimento de toda cicunfeência equivale a 2π vezes o seu aio. O númeo de aios é exatamente o númeo de adianos. Então, como uma cicunfeência compeende um ângulo de 360 o, 2π ad = 360 o, ou seja, π ad = 180 o Exemplos : 1) Quantos adianos eqüivalem a 150 o? asta ama uma Rega de Tês simples : π ad ---------- 180 o x ---------- 150 o Então : x = 150π 5π = 180 6 ad 3π 2) Quantos gaus eqüivalem a ad? 4 asta substitui π po 180 o o 3π 3.180. Então ad = 4 4 = 135 o 3) quantos adianos eqüivalem 10 o 20? Na Rega de Tês, coloca todas as unidades em minutos : π ad ------- 180. 60 x ------- (10. 60 + 20 ) Então x = 620π (180).(60) 31π = ad 540
7 Execícios de Fixação : 1) Um estudante epesentou, numa folha de papel, dois ângulos de medidas m e n, tais que m = 30 o 2π 15 e n = ad. o fotocopia ampliando os desenhos, 5 as figuas epesentadas tiplicaam de tamanho. Nas fotocópias, com que medidas ficaam os ângulos? 2) O gado é uma medida coespondente a uma das 400 fatias iguais em que se divide um disco a pati do seu cento. quantos gados eqüivalem a) 45 o? 9π b) ad? 2 3) Reduza cada medida a segui : a) 12 o 78 10 b) 82 o 100 92 c) 22 o 12 210 d) 19 o 4.000 e) 62 365 f) 17 o 722 g) 1480 h) 17.245 i) 14.400 4) Esceva cada medida a segui, usando os submúltiplos do gau : a) 25,5 o b) 29,2 o c) 12,25 o d) 2,45 o e) 5,75 f) 74,15 5) Efetue cada opeação indicada a segui : a) 28 o 42 33 + 14 o 27 15 b) 13 o 32 50 + 27 o 28 10 c) 42 o 17 45-21 o 12 30 d) 67 o 12 46-50 o 15 20 e) 18 o 29 33-10 o 15 56 f) 9 o 2 18-2 o 7 25 g) 7. (2 o 12 20 ) h) 57 o 36 24 : 6 i) 51 o 30 30 : 7 j) 9 5. (108 o 55 21 ) 6) Num elógio, quantos gaus pecoe o maio ponteio até que se passem a) 20 min? b) 32 min? c) 1 h 15 min? d) 14,5 min? 7) Qual é o meno ângulo fomado pelos ponteios de um elógio que maca a) 3 h 15 min? b) 15 h 35 min? c) 9 h 40 min? d) 21 h 12 min? 8) Conveta paa adianos : a) 75 o b) 150 o c) 220 o d) 24 o e) 45 o 30 f) 350 g) 1 12 h) 25,4 o i) 12,45 o j) 90,75 o 9) Conveta paa gaus (use minutos e/ou segundos, se peciso) : π 5π π a) ad b) ad c) 12 18 72 ad 3π d) ad 8 e) 1,25π ad f) 0,45π ad ******************************************************************** Respostas : 1) as mesmas 2) a) 50 b) 900 3) a) 13 o 18 10 b) 83 o 41 32 c) 22 o 15 30 d) 20 o 6 40 e) 1 o 8 5 f) 29 o 2 g) 24 o 40 h) 4 o 47 25 i) 4 o 4) a) 25 o 30 b) 29 o 12 c) 12 o 15 d) 2 o 27 e) 5 45 f) 74 9 5) a) 43 o 9 48 b) 41 o 1 c) 21 o 9 15 d) 16 o 57 26 e) 8 o 13 37 f) 6 o 54 53 g) 15 o 26 20
8 h) 9 o 36 4 i) 7 o 21 30 j) 60 o 30 45 6) a) 120 o b) 192 o c) 450 o d) 87 o 7) a) 7 o 30 b) 102 o 30 c) 50 o d) 156 o 5π 5π 11π 8) a) ad b) ad c) ad 12 6 9 2π 91π 7π π 127π 83π d) ad e) ad f) ad g) ad h) ad i) ad 15 360 216 9. 000 900 1. 200 121π j) ad 9) a) 15 o b) 50 o c) 2 o 30 d) 67 o 30 e) 225 o f) 81 o 240 ******************************************************************** II) RELÇÕES ENTRE OS ÂNGULOS II.1) ÂNGULOS CONSECUTIVOS : Dois ângulos são consecutivos se possuem um lado comum. O C Os ângulos Ô e ÔC, acima, são Consecutivos. Os ângulos Ô e ÔC, acima, também são consecutivos. EXEMPLO : soma de dois ângulos consecutivos é 47 o e um deles tem 2 o a mais do que o dobo do outo. Calcula o maio dos ângulos. x 2x + 2 o Se convencionamos que a medida do meno é x, então o maio deles mede 2x + 2 o. Então x + (2x + 2 o ) = 47 o 3x = 45 o e x = 15 o. Como o maio mede 2x + 2 o, sua medida seá 2.15 o + 2 o = 32 o
9 II. 2) ÂNGULOS SUPLEMENTRES : Dois ângulos são Suplementaes quando sua soma é igual a 180 o. 180 o - x x C O Os ângulos Ô e ÔC, acima, são Suplementaes. Se um deles mede x, então o outo mediá 180 o x. Dizemos então que um deles é o suplemento do outo. EXEMPLO : difeença ente um ângulo e a metade do seu suplemento é 18 o. Calcule o ângulo. Convencionemos que : Se x é a medida do ângulo, então seu suplemento mede 180 o x e, de acodo com o enunciado do poblema, teemos 180 o o x - = 18 2x - 180 o + x = 36 o 3x = 216 o e 2 - x x = 72 o. Logo, o ângulo pedido mede 72 o. II. 3 ) ÂNGULOS DJCENTES : Dois ângulos são djacentes se são Consecutivos e não possuem ponto inteno comum. EXEMPLO : É o caso dos ângulos Ô e ÔC da figua no item II.1 e o caso dos ângulos Ô e ÔC da figua no item II. 2. II. 4 ) ÂNGULOS COMPLEMENTRES : Dois ângulos são Complementaes se a soma de suas medidas é 90 o. Na figua, Ô e ÔC são Complementaes. Se um deles mede x, o outo mediá 90 o x. 90 o - x O x
10 C EXEMPLO : difeença ente dois ângulos complementaes é 18 o. Calcule-os. 1 o Pocesso : Se convencionamos que um deles mede x, então o outo mediá 90 o x e, pelo enunciado do poblema, teemos x (90 o x) = 18 o 2x = 108 o e x = 54 o. Logo, um deles mede 54 o e o outo mede 36 o. 2 o Pocesso : Se convencionamos que o maio mede x e o meno mede y, o x + y = 90 teemos o sistema que esolvido po qualque o x - y = 18 pocesso nos daá x = 54 o e y = 36 o. II. 5 ) ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE : Dois ângulos são Oposto Pelo Vétice (OPV) quando os lados de um deles são semi-etas opostas aos lados do outo. D O C Na figua acima, os ângulos Ô e CÔD são OPV assim como os ângulos ÔC e ÔD também o são. DOIS ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE SEMPRE TÊM MESM MEDID
11 EXEMPLO : s medidas de dois ângulos opostos pelo vétice são dadas po 3a + 11 e 3b + 5 o. Se a + b = 28 o, calcule os valoes de a e b. Como dois ângulos OPV são iguais, temos : 3a + 11 o = 3b + 5 o 3a - 3b = -6 o ou ainda a - b = -2 o e como a + b = 28 o, temos o sistema e b = 15 o. a - b = - 2 o a + b = 28 o que esolvido po qualque método nos dá a = 13 o OS : bissetiz de um ângulo é a semi-eta que tem oigem no vétice do ângulo e o divide ao meio. O C Na figua acima, se med(ôc) = med(cô), então OC é a issetiz de Ô. II. 6 ) ÂNGULOS FORMDOS POR DUS RETS CONCORRENTES E UM TRNSVERSL : Obseve a figua abaixo, onde estão epesentadas duas etas concoentes e s e uma tansvesal (eta que concoe com outas ) : t a c g e b d f h s
12 ssim são classificados, aos paes, os ângulos assinalados na figua : Ângulos coespondentes : a e e, b e f, c e g e d e h. Ângulos altenos intenos : c e f e d e e. Ângulos altenos extenos : a e h e b e g. Ângulos colateais intenos : c e e e d e f. Ângulos colateais extenos : a e g e b e h. Se as etas e s foem paalelas (não tiveem ponto comum), então os ângulos coespondentes teão a mesma medida e, conseqüentemente : Os ângulos altenos intenos teão a mesma medida ; Os ângulos altenos extenos teão a mesma medida ; Os ângulos colateais intenos seão suplementaes ; Os ângulos colateais extenos seão suplementaes ; Obseve a figua a segui : t s c e a f b d // s g h Coespondentes : a = e, b = f, c = g e d = h ; ltenos intenos : c = f e d = e ; ltenos extenos : a = h e b = g ; Colateais intenos : c + e = 180 o e d + f = 180 o ; Colateais extenos : a + g = 180 o e b + h = 180 o. lém desses, podemos destaca ainda os paes de ângulos OPV na figua : a = d, b = c, e = h e f = g
13 Execícios de Fixação : 1) Dois ângulos consecutivos Ô e ÔC são tais que a medida do pimeio excede a medida do segundo em 32 o. Se a medida de ÔC é 50 o, calcule a medida de Ô. 2) difeença ente dois ângulos adjacentes é 20 o. Calcule o complemento do meno dos ângulos. 3) difeença ente o dobo do complemento de um ângulo e a metade do seu suplemento é 30 o. Qual é a medida do ângulo? 4) Dois ângulos complementaes são tais que sua difeença é 4 o. Calcule-os. 5) medida de um ângulo agudo (mede menos do que 90 o ) é a. Quanto mede a difeença ente o suplemento e o complemento de a? 6) Qual é a medida de um ângulo cujos 3 2 do complemento somados aos 5 3 do su- plemento pefazem 111 o. 7) Na figua, OC é a bissetiz de Ô e OE é a bissetiz de ÔD. Se o pimeio ângulo é o tiplo do segundo e med(côe) = 40 o, calcule a medida dos dois ângulos. O C D E 8) Moste que se dois ângulos são adjacentes e complementaes, então suas bis setizes fomam um ângulo de 45 o. 9) Moste que se dois ângulos são adjacentes e suplementaes, então suas bissetizes fomam um ângulo eto (90 o ). 10) s medidas de dois ângulos opostos pelo vétice são dadas po 2x 14 o e x + + 20 o. Calcule o valo de x. 11) Dois ângulos opostos pelo vétice têm suas medida expessas po 4a 2 o e 5b - 3 o. Se a + b = 20 o, calcule a medida desses ângulos. 12) (UFMG) s bissetizes de dois ângulos consecutivos fomam um ângulo de 46 o. Se um dos ângulos mede 32 o, calcule a medida do outo ângulo. 13) (UFMG) Duas etas que se cotam fomam quato ângulos. Se um deles mede 80 o, calcule as medidas dos outos tês.
14 14) (UFMG) Na figua, OC é a bissetiz do ângulo Ô, ÔD = 50 o e ÔD = = 22 o. Calcule a medida do ângulo DÔC. O C D 15) (UFMG) Na figua, OM é a bissetiz do ângulo Ô, ON é a bissetiz do ângulo ÔC e OP é a bissetiz do ângulo CÔD. Quanto vale a soma dos ân gulos PÔD e MÔN? C N P M D O 16) Na figua, E ED, E EC e ÊD = 144 o. Quanto mede o ângulo ÊC? C E D
15 17) Quato semi-etas O, O, OC e OD fomam ângulos consecutivos Ô, ÔC e CÔD, confome figua a segui. Sabe-se que O e OD são opostas e que ÔC = 120 o. Então, qual é a medida do ângulo fomado pelas bissetizes OX e OY dos ângulos CÔD e Ô, espectivamente? X C Y D O 18) Pova que dois ângulos opostos pelo vétice são conguentes (têm a mesma medida). 19) Duas etas paalelas e s deteminam ângulos coespondentes de mesma medida. Pova que a) os ângulos altenos intenos são conguentes ; b) os ângulos altenos extenos são conguentes ; c) os ângulos colateais intenos são suplementaes ; d) os ângulos colateais extenos são suplementaes. 20) Em cada caso a segui, calcule as medidas de ângulos desconhecidas : a) // s // m b) // s // m t t 60 o a s a s b b m m 75 o c) // s d) // s t 120 o s u t a a = 4x 40 o b c s
16 b = 6x 21) (PUC MG) - Na figua, e s são paalelas. Calcule as medidas de ângulos a, b, c e d. b 30 o a d 110 o c s 22) Na figua, // s. Pova que x + y + z = 360 o. y x z s 23) Na figua, // s. Pova que a + b = x + y. a b x y s 24) Na figua, // s. Calcule a medida coespondente a x. x 120 o 160 o s
17 25) Na figua, // s. Calcule x. 30 o 140 o x s 26) Na figua, // s. Calcule y. y 51 o 48 o 96 o s ******************************************************************* Respostas : 1) 41 o 2) 10 o 3) 40 o 4) 43 o e 47 o 5) 90 o 6) 45 o 7) 60 o e 20 o 10) 34 o 11) 42 o 12) 60 o 13) 80 o, 100 o e 100 o 14) 14 o 15) 2 π ad 16) 36 o 17) 150 o 20) a) a = 60 o e b =120 o b) a = b = 105 o c) a = 20 o e b =40 o d) a =72 o, b = 108 o e c =72 o 21) a = 70 o, b = 30 o, c = 80 o e d = 70 o 24) 80 o 25) 70 o 26) 93 o ******************************************************************* Execícios Complementaes : 1) Tês pontos são colineaes quando petencem a uma mesma eta. Os pontos,, C e D são colineaes e estão dispostos na odem CD. Se M é o ponto médio (ponto que divide o segmento ao meio) do segmento e N é o ponto médio do segmento CD, calcule MN em função de C e D. 2) Sejam um segmento, seu ponto médio M e um ponto P, inteno ao segmento M. Detemine PM em função de P e P. 3) Seja um segmento, seu ponto médio M e um ponto P do polongamento de
18. Calcule PM em função de P e P. 4) (PUC MG) Se, e C são pontos de uma eta ( ente e C), sendo C = 24 e = 5.(C). Calcule a medida C. 5) (UFMG) Paa calcula o compimento do segmento, usam-se duas unidades de medida. Repesentadas po u e v, essas unidades coespondem a 5 1 e 6 1 de, espectivamente. Considee um ponto F sobe. Se a medida de F com a unidade u é 2, calcule a medida de F com a unidade v. 6) Calcule as medidas de dois ângulos complementaes, sabendo que a sua dife ença é 15 o 18. 7) (PUC MG) - Convete 0,13 gaus em minutos e segundos. 8) quantos gaus eqüivale 1 adiano? 9) (UFMG) Qual é a medida, em adianos, de um ângulo de 7 o 30? 10) (PUC MG) Qual é a medida do meno ângulo fomado pelos ponteios de um elógio que maca 12 h 15 min? 11) Em tono de um ponto O e cobindo todo o plano, são taçadas cinco semi etas de oigem em O, que deteminam cinco ângulos cujas medidas são popocionais a 2, 3, 4, 5 e 6. Calcula as medidas desses ângulos. 12) Um ângulo mede 135 o 40 e foi dividido em quato pates. pimeia vale o dobo da segunda, a segunda mede os 3 2 da teceia e esta excede a Quata em 18 o. cha cada uma das pates. ***************************************************************** Respostas : 1) C + D MN = 2) 2 PM P P = 3) 2 PM P + P = 4) 4 5) 2,4 6) 37 o 21 e 52 o 39 7) 7 48 8) apox. 57 o π 9) 10) 82 o 30 24 11) 36 o, 54 o, 72 o, 90 o e 108 o 12) 20 o 25, 25 o 36 40, 38 o 25 e 51 o 13 20. 2
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