COMBINAÇÕES Rosa Canelas
Numa caixa de lápis de cor há seis lápis: Azul, Branco, Castanho, Preto, Rosa e Verde. Use as iniciais dos nomes das cores para representar todos os subconjuntos de dois lápis escolhidos dos seis lápis que estão na caixa. Quantos subconjuntos formou? AB AC AP AR AV BC BP BR BV CP CR CV PR PV RV Formámos 15 subconjuntos.
Numa caixa de lápis de cor há seis lápis: Azul, Branco, Castanho, Preto, Rosa e Verde. Use as iniciais dos nomes das cores para representar todos os subconjuntos de três lápis escolhidos dos seis lápis que estão na caixa. Quantos subconjuntos formou? ABC ABP ABR ABV ACP ACR ACV APR APV ARV BCP BCR BCV BPR BPV BRV CPR CPV CRV PRV Formámos 20 subconjuntos.
Numa caixa de lápis de cor há seis lápis: Azul, Branco, Castanho, Preto, Rosa e Verde. Use as iniciais dos nomes das cores para representar todos os subconjuntos de quatro lápis escolhidos dos seis lápis que estão na caixa. Quantos subconjuntos formou? ABCP ABCR ACPV ACPR APRV BCPR BPRV CPRV BCPV ABCV ACRV BCRV ABPR ABPV ABRV Formámos 15 subconjuntos.
Combinações Dado um certo conjunto, chama-se combinação a qualquer um dos seus subconjuntos. Formámos, portanto, combinações de 2, 3 e 4 elementos dos 6 dados. Concluímos que 6 C 2 =15 (o número de combinações de 6, 2 a 2, é 15), 6 C 3 =20 e 6 C 4 =15.
Cálculo do número de combinações Que diferença há entre uma combinação e um arranjo simples? Então n C p n n! A ( ) p n p! n! ( ) = = = p! p! p! n p!
Ex.1 da Ficha de trabalho nº 1 De quantas maneiras diferentes é possível preencher uma aposta simples no totobola? Podemos preencher uma aposta simples no totobola de 3 13 maneiras diferentes, porque vamos ter que preencher 13 jogos com os símbolos 1, X e 2, obviamente vamos ter que repetir símbolos.
Ex.2 da Ficha de trabalho nº 1 Determine o número de divisores de 432. Para determinar o número de divisores de 432 vamos começar por decompor 432 em factores primos. Dessa decomposição resulta que 432 = 2 4 x 3 3. Podemos ainda concluir que todos os divisores de 432 têm até 4 factores iguais a dois e/ou até três factores iguais a três o que equivale a dizer que todos serão da forma 2 a x 3 b. O problema reduz-se pois a encontrar os pares (a,b) de modo que a pertence a {0,1,2,3,4} e b pertence a {0,1,2,3}. Teremos pois, 20 pares diferentes, elementos do produto cartesiano de {0,1,2,3,4} por {0,1,2,3}, que correspondem a outros tantos divisores de 432.
Ex.3 da Ficha de trabalho nº 1 De quantas maneiras diferentes podem Sentar-se cinco pessoas em oito lugares (ficando três lugares vazios)? Sentar cinco pessoas em oito lugares equivale a fazer sequências de 5 lugares dos 8 disponíveis. A resposta é portanto 8 A 5 =6720 Sentar-se oito pessoas em cinco lugares (ficando três pessoas em pé)? Sentar oito pessoas em cinco lugares equivale a fazer sequências de 5 pessoas das 8 que temos para sentar. A resposta é portanto 8 A 5 =6720
Ex.4 da Ficha de trabalho nº 1 Seis casais posam em fila para uma fotografia. De quantas maneiras se podem colocar as doze pessoas, se os dois membros de cada casal devem ficar juntos? Então podemos pensar em seis casais para ocuparem seis posições na fila. Eles podem colocar-se de 6! maneiras diferentes. Mas pode ainda acontecer que os dois membros de cada casal troquem de lugar um com o outro. Assim, cada troca equivale a duplicar as maneiras de fazer a fila de pessoas. O resultado será então 6! x2 6 = 46080.
Ex.5 da Ficha de trabalho nº 1 De quantas maneiras se podem sentar seis pessoas a uma mesa redonda de seis lugares? Sentar seis pessoas a uma mesa redonda de seis lugares é diferente de as sentar numa mesa rectangular porque, quando se trata de uma mesa redonda o que conta é a posição relativa das pessoas que se sentam.
Ex.5 da Ficha de trabalho nº 1 Estas duas imagens representam uma mesma disposição de seis pessoas à volta da mesa. Isto equivale a dizer que não conta o lugar em que se senta a primeira pessoa, mas sim as posições das restantes cinco. 6! A resposta é pois 5! 120. 6 = =
Ex.6 da Ficha de trabalho nº 1 Quatro professores de Matemática decidiram encontrar-se no Grande Hotel das Termas. Acontece que se esqueceram de especificar o nome das termas. Considerando que há 4 hotéis com o mesmo nome em quatro termas distintas, qual a probabilidade dos quatro professores escolherem termas diferentes? 4! 3 32 4 4 =
Ex.7 da Ficha de trabalho nº 1 Dado um grupo de quatro pessoas, qual é a probabilidade de pelo menos duas fazerem anos no mesmo dia? E no mesmo mês? 365 A4 P = 1 0,016 4 365 12 A 4 P = 1 0, 427 4 12
Ex.8 da Ficha de trabalho nº 1 Num torneio de xadrez, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros jogadores. Sabendo que foram disputadas 120 partidas, quantos jogadores participaram no torneio? n! C = 120 = 120 n( n 1) = 240 n n 240 = 0 n = 16 2! n 2! n 2 2 ( ) a solução negativa não é considerada por n ser um número inteiro não negativo.
Ex.9 da Ficha de trabalho nº 1 Determine o número máximo e o número mínimo de retas que poderão ser definidas por 12 pontos distintos, dos quais há pelo menos 5 colineares. O número mínimo de retas que poderão ser definidas por 12 pontos distintos, dos quais há pelo menos 5 colineares é 1 que corresponde à única reta que podemos desenhar se os 12 pontos forem todos colineares. O número máximo de rectas é conseguido quando os restantes 7 pontos só forem colineares dois a dois. Assim temos 1 reta (a dos 5 pontos colineares), mais 7x 5 retas definidas por cada um dos 7 pontos com um dos 5 e mais 7 C 2 das retas definidas pelos 7 pontos dois a dois. O número máximo é então 57.