Estatística para Ecoomia e Gestão Liceciatura em Ecoomia e Liceciatura em Gestão NOVA School of Busiess ad Ecoomics Prof. Luís Catela Nues Eame Fial ª Época 8 de Juho de 011 Duração: horas Material autorizado: Caeta e este euciado. INSTRUÇÕES Escreva o seu ome e úmero de aluo a primeira págia deste euciado. Este euciado deve permaecer sempre agrafado. As respostas às questões devem ser escritas este euciado os locais idicados. Pode utilizar o verso de cada folha como rascuho. Qualquer situação de plágio (como sejam a utilização de material ão autorizado, comuicação com colegas, etc.) terá como cosequêcia imediata a reprovação à disciplia este semestre. Não é permitido tirar dúvidas durate o eame. Ates de iiciar o eame cofirme que este euciado tem 15 folhas umeradas de 1 a 15. Na folha 1 aparece um formulário com algumas fórmulas estatísticas. Nas folhas 13 e 14 são icluídas tabelas estatísticas que podem ser ecessárias para respoder a algumas das questões deste eame. Deve permaecer setado o seu lugar até ao fial do eame. A recolha fial do euciado será feita pelos vigilates. NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 1
Grupo I (4 Valores) Para cada questão idique uma só resposta a tabela que aparece a págia 15 Cada resposta certa vale 1,0 valores. Cada resposta errada vale 0,3 valores egativos (-0,3). Cada resposta em braco ou mal assialada vale 0 valores. Supoha que é resposável pela gestão do departameto comercial de uma empresa de iformática com duas lojas em Lisboa. Estas duas lojas vão colocar à veda o próimo mês de Julho o ovo tablet ui-pad. É ecessário decidir hoje quatas uidades deverão ser adquiridas ao fabricate para se poder satisfazer em cojuto a procura as duas lojas de Lisboa o mês de Julho. As procuras dos tablet ui-pad as duas lojas em Julho é icerta podedo ser cosideradas como variáveis aleatórias. A procura a primeira loja pode ser descrita por uma distribuição ormal de média 40 e desvio-padrão 4. A procura a seguda loja pode ser descrita por uma distribuição ormal de média 60 e desvio-padrão 3. 1. Qual a probabilidade da procura de tablets ui-pad a primeira loja eceder 46 uidades em Julho? a) 3% 1 ~N(40,4 ) b) 7% P( 1 >46)=P(Z>(46-40)/4)=P(Z>1,5) c) 93% =1-0,933 (ver pág.13) d) 97% =7%. Se a correlação etre as procuras as duas lojas em Julho for igual a 0,5, qual a variâcia da procura total do tablet ui-pad as duas lojas (a soma das procuras a primeira e a seguda loja) em Julho? a) 6 b) 31 c) 37 d) 49 3. Se a procura total das duas lojas em Julho for iferior ao úmero de uidades que a empresa adquirir ao fabricate, terá algum prejuízo. Pelo cotrário, se a procura total eceder o úmero de uidades compradas ao fabricate, etão ão coseguirá satisfazer toda a sua procura deiado algus dos seus clietes isatisfeitos. Respoda às duas questões seguites. i. Supoha que é possível assumir que em Julho as procuras dos tablet ui-pad as duas lojas são idepedetes etre si. Quatas uidades do tablet ui-pad deverá adquirir ao fabricate para que se cosiga satisfazer toda a procura em Julho (a soma das procuras a primeira e a seguda loja) com uma probabilidade de 85%? a) 105 b) 110 c) 115 d) 10 V( 1 + )=V( 1 )+V( )+Cov( 1, ) =4 + 3 + 0,5 4 3 =37 P( 1 + < k)=0,85 P(Z<(k-100)/5)=0,85 (k-100)/5=1,04 (ver pág. 13) k = 105 NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a)
ii. Se em Julho as procuras de ui-pad as duas lojas forem correlacioadas etre si, qual o valor da correlação que requer uma aquisição máima juto do fabricate para garatir que coseguirá satisfazer toda a procura em Julho (a soma das procuras a primeira e a seguda loja) com uma probabilidade de 85%? a) -1 b) 0 c) 0,5 d) 1,0 V( 1 + ) = 4 + 3 + 4 3 = 5+4 P( 1 + < k)=0,85 P[Z<(k-100)/( 5+4 )]=0,85 k=100+1,04 ( 5+4 ) k é máimo quado = 1 Grupo II (3 Valores) Respoda o espaço em braco após cada uma das questões Uma empresa de fabrico de telemóveis pretede estimar a duração média da bateria do seu ovo modelo. Para esse efeito, a empresa testou 16 desses ovos telemóveis escolhidos ao acaso. De seguida apresetam-se algumas estatísticas descritivas relativas às durações (em horas) das baterias desses 16 telemóveis: Míimo = 0 Máimo = 30 Média = 5 Mediaa = 5 Desvio-Padrão = Supodo que se pode assumir que a duração da bateria de um telemóvel escolhido ao acaso pode ser descrita como uma variável aleatória com distribuição ormal, respoda às seguites questões justificado todos os cálculos ecessários. 1. Apresete um itervalo de cofiaça a 95% para a duração média da bateria do ovo modelo de telemóvel. ( Valores) I.C. a 95% para µ :,5% s t 1,5% 5 t 15 4 5,131 (ver pág. 14) 4 [4 ; 6] NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 3
. Se para a amostra iicial de 16 telemóveis fosse apresetado como itervalo de cofiaça para a duração média da bateria do ovo modelo de telemóvel o seguite: [3,7 ; 6,3], qual o grau de cofiaça utilizado a sua costrução? (1 Valor) Margem de erro =1,3 / t 15 1,3 4, / t 15,6 / 0,01 (ver pág. 14) % Grau de cofiaça = 98% NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 4
Grupo III (4 Valores) Respoda o espaço em braco após cada uma das questões Vai ser realizado um estudo de opiião acerca das atitudes dos codutores portugueses. Para tal foi escolhida uma amostra aleatória de 100 codutores. Uma das questões que irá ser icluída o questioário é a seguite: Pesa que guia melhor que um codutor mediao? a que cada etrevistado respoderá Sim ou Não. Respoda às seguites questões justificado todos os cálculos itermédios ecessários. 1. Se eactamete metade da população de codutores portugueses achar que guia melhor que um codutor mediao, qual a probabilidade de a amostra aleatória de 100 codutores mais de 55 deles acharem que guiam melhor que um codutor mediao? ( Valores) = 100 p = 0,5 p(1 p) pˆ ~ N p, 0,5 p ˆ ~ N 0,5, 100 P( pˆ > 55/100 ) = P[Z > 0,05/(0,5/10) ] = P(Z > 1) = 1-0,8413 (ver pág. 13) = 16% NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 5
. Certa pessoa está covecida que a proporção da população de codutores que acha que guia melhor que um codutor mediao é de 50%. Da amostra aleatória de 100 codutores, 70 afirmaram que guiavam melhor que um codutor mediao. O que pode cocluir sobre a covicção da tal pessoa através de um teste de hipótese que teha uma probabilidade de 95% de ão se egaar se essa pessoa estiver correcta? Seja claro quato a: (i) hipóteses ula e alterativa, (ii) estatística de teste e sua distribuição, (iii) ível de sigificâcia a utilizar, (iv) valor crítico, (v) regra de decisão e (vi) coclusão fial. ( Valores) p ˆ 70 /100 0,7 (i) H 0 : p = 0,5 H 1 : p 0,5 (ii) Utiliza-se a estatística de teste: Z pˆ 0,5 0,5 Dado que a dimesão amostral =100 é suficietemete grade, pode-se aplicar o teorema do limite cetral, e a estatística Z tem uma distribuição aproimadamete ormal com média 0 e variâcia 1 sob a hipótese ula. /100 (iii) Escolho o habitual ível de sigificâcia de 5%. (iv) valor crítico = z,5% = 1,96 (v) A regra de decisão cosiste em rejeitar H 0 se Z < -1,96 ou Z > 1,96 (vi) A estatística de teste vem: Z=4 Como Z = 4 > 1,96, rejeita-se a hipótese ula. Logo, para um ível de sigificâcia de 5%, eiste evidêcia estatística suficiete para se cocluir que a covicção daquela pessoa ão se verifica. NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 6
Grupo IV (7 Valores) Para cada questão idique uma só resposta a tabela que aparece a págia 15 Cada resposta certa vale 1,0 valores. Cada resposta errada vale 0,3 valores egativos (-0,3). Cada resposta em braco ou mal assialada vale 0 valores. Vários ecoomistas têm estudado o impacto da istabilidade política e da corrupção a qualidade das políticas goverametais. Em particular, Fredriksso e Svesso (Joural of Public Ecoomics, 003) estudaram o impacto destas duas variáveis a determiação do grau de eigêcia das leis ambietais promulgadas pelos goveros. Para testar as coclusões obtidas esse estudo, aalisaram-se as seguites variáveis para uma amostra aleatória de 30 países: AMBIENTE = REND_PC = OCDE = CORRUP = ídice de eigêcia das leis ambietais de cada país uma escala de 0 a 100, em que 100 represeta o grau de eigêcia máimo; redimeto per capita de cada país em milhares de euros; 1 se o país pertece à Orgaização para a Cooperação e Desevolvimeto Ecoómico (OCDE), = 0 se ão; ídice de corrupção de cada país uma escala de 0 a 6, em que 6 represeta corrupção máima; úmero de crises goverametais por ao em cada país; INSTAB = CORRUP*INSTAB = produto das variáveis CORRUP e INSTAB. De seguida, apreseta-se o resultado obtido através do Ecel da estimação de um modelo de regressão liear em que AMBIENTE é a variável depedete. Regressio Statistics Multiple R 0.795144 R Square 0.6354 Adjusted R Square 0.55564 Stadard Error 3.1703 Observatios 30 ANOVA df SS MS F Sigificace F Regressio 5 15.4 4430.449 8.548 0.000119 Residual 4 1884.7 536.866 Total 9 35036.95 Coefficiets Stadard Error t Stat P-value Itercept 85.705 47.8098 1.151167 0.61004 REND_PC 11.4199 3.0004 3.806134 0.000859 OCDE 5.74888 10.14666 0.566579 0.57661 CORRUP -19.739 5.05304-3.9067 0.000668 INSTAB -110.85 37.1841 -.9811 0.00649 CORRUP*INSTAB -9.0805 9.877075 -.944 0.00708 NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 7
1. Se a regressão fosse reestimada mas ecluido a variável OCDE, como se alteraria o R?: a) O R da ova regressão estimada ão seria iferior ao acima apresetado os resultados para o modelo estimado. b) O R da ova regressão estimada ão seria superior ao acima apresetado os resultados para o modelo estimado. c) O R da ova regressão estimada seria igual ao acima apresetado os resultados para o modelo estimado porque o p-value da variável OCDE é superior a 5%. d) O R da ova regressão estimada seria superior ao acima apresetado os resultados para o modelo estimado porque a estatística t da variável OCDE é iferior a 1.. Quato é que se estima que varie em média o ídice de eigêcia das leis ambietais face a um aumeto de 1000 euros o redimeto per capita, ceteris paribus? a) 11,4 b) 1140 c) 0,0114 d) 11,4% 3. Qual das seguites afirmações é mais adequada tedo em cota os resultados obtidos? a) Um aumeto da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambietais meos eigetes, mas esse efeito é meos prouciado em países com maior istabilidade política. b) Um aumeto da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambietais meos eigetes, e esse efeito é mais prouciado em países com maior istabilidade política. c) Um aumeto da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambietais mais eigetes, mas esse efeito é meos prouciado em países com maior istabilidade política. d) Um aumeto da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambietais mais eigetes, e esse efeito é mais prouciado em países com maior istabilidade política. 4. Cosidere a seguite afirmação: Em média, ceteris paribus, o grau de eigêcia das leis ambietais os países da OCDE é superior relativamete aos restates países do mudo. Qual dos seguites cometários a essa afirmação é mais adequado tedo em cota os resultados obtidos? a) Discordo, uma vez que o p-value da variável OCDE é iferior a 5%. b) Cocordo, uma vez que o p-value da variável OCDE é superior a 5%. c) Discordo, uma vez que o p-value da variável OCDE é superior a 5%. d) Cocordo, uma vez que a estimativa do coeficiete da variável OCDE é positiva. 5. Quais os factores que parecem eplicar o ídice AMBIENTE cosiderado um ível de sigificâcia de 5%? a) Todos os factores: REND_PC, OCDE, CORRUP, INSTAB, CORRUP*INSTAB b) Apeas OCDE c) Apeas REND_PC, CORRUP, INSTAB, CORRUP*INSTAB d) Apeas CORRUP NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 8
6. Nos resultados acima apresetados foram omitidos os itervalos de cofiaça calculados pelo Ecel. Qual o itervalo de cofiaça a 95% para o coeficiete da variável OCDE que o Ecel obteve? a) [-15 ; 7] b) [-4 ; 16] c) [-96 ; 107] d) [0 ; 11,5] 7. Ceteris paribus, o grau de eigêcia das leis ambietais é certamete meor quato maior for o ível de recursos aturais e ambietais eistetes em cada país. No etato o ível de recursos aturais e ambietais de cada país ão foi icluído como uma variável eplicativa a regressão estimada acima apresetada. Se o ível destes recursos estiver positivamete correlacioado com o redimeto per capita de cada país etão: a) O impacto estimado do redimeto per capita o ídice AMBIENTE, ceteris paribus, muito provavelmete será superior ao real. b) O impacto estimado do redimeto per capita o ídice AMBIENTE, ceteris paribus, muito provavelmete será igual ao real. c) O impacto estimado do redimeto per capita o ídice AMBIENTE, ceteris paribus, muito provavelmete será iferior ao real. d) O real impacto do redimeto per capita o ídice AMBIENTE, ceteris paribus, deverá estar cotido o itervalo [8,4 ; 14,4] com um grau de cofiaça de 95%. NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 9
GRUPO V ( Valores) Respoda o espaço em braco após cada questão A fórmula habitualmete utilizada para calcular um itervalo de cofiaça para a média de uma população com uma distribuição ormal e com variâcia cohecida, z /, é válida desde que a amostra seja aleatória com as observações idepedetemete e ideticamete distribuídas com uma distribuição ormal. Respoda às seguites questões apresetado todos os cálculos ecessários. 1. Supoha que a realidade as observações ão eram idepedetes etre si. Em cocreto supoha que essa correlação era positiva. Caso se utilize a habitual fórmula do itervalo de cofiaça a 95% para a média de uma população com uma distribuição ormal com variâcia cohecida, o real grau de cofiaça desse itervalo será superior, iferior ou igual a 95%? (1 Valor) Cov ( i, j ) 0 Var ( ) 1 = Var ( i ) i1 1 = Var ( ) i i1 = 1 1 Var ( i ) Cov( i, j ) i1 i1 ji1 = 1 1 Cov(, ) i j i1 ji1 1 = i1 ji1 Cov( i, j ) Logo o itervalo de cofiaça a 95% para µ deve ser dado por: 1,96 1 i1 ji1 Cov( i, j ) Portato, se for utilizado o I.C. habitual, a sua amplitude virá iferior à amplitude deste itervalo pelo que o grau de cofiaça do I.C. habitual será iferior a 95%. NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 10
. Supoha que se pretedia calcular um itervalo de cofiaça a 95% para a média de uma população com uma distribuição ormal. No etato a amostra ão é aleatória porque a correlação etre as observações é diferete de zero. Em particular, sabe-se que essa correlação é igual a 0,5 para qualquer par de observações. Propoha uma ova fórmula para o itervalo de cofiaça que garata um real grau de cofiaça de 95%. (1 Valor) 1 i1 ji1 = 1 i1 ji1 = 1 i1 ji1 = C Cov ( i, j ) ( 1) = em que úmero de covariâcias etre os s = ( 1) elemetos a = C = úmero de combiações de Var ( ) = 1 Cov( i, j ) ( 1) i1 ji1 = ( 1) = ( 1) 1 1 Como 0, 5 vem que Var ( ) = 0,5 = Logo o itervalo de cofiaça a 95% para µ é dado por: 1 1 1,96 NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 11
SOME USEFUL FORMULAS Differece Betwee Populatio Meas or Proportios (Idepedet Samples) Parameter Assumptio Cofidece Iterval Edpoits Y N N( Y, Y) (, ), kow Y Y N N( Y, Y) (, ) ukow Y N N( Y, Y) Y (, ), ukow Y Large samples Y, ukow p p Large samples Y Beroulli p Y Beroulli p Y z / Y s s t, / p p ( 1) s ( 1) s sp s s tv, / s s s s v /( 1) /( 1) s s z / pˆ (1 ˆ p) pˆ ˆ p z / Note: The first two itervals i the table are eact. The other three itervals are approimatios. pˆ (1 pˆ ) Multiple Liear Regressio: i β0 β11i βi βkki εi Total S.Sq.=SST= ( ), Regressio S.Sq.=SSR= R i ˆ i ( ) SSR/SST ad i SSE / ( K 1) R 1 SST / ( 1) Var( ε i ) = is estimated as se e i=1 i /( k 1) Cofidece iterval for β j : b t s Test for H 0 : β1 β βk 0 is j k1,α/ b j ˆ i ( ) SSR/k F = SSE/(-k-1) ~ F k,-k-1 uder H 0, Error S.Sq.=SSE= Simple Liear Regressio: i β0 β11i εi b0 b1 ad b ( )( ) / ( ) 1 i1 i i i1 i Var(b 1) σ / (i ) is estimated as sb s 1 e / (i ) i1 1 (+1 ) Predictio iterval for : b b t s 1 ( ) NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 1 i1 +1 0 1 +1 -, / e i
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Respostas às Questões dos Grupos I, II e IV Assiale as suas respostas com um Resposta Questão a b c d I.1 I. I.3.i I.3.ii IV.1 IV. IV.3 IV.4 IV.5 IV.6 IV.7 NOVA School of Busiess ad Ecoomics (a) 15