CURSO MENTOR Soluções Comentadas Matemática Processo Seletivo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante Versão.8 05/0/0 Este material contém soluções comentadas das questões de matemática do processo seletivo da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante.
Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão à Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante EFOMM Questão Concurso 009/00 Analise as afirmativas abaio. I. Seja K o conjunto dos quadriláteros planos, seus subconjuntos são: P = K possui lados opostos paralelos ; { } L = { K possui lados congruentes} ; R = { K possui ângulos retos} ; e Q = { K possui lados congruentes e ângulos com medidas iguais}. Logo, L R = L Q. II. Seja o conjunto A = {,,, }, nota-se que A possui somente subconjuntos. III. Observando as seguintes relações entre conjuntos: a,b,c,d Z a,b,c,d,e c,d Z a,c,d,e { } = { }, { } = { } e { b,c,d} Z { c} concluir que Z = { a,c,e}. Em relação às afirmativas acima, assinale a opção correta. (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. (B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. (D) Apenas a afirmativa III é verdadeira. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira. = ; pode-se Analisando cada uma das afirmativas: I. Falsa. Os conjuntos P, L e R são definições de quadriláteros conhecidos: P é o conjunto dos paralelogramos, L é o conjunto dos losangos, R é o conjuntos dos retângulos. O conjunto Q representa os losangos também, embora ter lados iguais é condição necessária e suficiente para ser losangos. Dada esta análise temos que: L R representa o conjunto dos quadrados que atendem ambas as condições; L Q é o próprio conjunto dos losangos. Daí temos que L R L Q. Lembre que todo quadrado é losango possui lados iguais mas nem todo losango é quadrado. II. Falsa. O número de subconjuntos de um conjunto é dado pela epressão n. Onde n é o número de elementos do conjunto dado. Assim o número de subconjuntos de A é = 6.
III. Verdadeira. Seja a definição da união de conjuntos: A B = A ou B (.) { } Usando esta definição vamos analisar cada proposição: a,b,c,d Z = a,b,c,d,e, concluímos que e Z, pois ele aparece Como { } { } na união; Temos que { c,d} Z { a,c,d,e} =, concluímos que a Z, pelo mesmo motivo anterior; A definição da interseção é A B = A e B (.) { } Usando esta definição e vendo que { b,c,d} Z = { c}, pode-se concluir que b Z e d Z. Pela definição de interseção c Z. Assim concluímos que Z = a,c,e. { } Questão Opção D Considere a função real f, definida por f ( ) = e duas circunferências C e C centradas na origem. Sabe-se que C tangencia o gráfico de f, e que um ponto de abscissa pertence a C e ao gráfico de f. Nessas condições, a área da coroa circular, definida por C e C, é igual a (A) 65 π (B) 9 π (C) 5 π (D) 9 π (E) π Para facilitar o entendimento, façamos um gráfico contendo as circunferências e a função f: y C C f = Como o ponto de abscissa = pertence a f podemos usá-lo na epressão da função: f = f = Usando a epressão da circunferência C podemos achar seu raio: C : y = R
Seja a equação de C : Seja 0 0 = R 6 65 6 = R R = R = C : y = r,y o ponto de tangencia entre C e f. Vamos derivar a epressão de f em função de : f ( ) = f '( ) = ( )' f '( ) = ( ) ( ) f '( ) = Como a tangente é única vamos derivar a epressão de C. Mas antes vamos escrevê-la em função de f ( ): y = r f ( ) = r f ( ) = ± r Podemos tomar somente a porção negativa de f ( ), ou seja consideramos que a derivada é positiva, bem como 0: Vamos derivar f ( ): f = r f r f ' = = r ' f ' r ' f ' r f '( ) = r = ( ) = ( ) ( ) Agora igualamos as derivadas em 0: f ' Então: () = f '( ) 0 0 0 = ( r 0 ) Devemos lembrar que o ponto ( 0,y 0 ) pertence tanto a f quanto a C, ou seja: E Desenvolvendo a equação (): Substituindo () em (): () y = r () y0 0 0 = 0 0 = 0 ( r 0 ) 0 0 = ( r 0 ) () 6 ( 0 = r 0 )
Substituindo (5) em (): Logo: Da equação (): O raio de C : A área S da coroa circular é: = r (5) 0 = r 0 0 = 6 0 = 0 6 0 0 0 0 8 8 0 0 0 0 = 6 = = y = y = y = 0 0 0 0 = r r = r = 65 65 9π = π π = π = π = S R r S S S Opção B Questão Considere a equação de incógnita real : cos cos = cos Se 0 ( 0, π ) é uma de suas soluções e 0 centímetros é a medida da diagonal de um cubo, então a área da superfície total desse cubo, em cm, é igual a π π 7π (A) (B) (C) 6 (D) (E) 6π 8 8 Vamos desenvolver a epressão: cos cos = cos ( ) Como cos = cos sen : cos cos = cos sen Mas sen = cos : Epandindo cos : cos cos = cos cos cos cos = cos cos cos cos = cos cos cos = cos sen cos cos = cos 5
Então: Resolvendo cada equação: ) cos cos = cos cos cos cos = 8cos 8cos 6cos 6cos = 0 6cos cos = 0 6 cos = 0 ou cos = 0 6cos = 0 cos = 0 cos = 0 π = k π, k Z π Só teremos solução para k = 0, pois =. ) cos = 0 cos = cos = ± = 0 k π, k Z Teremos solução para: k = 0 = 0 k = = π π Como o intervalo é aberto temos somente a solução =. A diagonal de um cubo de aresta a é dada pela epressão: d = a π π = a a = Calculando a área total do cubo: S = 6a π S = 6 π π S = 6 S = Opção B Questão O valor numérico da epressão (A) (B) π π cos sec 00 tg ( ) cos sec 780 (C) (D) é igual a (E) 8 Vamos desenvolver a epressão E dada: π π cos sec 00 tg E = cos sec 780 6
E = Curso Mentor π π cos π sec ( 6 60 0 ) tg 8π ( ) cos sec 60 60 π π cos sec ( 0 ) tg E = ( ) cos sec 60 π 7π cos sec ( 0 ) tg E = ( ) cos sec 00 cos ( 0 ) E = ( ) sen 00 cos ( 0 ) E = ( ) sen 00 E = E = E = Opção B Questão 5 João construiu um círculo de papel com centro O e raio cm (Figura ). Traçou dois diâmetros AC e BD perpendiculares e, em seguida dobrou o papel fazendo coincidir A, O e C, conforme sugere a Figura. A D O B C Figura 7
A D O B C Figura A área da parte do círculo não encoberta pelas dobras, sombreada na Figura, é igual a (A) ( 96 6 π ) cm (B) ( 6 π 8 ) cm (C) ( 6 π ) cm (D) ( 6 π ) cm (E) ( π ) cm Sejam E e F os pontos de interseção da dobra com o círculo, como sugere a Figura : A r E r r F D O B C Figura Calculando o cosseno do ângulo AOF ˆ teremos: r r cos α = cos α = cos α = r r Portanto: α = 60 Ou seja, o arco EF vale 0. A área S do triângulo EFO vale: r EF EF S = S = S = EF 8
Calculando EF: Curso Mentor = EF EF = 6 EF = EF = cm Calculamos agora a área A da folha EAF. Ela é determinada pela diferença entre a área de um setor circular de 0 e o triângulo: πr A = Área de um setor de 0 Área do triângulo EFO π 6π A = A = Como são folhas, basta subtrair da área do círculo: 6π SHachurada = π r 6π 8 SHachurada = 6π 8π 6π 8 8 6π SHachurada = SHachurada = SHachurada = ( 8 6π ) cm Sem Opção Questão 6 Seja f : R R uma função estritamente decrescente quaisquer e reais com < tem-se f ( ) > f ( ). Nessas condições analise as afirmativas abaio: I f é injetora. II f pode ser uma função par. III Se f possui inversa então sua inversa é estritamente decrescente. (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. (B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. (D) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira. Para solucionar esta questão, vamos fazer um gráfico de uma função estritamente decrescente entre e. I Verdadeira. Por definição, uma função estritamente decrescente tem para quaisquer intervalos contidos em seu domínio que > f < f Ou seja, não há pontos em que e f = f Que é justamente a definição de função injetora. II Falsa. Para que uma função seja par devemos ter = e f = f Isto implicaria que a função f não seria estritamente decrescente. 9
III Verdadeira. Basta analisar o gráfico abaio. Repare que f é estritamente decrescente e sua inversa que é simétrica em relação à função y = também é estritamente decrescente. y f ( ) y = f ( ) Opção B Questão 7 0 0 Sejam as matrizes A =, 0 0 0 0 0 determinante da matriz X é igual a (A) 6 (B) 7 0 B = 0 0 0 0 0 (C) (D) 8 e X (E) 6 = A B, O Eiste uma propriedade dos determinantes relacionada com o produto de matrizes: det AB = deta detb Portanto detx = deta detb Ambas as matrizes são triangulares, ou seja, abaio (ou acima) da diagonal principal têm seus elementos nulos. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da sua diagonal: deta = deta = 6 detb = detb = A matriz inversa também tem uma propriedade em relação ao determinante: detx = detx Outra propriedade diz respeito ao produto de um número real por uma matriz e seu determinante: n det ax = a detx, onde n é a ordem da matriz Portanto, det ( X ) = det ( X ) = detx deta detb Substituindo os valores encontrados anteriormente: 8 det ( X ) = 6 det ( X ) = 6 0
Questão 8 Opção D Considere o conjunto dos números compleos Z com a propriedade Z 69i 65 admitindo que i é a unidade imaginária. O elemento desse conjunto que possui o maior argumento θ, 0 θ < π, é igual a (A) 60 i (B) 65 69i (C) 0i (D) 65 69i (E) 65 56i Seja Z = yi o número compleo dado. Aplicando à epressão teremos: Daí: yi 69i 65 ( y 69) i 65 Calculando o módulo do número compleo: Elevando ambos os lados ao quadrado: y 69 65 ( y 69) ( 65) Que é uma equação de uma circunferência de raio 65 e centro C ( 0, 69). Representando no plano de Argand-Gauss: Im ( Z) θ 65 Re ( Z) 69 Note que o argumento na figura é o maior possível para o número compleo Z dado. Ou seja, Z = 65 69i. Opção B Questão 9 A equação = 7 tem uma solução inteira positiva. O número de divisores inteiros e positivos de é: (A) 0 (B) (C) (D) (E) Vamos desenvolver a epressão dada:
= 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 Elevando ambos os lados ao quadrado: Fazendo = 7 6 69 = 7 = M teremos: M, 8 = 0 M M 8 = 0 ( 8) = = 69 9 = 6 9 M = M = M = 6 ( ) ± 6 = 9 6 M = M = M = = = = = = M 6 6 6 M = = = = 7 A segunda solução não serve, pois não é positiva. O número de divisores é dado por: = divisores Opção D Questão 0 Sabendo que o log0 (A) a b a = a e log0 5 (B) a b a = b, que opção representa log0? (C) a b (D) a b a a (E) a b a Vamos colocar os logaritmos dados na base 0: log0 log0 log0 log0 log0 = a = a = a = a = a log 0 log 0 log log 0 log 0 0 0 0 0 Agora basta isolarmos log0 na epressão anterior: log0 a = a log0 = a log0 a log0 = log0 a Vamos ao outro logaritmo:
log 5 log 5 log 5 log 5 0 0 0 0 log0 5 = b = b = b = b = b log00 log0 ( 0) log0 log00 log0 Usando o resultado anterior: log0 5 = b a a log0 Isolando log0 5 : log0 5 a ab b ab b = b log0 5 = b b log0 5 log0 5 a = = a a a a log0 Calculamos agora o logaritmo pedido: 0 b a b log0 = log0 = log0 0 log0 5 = = 5 a a Questão Opção E 0 Os pontos A,, B (,0), C( 0,0 ) e D ( a,b ) são vértices de um quadrilátero circunscrito a uma circunferência. A equação da reta AD é representada por 5 (A) y = 5 (B) y = (C) y = 5 (D) y = 5 (E) y = 0 Queremos uma reta que passe por A,. Utilizando as opções para conferir teremos: (A) Correta. y = 5 5 y = 5 ( ) 5 y = 0 5 y = 0 (B) Falsa. (C) Falsa. y = y = ( ) y = 8 y = 5 5 5 5 (D) Falsa. y = y = y = (E) Falsa. y = 5 y = 5 ( ) y = 0 y = 7 6
Observação: Esta é uma solução não formal. Por enquanto, não encontramos nenhuma solução mais formal que fosse viável do ponto de vista do tempo. Atualizaremos este arquivo assim que encontrarmos. Opção A Questão Sejam ABC e BCD dois triângulos retângulos congruentes, contidos em planos perpendiculares, com hipotenusas AC = BD = 8 m e cateto AB = m. O volume, em m, do tetraedro ABCD definido peles vértices desses triângulos é igual a (A) 6 (B) 8 (C) 6 (D) (E) De acordo com o enunciado temos a figura abaio: α A β D 8 B 8 C No triângulo ABC temos que: AC = AB BC 8 = BC BC = 6 6 BC = 8 BC = Aplicando este resultado ao triângulo BCD: BD = BC DC 6 = 8 DC DC = O que confirma a congruência dos triângulos. O volume do tetraedro: V = SBase H V = V = m Observação: Repare que só é possível calcular rapidamente o volume porque os planos são perpendiculares e a altura AB está contida no plano α e a base no plano β. Opção E Questão As medidas dos lados AC, BC e AB de um triângulo ABC formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente. Os ângulos internos Â, ˆB e Ĉ desse triângulo possuem a seguinte propriedade: sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ senaˆ senbˆ coscˆ = cos Cˆ. Se o perímetro do triângulo mede m, sua área, em m, é igual a:
(A) (B) (C) 9 8 (D) (E) Para facilitar vamos usar a figura abaio como base: A b c C a De acordo com o enunciado temos a seguinte P.A.: b,a,c Pela propriedade das P.A. s temos: b c () a = Usando a lei dos cossenos sobre o ângulo em C temos: () c = b a ab coscˆ A partir da epressão: ˆ ˆ ˆ ˆ sen A sen Bˆ sen C sena senbˆ cosc = cos Cˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sen A sen Bˆ sen C sena senbˆ cosc = sen Cˆ () sen Aˆ sen Bˆ senaˆ senbˆ coscˆ = Da lei dos senos temos: a b () sena ˆ = senbˆ Da equação (): c b a (5) c b a ab coscˆ coscˆ = = ab Da equação (): a b b senaˆ (6) senbˆ = = senaˆ senbˆ a Substituindo (5) e (6) em (): ˆ ˆ ˆ b sen A ˆ bsena c b a sen A sena = a a ab ˆ ( ) b sen Aˆ bsen A c b a sen Aˆ = a a b a sen Aˆ b sen Aˆ sen Aˆ ( c b a ) = a sen Aˆ a b ( c b a ) = a a a (7) sen Aˆ = senaˆ = c c Substituindo (7) em (): 5 B
a b ˆ b = senb = a senbˆ c c Também da lei dos senos temos: a c a c = = sencˆ = Cˆ = 90 senaˆ sencˆ a sencˆ c Da equação () e do enunciado: b c a = c = b a a b c = Da primeira e terceira equações deste sistema: a = a = Temos agora: b c = c = b Substituindo a segunda na primeira: Finalmente calculando b: A área deste triângulo: c = c c = c c c = 5 5 5 c = c = 5 b = b = ab 9 S = S = S = m 8 Opção C Questão Um triângulo isósceles ABC, com lados AB = AC e base BC, possui a medida da altura relativa à base igual à medida da base acrescida de dois metros. Sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 6 metros, pode-se afirmar que sua base mede (A) 8 metros (B) 9 metros (C) 0 metros (D) metros (E) metros Para facilitar o entendimento, vamos fazer uma figura ilustrativa: 6
A h De acordo com o enunciado temos: b = 6 h = b Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo AMB teremos: b = h Da primeira equação temos: 6 b = Substituindo estes resultados na terceira equação (Pitágoras): C b M b 6 b b = ( b ) 6 7b b b = b b 6 7b b = b 6b 6 b 6 7b = b 6b 6 b 88b 6 6 = 0 b 88b 6 6 = 0 b 88b 0 = 0 b b 0 = 0 Resolvendo a equação do º grau: = 0 = 8 80 = 76 0 b = b = b = 0 ± 76 b, = 6 b = b = b = Como a base não pode ser negativa temos que b = 0. B Opção C Questão 5 O gráfico das três funções polinomiais do º grau a, b e c definidas, respectivamente, por a(), b(), e c() estão representadas abaio: 7
y b ( ) c ( ) a ( ) Nessas condições, o conjunto solução da inequação (A) (, ) [, ) (B) [, ] [, ) (C) (, ) [, ) (D) [, ) (E) R { } ( a ( ) ) b ( ) c ( ) 5 6 0 é A potência sobre as funções não altera suas raízes, somente sua imagem. Então podemos montar um quadro de sinais normalmente, observando as raízes mostradas no gráfico: a ( ) b ( ) c ( ) Q Observando o gráfico temos a solução. Opção C Questão 6 Um triângulo obtusângulo ABC tem 8 cm de perímetro e as medidas de seus lados formam uma progressão aritmética crescente ( AB,AC,BC ). Os raios das circunferências inscrita e circunscrita a esse triângulo ABC medem, respectivamente, r e R. Se ˆ sena 5 = e ˆ senb 5 =, então o produto r R, em cm, é igual a 6 8
(A) 5 9 Curso Mentor (B) 6 6 (C) 5 (D) 6 (E) Façamos então uma figura para ilustrar o enunciado: A b c De acordo com enunciado: É uma P.A. crescente. Ou seja, C a ( c,b,a ) b = c a Como o perímetro é 8: 8 = a b c Então: b b = 8 b = 8 b = 6 Da lei dos senos: a b R sena ˆ = senbˆ = Podemos encontrar o valor de R: b 6 6 = R R = R = senbˆ 5 5 6 Calculamos agora o valor de a: a 5 6 R a a 8 sena ˆ = = 5 = A razão r da P.A.: r = a b r = 8 6 r = Portanto c =. Sabemos que a área de um triângulo circunscrito a uma circunferência pode ser calculado por: S = p r E a área de um triângulo inscrito em uma circunferência pode ser calculado por: abc S = R Como queremos r R : S abc abc r R = r R = p S p 6 8 6 r R = r R = 9 Opção D 9 B
Questão 7 Curso Mentor Seja f uma função de domínio D ( f ) = R { a}. Sabe-se que o limite de tende a a é L e escreve-se lim f ( ) = L, se para todo ε > 0, eistir δ > 0 0 a < < δ então f ( ) a L < ε. Nessas condições, analise as afirmativas abaio., se I Seja f ( ) =, logo, lim f ( ) = 0, se = II Na função, se < f =, se =, se > lim f =., tem-se III Sejam f e g funções quaisquer, pode-se afirmar que lim ( f g) n ( ) ( LM) se lim f ( ) = L e lim g ( ) a a = M. Assinale a opção correta: (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira (B) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras (C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras (D) Apenas a afirmativa III é verdadeira (E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras a f, quando, tal que, se =, n N, n Vamos analisar cada uma das proposições: I Falsa. Analisando o limite teremos: ( ) ( ) lim = lim = lim ( ) = II Falsa. Pela definição da função temos que: lim f = III Verdadeira. É uma propriedade dos limites. Temos que: E Então, usando estas duas propriedades: n = lim f ( ) n lim f a a = lim f g lim f lim g a a a n { } n n n n lim f g = lim f g = lim f lim g a a a a n n = lim f lim g = L M = LM a a n n n Opção D Questão 8 A epressão 6n n representa a soma dos n, primeiros termos de uma sequência numérica. É correto afirmar que essa sequência é uma progressão (A) aritmética de razão (B) aritmética de razão (C) aritmética de razão 0
(D) geométrica de razão (E) geométrica de razão Como a epressão representa a soma dos termos da sequência podemos encontrar o primeiro termo e a partir da soma descobrir o segundo: Soma de termo ou primeiro termo: a = 6 a = 7 Usando a epressão: Soma de termos: S = 6 S = 6 Mas S = a a 6 = a 7 a = 9 Somando os três termos Soma dos termos iniciais: S = 6 S = 7 Como S = a a a 7 = a 9 7 a = A nossa sequência é: 7,9,,... S S = 6 S = 7 Cada termo, a partir do segundo, é o anterior mais. Questão 9 Opção C Se X é um conjunto com número finito de elementos, n ( X ), representa o número de elementos do conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades: n A B C = 5 n ( A C) = n ( B A) = 0 n ( A C) = n ( C ( A B) ) O maior valor possível de n ( C ) é igual a (A) 9 (B) 0 (C) (D) (E) Fazemos o diagrama de Venn do enunciado:
A a e g c B d f Dos dados do enunciado: b n ( A B C) = 5 n ( A) n ( B) n ( C) n ( A B) n ( A C) n ( B C) n ( A B C) = 5 a d e g e g c f d g f b e g d g g f g = 5 a d e g c f b = 5 E ainda: C n ( A C) = a e = n ( B A) = 0 c f = 0 ( ) n A C = n C A B d g = b Então, substituindo na primeira equação: b 0 b = 5 b = 5 b = Queremos n ( C ) : Logo Ou seja n ( C) = d g f b n ( C) = f a d e g c f b = 5 n ( C) a e c = 5 O menor valor possível para c é zero. n ( C) c = n ( C) = Para que isto ocorra devemos ter f = 0, o que está correto, já que c f = 0. Opção D Questão 0 Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo com altura h e base quadrada. Ele está com uma certa quantidade de água até uma altura h. Duas esferas, ambas com diâmetros iguais a dm, foram colocadas dentro do recipiente, ficando esse recipiente com o nível de água até a borda (altura h). Considerando que o volume do h paralelepípedo retângulo é de 0 litros, pode-se afirmar que a razão h, utilizando π =, vale: Veja a figura abaio:
h h S Seja S a área da base do paralelepípedo. Temos que seu volume será: 0 V = S h S = h As duas esferas colocadas têm o volume total igual ao volume que faltava pra encher o paralelepípedo de água, ou seja, π r = S (h h ) Então: 8 0 π = (h h ) h π (h h ) = 0 h π (h h ) = 5 h Do enunciado, π = : (h h ) (h h ) = = 5 h 5 h h = 5h 5h h = 5h h = h 5 Opção D