Sequências Generalizando um pouco, podemos então dizer que sequências de elementos são grupos com elementos obedecendo a determinada ordem. Obteremos uma sequência diferente quando se altera a ordem. No nosso exemplo, o que pretendíamos era, então, determinar o número de sequências distintas que podiam ser formadas com o conjunto dado. Reparemos, também, que era imposta a condição de serem utilizados algarismos diferentes, ou seja, não haver repetição de algarismos. Assim, o que fizémos foi determinar os arranjos, sem repetição, de 3 elementos dois a dois. Estatística Aplicada I. 1

Arranjos sem repetições Generalizando, podemos dizer que arranjos, sem repetição, de n elementos p a p ( n p ) são todas as sequências que é possível constituir utilizando p elementos diferentes de entre os n elementos de um determinado conjunto. O número de arranjos, sem repetição, de n elementos p a p é, habitualmente, representado por: A n p Estatística Aplicada I. 2

Permutações Aos arranjos, sem repetição, de n elementos n a n costumamos chamar, simplesmente, permutação de elementos : A n = n P n Estatística Aplicada I. 3

Arranjos com repetições n Serão representados por A ' p : n A ' = p n p Repare que, neste tipo de situação, poderemos ter n < p, ao invés do que acontecia nos arranjos sem repetição. Estatística Aplicada I. 4

Probabilidades A noção de probabilidade enquadra-se, certamente, no conjunto daquelas que todos possuímos, ainda que de forma intuitiva, mas que temos dificuldade em definir ou quantificar. A definição clássica de probabilidade de um acontecimento (A) é a de que se A pode ocorrer de x maneiras distintas, de entre n maneiras possíveis e equiprováveis, então a sua probabilidade será: P(A) = x / n Estatística Aplicada I. 5

Probabilidades da intersecção Uma das questões que frequentemente se colocam é a da determinação da probabilidade de ocorrerem conjuntamente dois acontecimentos, A e B. Sendo A e B conjuntos, podemos utilizar diagramas de Venn para representar pictoricamente as relações que existem entre eles. Vejamos a figura seguinte: A B Intersecção de dois conjuntos Estatística Aplicada I. 6

Independência No cálculo de P(AB) haverá que distinguir se os acontecimentos são ou não independentes entre si. Pensemos, por exemplo, em 3 lançamentos consecutivos de moeda ao ar. Como se compreende, o facto de num determinado lançamento sair cara ou coroa nada tem a ver com o que ocorreu nos lançamentos anteriores. Então, os lançamentos são independentes entre si. Imaginemos, por outro lado, que temos, dentro de uma caixa, duas bolas azuis e uma vermelha. Se retirarmos, de seguida, 2 bolas da caixa, a probabilidade de que a segunda seja de determinada cor dependerá, naturalmente, da cor da primeira bola retirada. Dizemos então que os acontecimentos correspondentes à saída de cada uma das bolas não são independentes entre si. Estatística Aplicada I. 7

Probabilidade da reunião Consideremos quaisquer dois acontecimentos, A e B, que se relacionam da forma que podemos ver representada no diagrama de Venn. A B Reunião de conjuntos Estatística Aplicada I. 8

Probabilidade da reunião Admitamos que pretendemos determinar a probabilidade de que ocorram A ou B, ou ambos. Esta probabilidade representa-se por P( A B). No fundo, estamos interessados em calcular a probabilidade de ocorrência de toda a área da figura anterior. Para o cálculo desta probabilidade haverá então que, antes de mais, somar P(A) e P(B). Repare-se porém que, ao fazê-lo, a área a sombreado mais escuro é considerada duas vezes, pois diz respeito a elementos que pertencem aos dois conjuntos. Assim sendo, para obtermos a probabilidade pretendida, mais não temos do que retirar à soma anterior o excesso proveniente da duplicação. Então, a probabilidade de que ocorram A, ou B, ou ambos, pode ser calculada a partir de P( A B) = P( A) + P( B) P( AB) Estatística Aplicada I. 9

Diagramas de barras de frequência relativa Estatística Aplicada II. 1

Diagramas de barras de frequência acumulada Estatística Aplicada II. 2

Histograma Estatística Aplicada II. 3

Coeficientes de assimetria e respectivas curvas Estatística Aplicada III. 1