UNIVERSIDADE FEDERAL DE. Faculdade de Ciência da Computação

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Faculdade de Ciência da Computação Disciplina : Linguagens Formais e Autômatos - 2 Semestre 22 Professora : Sandra Aparecida de Amo Material Suplementar sobre Autômatos Como garantir que um autômato proposto reconhece uma linguagem dada Considere a linguagem L = conjunto dos strings com um número par de zeros e um um número ím Vimos em sala de aula que um autômato candidato para reconhecer esta linguagem é o seguinte : q q q3 q2 Para termos certeza absoluta de que este autômato A realmente reconhece exatamente a linguagem L, precisamos provar que : L(A) = L Para isto, precisamos mostrar duas coisas : L(A) L e L L(A). 1. Provemos que L(A) L, isto é : 1

2 P 1 Sempre que uma palavra w é reconhecida pelo autômato A, isto é, sempre que leio uma palavra w partindo de q e chegando em q, esta palavra necessariamente está em L, isto é, tem um número par de zeros e um número Vamos provar P 1 por indução sobre o comprimento de w. Infelizmente, uma indução simples não vai funcionar. Precisamos utilizar uma técnica, chamada de indução mútua. Antes de continuar, é recomendado ao leitor estudar a seção 1.4.4, páginas 28, 29 e 3 do livro texto. Esta técnica consiste em provar algo mais forte do que o queremos provar, isto é, algo que inclui o que queremos provar. No nosso caso, vamos provar P 1 P 2 P 3 P 4 onde P 1 é a asserção acima especificada (a que realmente nos interessa) e P 2, P 3 e P 4 são as asserções dadas abaixo. Tais asserções são secundárias mas são necessárias para a indução poder funcionar. P 2 Sempre que leio uma palavra w partindo de q e chegando em q 1, esta palavra tem um número ímpar de zeros e um número par de uns. P 3 Sempre que leio uma palavra w partindo de q e chegando em q 2, esta palavra tem um número ímpar de zeros e um número ímpar de uns. P 4 Sempre que leio uma palavra w partindo de q e chegando em q 3, esta palavra tem um número par de zeros e um número ímpar de uns. 2

3 Provemos, portanto, que P 1 P 2 P 3 P 4 é verdade, por indução sobre o comprimento da palavra w. Base da indução : comprimento de w = Neste caso, w é a palavra vazia e a única possibilidade de ler w partindo de q é chegando em q. Ora, é claro que w tem um número par (=) de zeros e um número ímpar (=) de uns. Portanto, P 1 se verifica e as outras P i se verificam pois suas hipóteses são falsas. comprimento de w = 1 e w = Neste caso, a única possibilidade de ler w partindo de q é chegando em q 1. Ora, é claro que w tem um número ímpar (=1) de zeros e um número par (=) de uns. Portanto, P 2 se verifica e as outras P i se verificam pois suas hipóteses são falsas. comprimento de w = 1 e w = 1 Neste caso, a única possibilidade de ler w partindo de q é chegando em q 3. Ora, é claro que w tem um número par (=) de zeros e um número ímpar (=1) de uns. Portanto, P 4 se verifica e as outras P i se verificam pois suas hipóteses são falsas. Hipótese de Indução : Seja n > 1 e suponhamos que P 1 P 2 P 3 P 4 se verifica para palavras de comprimento < n. Mostremos que P 1 P 2 P 3 P 4 se verifica para palavras de comprimento n. Seja w uma palavra de comprimento n, onde n > 1. Temos dois casos a considerar : (a) w termina em zero, isto é, w = w. Quatro subcasos a considerar : i. Leio w saindo de q e chegando em q (isto é, estou dentro da hipótese de P 1 ). Tenho que mostrar que w tem um número par de zeros e um número Realmente, se w = w e leio w saindo de q e chegando em q, então : ˆδ(q,w) = q ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q,w ),) = q Ora, de qual estado eu devo partir para, lendo um zero, chegar em q? A resposta, obviamente é q 1. Portanto, ˆδ(q,w ) = q 1 3

4 P 2, pois leio w saindo de q e chegando em q 1. Assim, posso afirmar w tem um número ímpar de zeros e um número Portanto, w tem um número par de zeros e um número OK, consegui mostrar o que queria! (Veja lá em cima). ii. Leio w saindo de q e chegando em q 1 (isto é, estou dentro da hipótese de P 2 ). Tenho que mostrar que w tem um número ímpar de zeros e um número Realmente, se w = w e leio w saindo de q e chegando em q 1, então : ˆδ(q,w) = q 1 ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q,w ),) = q 1 Ora, de qual estado eu devo partir para, lendo um zero, chegar em q 1? A resposta, obviamente é q. Portanto, ˆδ(q,w ) = q P 1, pois leio w saindo de q e chegando em q. Assim, posso afirmar w tem um número par de zeros e um número Portanto, w tem um número ímpar de zeros e um número OK, consegui mostrar o que queria! (Veja lá em cima). iii. Leio w saindo de q e chegando em q 2 (isto é, estou dentro da hipótese de P 3 ). Tenho que mostrar que w tem um número ímpar de zeros e um número ím Realmente, se w = w e leio w saindo de q e chegando em q 2, então : ˆδ(q,w) = q 2 ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q,w ),) = q 2 Ora, de qual estado eu devo partir para, lendo um zero, chegar em q 2? A resposta, obviamente é q 3. Portanto, ˆδ(q,w ) = q 3 4

5 P 4, pois leio w saindo de q e chegando em q 3. Assim, posso afirmar w tem um número par de zeros e um número ím Portanto, w tem um número ímpar de zeros e um número ím OK, consegui mostrar o que queria! (Veja lá em cima). iv. Leio w saindo de q e chegando em q 3 (isto é, estou dentro da hipótese de P 4 ). Tenho que mostrar que w tem um número par de zeros e um número ím Realmente, se w = w e leio w saindo de q e chegando em q 3, então : ˆδ(q,w) = q 3 ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q,w ),) = q 3 Ora, de qual estado eu devo partir para, lendo um zero, chegar em q 3? A resposta, obviamente é q 2. Portanto, ˆδ(q,w ) = q 2 indução se verifica para w. Repare que a única das P i na qual w se encaixa é P 3, pois leio w saindo de q e chegando em q 2. Assim, posso afirmar w tem um número ímpar de zeros e um número ím Portanto, w tem um número par de zeros e um número ím OK, consegui mostrar o que queria! (Veja lá em cima). (b) w termina em um, isto é, w = w 1. Quatro subcasos a considerar : i. Leio w saindo de q e chegando em q (isto é, estou dentro da hipótese de P 1 ). Tenho que mostrar que w tem um número par de zeros e um número Realmente, se w = w 1 e leio w saindo de q e chegando em q, então : ˆδ(q,w) = q ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q,w ),1) = q Ora, de qual estado eu devo partir para, lendo um 1, chegar em q? A resposta, obviamente é q 3. Portanto, ˆδ(q,w ) = q 3 5

6 P 4, pois leio w saindo de q e chegando em q 3. Assim, posso afirmar w tem um número par de zeros e um número ím Portanto, w tem um número par de zeros e um número OK, consegui mostrar o que queria! (Veja lá em cima). ii. Leio w saindo de q e chegando em q 1 (isto é, estou dentro da hipótese de P 2 ). Tenho que mostrar que w tem um número ímpar de zeros e um número Realmente, se w = w 1 e leio w saindo de q e chegando em q 1, então : ˆδ(q,w) = q 1 ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q,w ),1) = q 1 Ora, de qual estado eu devo partir para, lendo um 1, chegar em q 1? A resposta, obviamente é q 2. Portanto, ˆδ(q,w ) = q 2 indução se verifica para w. Repare que a única das P i na qual w se encaixa é P 2, pois leio w saindo de q e chegando em q 2. Assim, posso afirmar w tem um número ímpar de zeros e um número ím Portanto, w tem um número ímpar de zeros e um número OK, consegui mostrar o que queria! (Veja lá em cima). iii. Leio w saindo de q e chegando em q 2 (isto é, estou dentro da hipótese de P 3 ). Tenho que mostrar que w tem um número ímpar de zeros de uns e um número ím Realmente, se w = w e leio w saindo de q e chegando em q 2, então : ˆδ(q,w) = q 2 ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q,w ),1) = q 2 Ora, de qual estado eu devo partir para, lendo um 1, chegar em q 2? A resposta, obviamente é q 1. Portanto, ˆδ(q,w ) = q 1 6

7 P 1, pois leio w saindo de q e chegando em q 1. Assim, posso afirmar w tem um número ímpar de zeros e um número Portanto, w tem um número ímpar de zeros e um número ím OK, consegui mostrar o que queria! (Veja lá em cima). iv. Leio w saindo de q e chegando em q 3 (isto é, estou dentro da hipótese de P 4 ). Tenho que mostrar que w tem um número par de zeros e um número ím Realmente, se w = w 1 e leio w saindo de q e chegando em q 3, então : ˆδ(q,w) = q 3 ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q,w ),1) = q 3 Ora, de qual estado eu devo partir para, lendo um 1, chegar em q 3? A resposta, obviamente é q. Portanto, ˆδ(q,w ) = q P 1, pois leio w saindo de q e chegando em q. Assim, posso afirmar w tem um número par de zeros e um número Portanto, w tem um número par de zeros e um número ím OK, consegui mostrar o que queria! (Veja lá em cima). 2. Provemos que L L(A), isto é, que toda palavra com um número par de zeros e um número par de 1s é reconhecida pelo autômato A, isto é, consigo ler a palavra percorrendo o autômato saindo de q e chegando em q. Novamente, somos obrigados a utilizar uma indução mútua, isto é, provar algo mais forte do que o que realmente queremos. Vamos mostrar Q 1 Q 2 Q 3 Q 4, onde : Q 1 Se uma palavra w tem um número par de zeros e um número par de uns então consigo ler esta palavra partindo de q e chegando em q. 7

8 Q 2 Se uma palavra w tem um número par de zeros e um número ímpar de uns então consigo ler esta palavra partindo de q e chegando em q 1. Q 3 Se uma palavra w tem um número ímpar de zeros e um número par de uns então consigo ler esta palavra partindo de q e chegando em q 3. Q 4 Se uma palavra w tem um número ímpar de zeros e um número ímpar de uns então consigo ler esta palavra partindo de q e chegando em q 2. Repare que o que realmente nos interessa é Q 1. Mas se provarmos que Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 se verifica para qualquer palavra, então em particular Q 1 se verifica. Exercício 1 Mostre Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 por indução (mútua) sobre o comprimento de w. Exercício 2 Considere a linguagem L = strings que contém o substring 1. Considere o autômato A que vimos em sala de aula, isto é : q q2 1 q1 1 Mostre que L(A) = L. 1 8