Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula João Roberto Gerônimo 1 1 Professor Associado do Departamento de Matemática da UEM. E-mail: jrgeronimo@uem.br.
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO Esta notas de aula tem como objetivo atender ao programa da disciplina Cálculo Diferencial e Integral do curso de Química da Universidade Estadual de Maringá. Será dividido em oito partes: 1. Introdução. Funções Reais a Uma Variável Real e Gráficos; 3. Limites e Continuidade; 4. Derivadas e Aplicações; 5. Integral e Aplicações; 6. Equações Diferenciais Ordinárias; 7. Funções Reais a Várias Variáveis Reais; 8. Diferenciação de Funções Reais a Várias Variáveis Reais; 9. Integração de Funções Reais a Várias Variáveis Reais. 3
4 OBJETIVOS DA DISCIPLINA 1 Familiarizar o aluno com o pensamento matemático, indispensável no estudo das Ciências. Possibilitar ao aluno o domínio dos conceitos e das técnicas do Cálculo. 3 Possibilitar ao aluno a aplicação do Cálculo em outras Ciências. AVALIAÇÕES Avaliação 1 3 4 5 6 AF Data /03 03/05 14/06 3/08 04/10 14/11 04/1 CRONOGRAMA E CONTEÚDO MINISTRADO AULA DIA PARTE ASSUNTO 1 07/0 Introdução - Apresentação da disciplina - Teste de conhecimentos de Matemática Básica 08/0 Introdução - Correção e discussão do Teste da aula anterior. 4
Conjuntos Numéricos Vamos supor que o estudante tenha alguma familiaridade com os conjuntos dos números naturais ( N ), inteiros ( Z ), racionais ( Q ), reais ( R ) e complexos ( C ) para estabelecermos alguns fatos necessários ao desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Relembraremos as principais definições e propriedades de cada um deles. O Conjunto dos Números Naturais O conjunto dos números naturais N = {0,1,,3, } com as operações de adição ( + ) e multiplicação ( ) possui as seguintes propriedades: Propriedades: Sejam m, n e p números naturais. Então, tem-se: (a) m + n N (fechamento); (b) m + n = n + m (comutatividade); (c) ( m + n) + p = m + ( n + p) (associatividade); (d) 0 N tal que 0 + m = m (existência de elemento neutro); (e) m n N (fechamento); (f) m n = n m (comutatividade); (g) ( m n) p = m ( n p) (associatividade); (h) 1 N tal que 1 m = m (existência de elemento neutro); (i) m ( n + p) = m n + m p (distributividade). Definição: Dados os números naturais m e n, dizemos que m é menor do que n ( m < n), se existe p N, p 0, tal que n = m + p. Dizemos que m é maior do que n ( m > n), se n < m. Propriedades: Sejam m, n e p números naturais. Então, tem-se: (a) m < n e n < p m < p ; (b) m < n m + p < n + p ; (c) ou m = n ou m < n ou m > n. 5
Definição: Dados os números naturais m e n, dizemos que m é menor ou igual a n ( m n), se m < n ou m = n. Analogamente, dizemos que m é maior ou igual a n ( m n), se m > n ou m = n. O conjunto dos naturais é ordenado pela relação " ". Propriedades: Sejam m, n e p números naturais. Então, tem-se: (a) m m ; (b) m n e n m m = n ; (c) m n e n p m p ; (d) m n m + p n + p ; (e) m n ou n m. O Conjunto dos Números Inteiros O conjunto dos números inteiros, que pode ser considerado como Z= { ± n; n N }, estende o conjunto dos números naturais com sua ordem e suas operações e, portanto, é também um conjunto ordenado. Definição: Sejam m e p números inteiros, com p 0. Dizemos que p é um divisor de m, se existe um número inteiro q, tal que m = pq. Um número inteiro m 1 é primo, se os seus únicos divisores são 1 e m. Além das propriedades dos números naturais já mencionadas, valem as seguintes propriedades: (a) Para cada inteiro m, existe um inteiro n, tal que m + n = 0 (existência de elemento oposto); (b) Todo inteiro m pode ser escrito como produto de números primos e essa decomposição é única, exceto pela ordem dos fatores primos (Teorema Fundamental da Aritmética). O inteiro n citado no item a da propriedade anterior é único e denotado por m. 6 6
O Conjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais, que pode considerado como Q = { a ; a, b Z e b 0 b }, estende o conjunto dos números inteiros com sua ordem e suas operações e, portanto, é também um conjunto ordenado. Definição: Os racionais a b e c d são iguais quando a d = b c. As propriedades citadas anteriormente para os números inteiros permanecem verdadeiras para os números racionais. Além daquelas, valem também as seguintes: (a) Para cada racional r 0, existe um racional s, tal que r s = 1 (existência de elemento inverso); (b) Sejam p e q racionais com p < q, então existe um racional w tal que p < w < q. O número s do item a da propriedade acima é único e denotado por 1 ou r 1. r Exercício 1: Mostre que não é número racional. Dica: escreva como um possível quociente de números inteiros e use o Teorema Fundamental da Aritmética. Representação geométrica de Q Podemos identificar o conjunto dos números racionais com pontos de uma reta ordenada. Para conseguirmos isso, devemos tomar uma reta e escolher um ponto P que será identificado com o número 0 Q. Escolhemos uma das semi-retas determinadas pelo ponto P e a identificamos como semi-reta dos números racionais positivos. Escolhemos um ponto S qualquer dessa semi-reta positiva e o identificamos com o número 1 Q. Fixando o segmento de reta PS como unidade de medida, podemos identificar qualquer número racional com um ponto da reta ordenada. 7
8 1 P 0 S 1 Para encontrar o ponto da reta identificado com o número racional a b, b > 0, dividimos a unidade de medida PS em b partes iguais e, a partir do ponto P, justapomos a vezes o segmento obtido nessa divisão. Marcaremos o ponto identificado com a na semi-reta positiva, se b a > 0 e o marcaremos na semi-reta oposta à semi-reta positiva, se a < 0. Existe uma pergunta crucial: dado um ponto da reta, sempre existe um racional identificado com ele? O Conjunto dos Números Reais Vimos que todos os números racionais estão identificados com pontos da reta ordenada. Será que existem pontos da reta que não estão identificados com números racionais? Será que existe algum ponto da reta ordenada identificado com? Veja a ilustração abaixo, na qual mostramos que existe um ponto da reta identificado com o número. Nessa figura, construímos um quadrado de lado unitário com um dos lados exatamente sobre um segmento AB da reta. A diagonal desse quadrado tem medida. Se transportarmos essa medida para a reta, marcaremos um ponto M, cuja distância até o ponto A é exatamente igual a unidades. 8
1 A 1 B M A partir dessa construção, é possível identificarmos, na reta ordenada, infinitos pontos, como, por exemplo, 5,. 5, 3,,, 3, Mais ainda, a reta ordenada possui outros números que não são racionais e que não podem ser escritos como resultado de extração de raízes sobre números inteiros ou racionais, chamados números transcendentes, tais como os números " e" e " π ". Definição: O conjunto dos números reais é o conjunto numérico formado pela união dos conjuntos dos números racionais e dos não racionais, identificados com os pontos da reta ordenada. Os números reais que não são racionais são chamados de números irracionais. Utilizaremos com certa freqüência alguns subconjuntos de R, tais como: Conjunto dos números reais não-negativos: R + ; Conjunto dos números reais não-nulos: R ; Conjunto dos números reais não-positivos: R. Considerando o conjunto dos números reais, mediante a identificação acima, permanecem válidas todas as propriedades advindas da relação de ordem e das operações dos racionais. 9
Devido à importância do conjunto dos números reais, apresentaremos, a seguir, as propriedades válidas para as operações de adição ( + ) e multiplicação ( ) nesse conjunto. Propriedades A1) se x, y R, então x + y R (fechamento); A) se x, y R, então x + y = y + x (comutatividade); A3) se x, y, z R, então x + ( y + z ) = ( x + y ) + z (associatividade); A4) para todo x R, existe 0 R tal que 0 + x = x (existência de elemento neutro); A5) para cada x R, existe y R tal que x + y = 0 (existência de elemento oposto); M1) se x, y R, então x y R (fechamento); M) se x, y R, então x y = y x (comutatividade); M3) se x, y, z R, então x ( y z ) = ( x y) z (associatividade); M4) para todo x R, existe 1 R tal que 1 x = x (existência de elemento M5) para cada } x R, existe y R tal que x y = 1 D) se x, y, z R, então x ( y + z ) = x y + x z (distributividade). 10 neutro); (existência de elemento inverso); O número real y citado na propriedade A5 é único e denotado por x. O número real y citado na propriedade M5 é único e denotado por 1 x 1 ou x. Um conjunto munido com duas operações que satisfazem as propriedades acima é denominado corpo. Assim, R munido das operações de adição e multiplicação é um corpo. O conjunto R é ordenado pela relação de ordem " " e essa ordem é compatível com as operações, isto é, para x, y e z números reais, a) se x y, então x + z y + z ; b) se x y e z 0, então xz yz. Como conseqüência, obtemos as seguintes propriedades para x, y, z e w números reais: 10
c) se x y e z 0, então xz yz ; d) se x y 0 e z w 0, então xz yw. Existem outras propriedades dos números reais que não são válidas para os racionais. Elas advêm da relação de ordem e serão estudadas em seguida. Limitantes, Supremos e Ínfimos Definição: Dizemos que um subconjunto não-vazio X R é limitado superiormente, se existe M R tal que x M, para todo x X. Todo número M R, nessas condições, é chamado de limitante superior ou cota superior de X. Segue da definição que se M for cota superior de um conjunto X, então qualquer número real maior do que M também será cota superior de X. Exemplo 1: Consideremos o conjunto X = { x ; x < } R. Vemos, por exemplo, que 3 é um limitante superior para esse conjunto, 10 também é um limitante superior, 531 também, ou seja, podemos obter 11 uma infinidade de cotas superiores para X. Mas será que existe um menor limitante superior para X? Definição: Dizemos que um subconjunto não-vazio X R é limitado inferiormente, se existe m R tal que m x, para todo x X. Todo número m R, nessas condições, é chamado de limitante inferior ou cota inferior de X. Segue da definição que se m for cota inferior de um conjunto X, então qualquer número real menor do que m também será cota inferior de X. Exemplo : Para o conjunto X do Exemplo 1 vemos que, por 315 exemplo, é um limitante inferior, que também é um 1 limitante inferior, que 31.793 também. 11
Perguntamos: existe um maior limitante inferior para esse conjunto X? 1 Definição: Dizemos que um subconjunto não-vazio X R é limitado, se X é limitado superiormente e inferiormente, ou seja, se existe M R + tal que M x M, para todo x X. Exercício : O conjunto C = { x R ;( x + 3) < 1 ou x < } é limitado. Encontre possíveis valores de M que satisfaçam a definição anterior. Definição: Dado um conjunto não-vazio X R, chamamos supremo de X (sup X ) à menor das cotas superiores de X e chamamos ínfimo de X ( inf X ) à maior das cotas inferiores de X. Quando o supremo de X pertencer ao conjunto X, chamamos esse número de máximo de X ( max X ). Do mesmo modo, quando o ínfimo de X pertencer ao conjunto X, o chamaremos de mínimo de X ( min X ). Para subconjuntos de N, Z e Q define-se analogamente supremo, ínfimo, máximo e mínimo. Exemplos 3. Considere novamente o conjunto X = { x ; x < } R. O menor dos limitantes superiores de X é e, portanto, sup X =. Analisando os limitantes inferiores, vemos que inf X =. 4. Tomando { Q ; } X = x x < = X Q, vemos que esse conjunto não possui nem supremo e nem ínfimo em Q. Mas sendo X R limitado superiormente e limitado inferiormente, então existe em R o supremo e o ínfimo de X. Como podemos ver, o conjunto dos números reais tem propriedades diferentes do conjunto dos números racionais, e é isso que torna R um conjunto tão especial. 1
5. Considere o conjunto X = { x R ; 1 < x 1}. Vemos que sup X = 1 e, como 1 X, max X = 1. Temos também que inf X = 1 e não existe min X, pois 1 X. Outras propriedades importantes dos números reais são: (a) Propriedade do Supremo: Todo subconjunto não-vazio X R limitado superiormente tem um supremo; (b) Propriedade Arquimediana: Se x, y R, x > 0, então existe n natural tal que n x > y ; (c) Q é denso em R, isto é, dado um número real x qualquer, sempre existe um número racional arbitrariamente próximo de x. O Conjunto dos Números Complexos Os números complexos surgiram da necessidade de resolver equações, como x + 1 = 0, que não têm solução em R. Para resolver esse problema, o conjunto dos números reais foi estendido ao conjunto dos números complexos ( C ). Nesse conjunto, foi introduzido um novo número, 1, denotado por " i " e denominado unidade imaginária. Dessa forma, as soluções da equação x + 1 = 0 são x = i e x = i. Definição: O conjunto dos números complexos é o conjunto dos números da forma a + bi, com a e b reais. Isto é, C = { a + bi; a, b R}. Dado um número complexo z = a + bi, chamamos a de a parte real de z e chamamos b de a parte imaginária de z. Dados os números complexos z = a + bi e w = c + di, as operações de adição e multiplicação em C são definidas por: Adição: z + w = ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i ; Multiplicação: ziw = ( a + bi ) i ( c + di ) = ( ac bd ) + ( bc + ad ) i. O conjunto dos números complexos com essas operações forma um corpo. 13
Propriedade: C é algebricamente fechado. Isso significa que, em C, toda equação polinomial tem solução. É importante observarmos que a ordem do corpo dos números reais não se estende ao corpo dos números complexos. De fato, se i > 0, então i deveria ser maior do que zero, mas i = 1< 0. Por outro lado, se i < 0, então i também deveria ser maior do que zero, mas i = 1< 0. Exemplo 6: A adição de dois números complexos pode resultar em um número real. De fato, dado z = a + bi, seja z = a bi, então z + z = a + 0i = a. O número z é denominado conjugado de z. Exercícios 3. Determine o inverso do complexo não-nulo z = a + bi. 4. Calcule 3 i 1 i. 1 + 1i + 3i Trabalhando com os Números Reais Desigualdades A seguir, apresentamos alguns exemplos do uso das propriedades da relação de ordem dos números reais. Exemplos 1 7. Vamos resolver a inequação + x < 7 x + 5. Para isso, devemos encontrar todos os números reais que satisfazem a desigualdade. Se x é um número real tal que 1 1 + x < 7x + 5, então, adicionando a ambos os membros da desigualdade, temos 1 + x 1 < 7x + 5 1, 9 ou seja, x < 7x +. Adicionando 7x a ambos os membros dessa 14 14
9 desigualdade, temos 5x <. Dividindo ambos os membros dessa 9 desigualdade por 5, obtemos x >. Assim, obtemos o conjunto 10 9 solução S = { x R x > } 10 x + 3 8. Vamos mostrar que se x > 1, então > 0. Por hipótese, x > 1, x 1 x + 3 logo x 1 > 0 e, portanto, x + 3 > 0. Desta forma, > 0, pois o x 1 quociente de números positivos é um número positivo. 9. Será que a recíproca do Exemplo 8 é verdadeira? Ou seja, se x + 3 > 0, então x > 1? A resposta é não. Basta tomar, por exemplo, x 1 x = 4. Módulo de um Número Real Definição: O valor absoluto (ou módulo) de um número real x, denotado por x, é definido como x x, x 0 =. x, x < 0 Segue da definição que o valor absoluto de um número real x é um número positivo ou nulo, isto é, x é sempre um número nãonegativo. Se x corresponde a um ponto P da reta real, então x é a distância entre P e a origem. Propriedades: Sejam x, y e a números reais. Então, tem-se: (a) x = x ; 15
16 (b) x = x e x (c) x. y = x. y ; = x ; (d) x y x + y x + y ; (e) x (f) x (g) x (h) x < a se, e somente se, a < x < a, onde a > 0 ; a se, e somente se, a x a, onde a > 0 ; > a se, e somente se, x > a ou x < a, onde a > 0 ; a se, e somente se, x a ou x a, onde a > 0. Demonstração: Faremos a demonstração do item d, deixando a demonstração dos demais itens como exercício. Vamos mostrar inicialmente que x + y x + y. Para todo x real, temos que x x e, portanto, x. y x. y. Assim, x + y = ( x + y ) = x + xy + y = x + xy + y x + xy + y = x + x y + y = ( x + y ) e, portanto, x + y x + y. Vamos agora mostrar que x y x + y. Temos x = x + y y = ( x + y) + ( y ) x + y + y = x + y + y, donde concluímos que x y x + y. Por outro lado, y = y + x x = x + y + ( x ) x + y + x = x + y + x, donde concluímos que y x x + y. Da definição de módulo, temos Então, x y x + y. x y, x y x y =. y x, x < y Intervalos 16
Definição: Um intervalo é um subconjunto S Rque satisfaz às seguintes propriedades: (a) S contém mais do que um ponto; (b) Se x1, x S e x1 < x < x, então x S. Proposição: Se a e b são números reais e a < b, então existe x R tal que a < x < b. a + b Demonstração: Basta tomar x =. Nesse caso, tem-se: a + b a + a a + b b + b > = a, ou seja, x > a e < = b, ou seja, x > a e x < b. Portanto, tem-se a < x < b. Como conseqüência desse resultado, dados os números reais a e b, com a < b, qualquer intervalo é descrito por uma das seguintes formas: [ a, b] = { x R ; a x b} ; ( a, b) = { x R ; a < x < b} ; [ a, b) = { x R ; a x < b} ; ( a, b] = { x R ; a < x b} ; (, a) = { x R ; x < a} ; (, a] = { x R ; x a} ; ( a, + ) = { x R ; x > a} ; [ a, + ) = { x R ; x a} ; (, + ) =R. É importante observarmos que os símbolos " + " (mais infinito) e " " (menos infinito) não representam números reais. Os intervalos ( a, b ),(, a) e ( a, + ) são chamados intervalos abertos. Os intervalos [ a, b ], (, a] e [ a, + ) são chamados 17
intervalos fechados. Os números reais a e b são chamados extremos do intervalo. Nem sempre os extremos pertencem ao intervalo. O intervalo [ a, b ] contém ambos os extremos, enquanto que o intervalo ( a, b ) não contém nenhum extremo. O intervalo ( a, b] contém apenas o extremo b e o intervalo [ a, + ) contém o seu único extremo a. Exercícios 5. Em cada desigualdade, encontre o conjunto solução, expresse-o com a notação de intervalos e represente-o na reta numérica. a) 5x + > x 6. b) 1 3 1 x x < 0 c) 3x 5 < x + 3 4 3 d) 5 3x < 11 e) 1 x 1 f) x > 9 1 4 x + 1 x g) 1 x x 0 h) i) < 3x 7 3 x x 3 + x j) 4 3 > 7 x x 6. Em cada um dos itens a seguir, resolva a equação em x. a) x 3 = b) 5x = 3 x c) x = 3 5x d) x 5 = 3x + 7 e) x x + = 5 7. Em cada desigualdade, encontre o conjunto solução, expresse-o com a notação de intervalos e represente-o na reta numérica. a) x 5 < 1 b) 3x + 5 > c) x 4x + 1 d) 9 x 7x e) 3x + 5 x + 1 f) 3 x 4 + x 5 5 1 5 3x 1 g) 3 h) i) x 1 x 1 x 3x + 1 5 18 18
8. Use a desigualdade triangular para mostrar que as desigualdades se verificam sob as condições dadas. 1 a) x < e 1 b) x + < e 1 c) x y < e y <, então 3 y + <, então 3 x + <, então 3 7 x y < 6 7 x y < 6 7 y + < 6 9. Expresse as desigualdades a > b + c e a > b c em uma única desigualdade equivalente. 19