CAPÍTULO VI: HIDRODINÂMICA Aula 01 Equação de Euler Hipóteses Simplificadoras para a dedução da Equação de Bernoulli Equação de Bernoulli Significado dos termos da Equação de Bernoulli Representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli Potência da Corrente Aplicações imediatas da Equação de Bernoulli Exercícios VI.1
6.1 - Conceituação Hidrodinâmica é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o movimento das partículas fluidas levando em consideração as forças intervenientes em tais movimentos. 6.2 - Objetivo Determinação da Equação de Euler (equação 6.1) e da Equação de Bernoulli (equação 6.2) para os fluidos ideais. dp γ + VdV g + dz = 0 (6.1) p V 2 p V 2 1 1 Z 2 2 Z constante (6.2) 2g 1 2g 2 VI.2
6.3 - Equação de Euler ao longo de uma linha de corrente A equação de Euler resulta da aplicação da 2ª Lei de Newton ao movimento de partículas fluidas em escoamento. Relaciona a pressão, a velocidade e a posição de uma partícula em movimento ao longo de uma linha de corrente, em uma única equação analítica. 6.3.1 - Dedução da Equação de Euller Para a dedução da equação de Euller aplica-se a Segunda Lei do Movimento de Newton que, para o caso específico do tubo de corrente da Figura 6.1, basta se perceber que Numa linha de corrente de fluido em movimento o somatório das forças de contato, com as forças de campo - ou gravitacionais - deve igualar-se às forças inerciais agindo na partícula em movimento na própria linha de corrente. Observação: as forças inerciais são as relacionadas ao movimento da partícula, podendo retardar ou acelerar o movimento, de acordo com as oscilações na magnitude das velocidades. Essas forças podem ser estimadas pela Segunda Lei de Newton do movimento, ou seja: dv df dm (6.3) dt VI.3
Em um escoamento permanente e unidimensional (Figura 6.1), considere um filamento de corrente BC, de comprimento elementar dl. No prisma elementar da Figura 6.1, aplicando a Segunda Lei do Movimento de Newton, tem-se: dv. da. dl PdA. dt P dpda dw sen (6.4) Ou após desenvolver a equação 6.4: VdV g dp dz 0 (6.5) Figura 6.1 Representação de um tubo de corrente de dimensões elementares usado para deduzir a equação de Euler. da : área da seção transversal em 1 e 2; P : pressão unitária em 1; P dp : pressão unitária em 2; Z : cota do ponto 1; Z dz : cota do ponto 2; ângulo entre a linha de corrente [1-2] e o plano horizontal; dw : peso do prisma elementar; dl : comprimento do prisma elementar; : peso específico do fluido. VI.4
6.4 Equação de Bernoulli para fluidos ideais Na dedução da equação de Bernoulli para os fluidos ideais, as seguintes hipóteses devem ser consideradas: i. O escoamento do fluido se faz sem atrito, não sendo consideradas as ações da viscosidade. ii. O escoamento é permanente. iii. O escoamento se dá ao longo de um tubo de corrente de dimensões infinitesimais. iv. O fluido é incompressível. Para se chegar a equação de Bernoulli, basta integrar a Equação de Euller entre dois pontos subseqüentes de uma linha de corrente do escoamento. Figura 6.2 Linha de corrente isolada de um escoamento qualquer para dedução da equação de Bernoulli. VI.5
V 2 V 1 VdV g Z 2 Z 1 dz P 2 P 1 dp γ 0 (6.6) 2 2 V P V P 1 1 2 2 Z Z 1 2 2g 2g Cte (6.7) A equação 6.7 traduz o Princípio de Conservação da Energia, para fluidos em movimento, cujo teorema atribui-se a Daniel Bernoulli (1700-1782) e pode ser assim enunciado: Ao longo de uma linha de corrente é constante a soma das energias cinética, piezométrica e geométrica ou potencial. Aspecto relevante: é importante destacar que cada um dos termos da equação de Bernoulli representa uma forma da energia. Normalmente, atribui-se também a esses termos a denominação de carga (com dimensão de comprimento). P : Energia piezométrica ou de pressão ou carga de pressão V 2 : Energia cinética ou de velocidade ou carga dinâmica 2g Z : Energia de posição, ou potencial ou carga geométrica ou de posição VI.6
6.4.1 - Representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli para os fluidos ideais Figura 6.8: representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli para os fluidos ideais. VI.7
6.4.2 Aplicações Imediatas da Equação de Bernoulli São aplicações que, de forma simples, possibilita calcular a velocidade e a vazão. Nessas aplicações a característica marcante é que a velocidade (ou a vazão) é obtida indiretamente através de uma grandeza mensurável 6.4.2.1.Principais Aplicações i) Princípio de Torriceli: V f (h) ii) Tubo de Pitot/Prandtl: Estática) V f (Pressão de Estagnação - Pressão iii) Tubo de Venturi: V f ( Pressão Estática) VI.8
VI.9
VI.10
VI.11 Tubo de Venturi 4 f 2 D d 1 1 dr dr Δh 2g V 4 f 2 D d 1 1 dr dr Δh 2g V
DIFERENÇAS E SEMELHANÇAS ENTRE OS PRINCIPAIS INSTRUMENTOS DE MEDIÇÕES DE VELOCIDADES PITOT PRANDTL VELOCIDADE DADA PELA DIFERENÇA ENTRE A PRESSÃO ESTÁTICA E UMA DE STAGNAÇÃO MEDE A VELOCIDADE EM CADA LINHA DE CORRENTE DO ESCOAMENTO TRAÇA O PERFIL DE VELOCIDADE POSSIBILITA MEDIR A VELOCIDADE MÉDIA E A MÁXIMA DO ESCOAMENTO FAZ-SE NECESSÁRIO DOIS FUROS NA TUBULAÇÃO PARA A TOMADA DE PRESSÕES GERA MENOR TURBULÊNCIA E MENOR PERDA SE COMPARADA AO VENTURI É MAIS INDICADO PARA CONDUTOS FORÇADOS O PRINCIPIO FÍSICO É O MESMO. DIFERE APENAS NA TOMADA DE PRESSÕES A EQUAÇÃO ANALÍTICA É A MESMO QUE SE USA PARA O PITOT VENTURI A VELOCIDADE É DADA POR UMA DIFERENÇA DE PRESSÃO ESTÁTICA FORNECE APENAS A VELOCIDADE MÉDIA NÃO TRAÇA O PERFIL DE VELOCIDADE NÃO FORNECE A VELOCIDADE MÁXIMA PROMOVE MAIOR PERDA DE CARGA TEM APLICAÇÕES MAIS ABRANGENTES CONDUTOS LIVRES OU FORÇADOS. VI.12
Exemplo 1 VI.13
Exemplo 2 VI.14
VI.15
Exemplo 3 Um fluido escoa em regime permanente pelo conduto da Figura 7.1. Considerando que todas as perdas do escoamento são iguais a 25% da energia cinética do jato na seção de diâmetro maior, determine: a carga cinética na seção de diâmetro menor. Na seção maior o diâmetro é D e na menor o diâmetro vale d. Considere o fluido incompressível e o escoamento permanente. São dados: dro/dr = 2,0; d/d = 0,84; H = 0,6266 m. dados: dr-densidade relativa do fluido transeunte; dro densidade relativa do fluido manométrico. VI.16
Exemplo 4 Peso específico do ar: 1,2 kgf/m3; Peso específico do mercúrio: 13600 kgf/m3 VI.17
Exemplo 5 VI.18
Exemplo 6 Fonte:Franco Brunetti (2008, pag.108) VI.19
Exemplo 7 Em um tubo de seção variável, com diâmetros D1 = 250 mm e D2 = 500 mm, a vazão é de 350 litros de água por segundo. Sabendo que a carga piezométrica em (1) é de 6,5 m.c.a e desprezando a perda de energia, solicita-se: traçar a linha energética. VI.20