UFLA Universidade Federal de Lavras Departamento de Ciênia da Computação COM62 Linguagens Formais e Autômatos Prof. Rudini Sampaio Monitor: Rodrigo Pereira dos Santos Primeira Lista de Exeríios 24/2... Exeríio Temos um Homem (H), um Lobo (L), uma Cabra (C) e um Repolho (R). Todos estão de um mesmo lado do rio. Há um baro apaz de atravessar o rio om o Homem e mais apenas L, ou C ou R de ada vez. É preiso atravessar todos para a outra margem de forma que L e C, ou C e R não fiquem sozinhos sem o Homem na mesma margem. Desenvolva um diagrama de transições para a solução do problema. RESPOSTA = Subjetivo. É um exeríio interessante para ser feito, uma vez que está assoiado à teoria de autômatos e diagrama de estados vistos na disiplina até o momento. Uma das formas de fazer seria oloar sobre as transições os elementos que estão de um lado do rio, e sob as mesmas, aqueles que estivessem do outro lado. A figura exibe isso: Situação de um lado do rio Situação do outro lado do rio Um exemplo pode ser visto a seguir, onde: h = homem; = abra; r = repolho; l = lobo. Exeríio 2 Construa um DFA M que aeita L(N), a partir do NFA N = ( {q,q }, {,}, δ, q,{q } ) onde δ(q,) = {q, q }, δ(q,) = {q }, δ(q,) =, δ(q,) = {q,q }. RESPOSTA = Dado o NFA N = ({q, q, {q }), onde:, ) = {q, q }, ) = {q }, ) =, ) = {q, q }
, q q Podemos onstruir um DFA M equivalente, que reonhee a mesma linguagem de N, ou seja, L(M) = L(N). Vamos representar p =, p 2 = {q }, p 3 = {q } e p 4 = {q, q }, onde o estado iniial é p 2 e os estados finais são p 3 e p 4. p, p 2 p 4 p 3, Exeríio 3 Prove que se uma linguagem L é aeita por um NFA om transições vazias, então L é também aeita por um NFA sem transições vazias. Transições vazias são as transições ε (epsilon). RESPOSTA = :
q 3 q 4 q 2 b q 5 Considere que ele possui uma transição, F ):, ) = {q 2 } e L(N) = L. q 3 q q 4 q 2 b b q 5 Considere que ele não possui transição Queremos provar que se L(N) = L e L(N ) = L, então L = L. Construção de N : Q = Q q, ou, a) {q 2 }, se q = q e a = = i, a), se q = q e a, onde q i E(q) e E(q) = {p Q p pode ser atingido de q usando zero ou mais transições q = q F = F, se q 2 não pertene a F = F {q }, se q 2 F
Tomando q 4 2, ) e q 5 2, b), respetivamente, pela onstrução, q 4, ) e q 5, b). Logo, L = L. Exeríio 4 Desreva om suas palavras os onjuntos que denotam as seguintes expressões regulares: a. ( )*( )* RESPOSTA = São seqüênias de zero ou mais s ou s, seguidas de seqüênias de zero ou mais s ou s. b. ( )*(ε ) RESPOSTA = São seqüênias de zero ou mais s ou s ou s, seguidas de menos de três s.. ( ( )( )*( ))* RESPOSTA = São seqüênias de zero ou mais s ou s ou seqüênias iniiando e terminando em ou, ontendo zero ou mais s ou s no meio. Exeríio 5 Construa um autômato finito equivalente para as seguintes expressões regulares: a. ( )* RESPOSTA = NFA otimizado. Reomenda-se seguir os passos para a onstrução do autômato onforme teorema visto em aula. b. ((()* )* )* RESPOSTA = NFA otimizado. Reomenda-se seguir os passos para a onstrução do autômato onforme teorema visto em aula.
. (( )( ))* (( )( )( ))* RESPOSTA = NFA otimizado. Reomenda-se seguir os passos para a onstrução do autômato onforme teorema visto em aula.,,,,, Exeríio 6 Prove ou disprove para as seguintes expressões regulares R, S e T: a. (RS R)*R = R(SR R)* RESPOSTA = Provaremos por indução que (RS R) n R = R(SR R) n Base da indução: n = => R = R (verdadeiro) Hipótese de indução: R) k R = R(SR R) k Passo da indução: vamos provar que (RS R) k+ R = R(SR R) k+ (RS R) k+ R = (RS R)(RS R) k R = (RS R)R(SR R) k = R(S )R(SR R) k =
= R(SR R)(SR R) k = R(SR R) k+ Logo, R) n R = R(SR R) n, por indução. b. R(RS S)*S = RR*S(RR*S)* RESPOSTA = Provaremos que essa igualdade não é válida usando prova direta om um ontra-exemplo. Sejam R e S expressões regulares. Sejam R = e S =, vamos verifiar os resultados: º) R(RS S)*S = ( )* 2º) RR*S(RR*S)* = *(*)* Seja o ontra-exemplo w =. º) ( )* não gera 2º) *(*)* gera Logo, por prova direta, usando o ontra-exemplo w =, R(RS S)*S *S(RR*S)*. (R S)* = R* S* RESPOSTA = Provaremos que essa igualdade não é válida usando prova direta om um ontra-exemplo. Sejam R e S expressões regulares. Sejam R = e S =, vamos verifiar os resultados: º) (R S)* = ( )* 2º) R* S* = * * Seja o ontra-exemplo w =. º) ( )* gera 2º) * * não gera Logo, por prova direta, usando o ontra-exemplo w =, (R S)* R* S*. Exeríio 7 Desenhe o diagrama de estados de um autômato finito determinístio para ada uma das linguagens abaixo. Obtenha ainda a expressão regular orrespondente. a. {w w é qualquer palavra, exeto,, } RESPOSTA = Para onstruir o diagrama de estados de um DFA para reonheer esta linguagem, onstruiremos um autômato que aeita, e, e depois ajustaremos os estados finais de modo a rejeitar aquelas palavras (omplemento):
,, Assim, o DFA pedido é o omplemento deste aima:,, Expressão Regular: b. {w w tem omprimento par ou termina em }
RESPOSTA = Para onstruir o diagrama de estados de um DFA para reonheer esta linguagem, onstruiremos um autômato para reonheer palavras sob ada ondição e faremos a união dos dois (já que a lasse de linguagens regulares é fehada sob união, por teorema). DFA que reonhee palavras de omprimento par:,, DFA que reonhee palavras terminadas em : Utilizando a idéia da prova do teorema que afirma que a lasse de linguagens regulares é fehada sob união (ver aderno), obtemos: Expressão Regular: ( )*
. {w w ontém pelo menos três s} RESPOSTA = DFA que reonhee esta linguagem:, Vamos enontrar a expressão regular removendo os estados um a um, a partir de um GNFA: removendo o 2º estado: removendo o 3º estado: ** removendo o 4º estado: *** removendo o 5º estado:
***( )* Expressão Regular: ***( )* Exeríio 8 Para qualquer palavra w = w w 2...w n, o reverso de w, denotado por w R, é a palavra w R = w n...w 2 w. Para qualquer linguagem A, seja A R = {w R w A}. Mostre que se A é regular, então A R também é regular. RESPOSTA = Dados do Problema: para qualquer palavra w = w w 2...w n, w R = w n...w 2 w para qualquer linguagem A, A R = {w R Temos que mostrar que se A é regular, A R também é regular. ({,d}, F) om linguagem L(N) = A. r q d t s, F ) om linguagem L(N ) = A R.
r d q q t s Construção de N : Q = Q {q } = F, se q = q e a = =, se q = q e a q = q (novo estado) F = { q } q, ou Logo, pela onstrução, L(N ) = A R, e omo N é uma NFA, por definição, A R é regular.