EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR

IST - 1 o Semestre de 016/17 MEBiol, MEAmbi EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA - Vectores e valores próprios 1 1 Vectores e valores próprios de transformações lineares Dada uma transformação linear T V! V do espaço vectorial V nele próprio, se com v V n f0g e escalar se tem T (v) = v; diremos que v é um vector próprio de T e um seu valor próprio. Designando por I V! V a transformação linear identidade, ou seja a transformação tal que I (x) = x; qualquer que seja x V; temos que T (v) = v, (T I) (v) = 0 Assim, se é um valor próprio de T; então v será um vector próprio de T associado a se e só se v Nuc (T I) n f0g Como tal, podemos a rmar que é um valor próprio de T se e só se Nuc (T I) 6= f0g ; sendo qualquer elemento não nulo de Nuc (T I) um vector próprio de T associado a O subespaço de V; Nuc (T representaremos por E () I) ; é chamado de subespaço próprio associado a ; que E () = Nuc (T I) 1.1 Vectores e valores próprios de matrizes Analogamente, podem de nir-se os conceitos de valor próprio e vector próprio de uma matriz A (n n) Nesse sentido, um vector v 6= 0 e um escalar são, respectivamente, um vector próprio de A e um valor próprio de A; se Av = v O conjunto dos valores próprios de A é designado por espectro da matriz A e representado por (A) Ao contrário do que sucede para uma transformação linear qualquer, 1 Coligidos por João Ferreira Alves, Ricardo Coutinho e José M. Ferreira. 1

para uma matriz podemos obter uma caracterização dos seus valores próprios. Na verdade, atendendo a que Av = v, (A I) v = 0; se v é um vector próprio associado ao valor próprio ; podemos a rmar que v é uma solução não nula do sistema homogéneo (A I) x = 0; e portanto concluir que (A), det (A I) = 0 Facilmente se veri ca que det (A I) é um polinómio em de grau n; chamado de polinómio característico de A Logo o conjunto dos valores próprios de uma matriz A é analiticamente identi cado pelas raízes de um polinómio (A) = f det (A I) = 0g O conjunto dos vectores próprios associados a um mesmo valor próprio de A; é constituído por todos os vectores não nulos que são solução do sistema homogéneo (A I) x = 0; ou seja Nul(A I) n f0g O subespaço de R n ; Nul (A I) ; é chamado de subespaço próprio associado a ; que representaremos por E () E () = Nul (A I) 1. Vectores e valores próprios de transformações lineares em espaços de dimensão nita Seja T V! V uma transformação linear. Se o espaço V é de dimensão nita e A = [T ] B;B é a matriz que representa T relativamente a uma dada base B de V; de podemos concluir que a relação é equivalente a [T (v)] B = A [v] B ; T (v) = v A [v] B = [v] B Deste modo, é um valor próprio de T se e só se (A) O espaço próprio associado a um valor próprio ; pode também ser caracterizado através da matriz A E () = Nuc (T I) = fv V [v] B Nul (A I)g No caso de ser V = R n ou C n como há uma identi cação entre vectores e coordenadas na base canónica temos que E() = Nuc (T I) = Nul (A I) ; onde A é a representação matricial de T na base canónica de R n ou C n.

1. Diagonalização de matrizes Uma matriz D (n n) diz-se uma matriz diagonal se forem nulos todos os elementos de D que estão fora da diagonal principal d 1 0 0 0 0 d 0 0 D = 6 0 0 d 0 7 4 0 0 0 d n Por exemplo, a matriz identidade é uma matriz diagonal. Uma matriz A (n n) é dita diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal D Ou seja, se existir uma matriz invertível, S; dita matriz de semelhança, tal que D = S 1 AS Teorema da diagonalização. Seja A uma matriz (n n) com valores próprios 1 ; ; k As seguintes a rmações são equivalentes 1) A matriz A é diagonalizável. ) Existe uma base de R n, B = fv 1 ; v ; ; v n g, formada por vectores próprios de A. ) O conjunto B 1 [ B [ [ B k (onde B i designa uma base de E( i )) é uma base de R n. 4) As dimensões dos espaços próprios de A, dim E( i ), veri cam a igualdade dim E( 1 ) + dim E( ) + + dim E( k ) = n. Note que para uma matriz diagonalizável A, uma matriz de semelhança, S, terá como colunas as coordenadas de n vectores próprios linearmente independentes v 1 ;v ; ;v n A matriz diagonal D = 6 4 S = [v 1 v v n ] d 1 0 0 0 0 d 0 0 0 0 d 0 0 0 0 d n será formada de maneira que d j é um valor próprio associado a v j ; para j = 1; ; n Corolário. Se A tiver n valores próprios distintos então A é diagonalizável. Com V um espaço de dimensão nita (dim V = n) seja T V! V uma transformação linear representada por uma matriz A diagonalizável. Nestas condições, aos n vectores próprios de A linearmente independentes, associamos n vectores próprios de T também linearmente independentes que desse modo constituirão uma base B do espaço V A matriz diagonal D semelhante a A será a representação de T relativamente à base B 7

1.4 Exercícios Exercício 1 Seja T R! R a transformação linear de nida por T (x 1 ; x ) = (x 1 + x ; x 1 + x ) e considere os vectores v 1 = (; 1); v = ( 1; 1); v = (; ) e v 4 = (4; 4) Identi que os que são vectores próprios de T Nos casos a rmativos, indique os respectivos valores próprios de T Exercício Considere a transformação linear de nida por T (x 1 ; x ; x ) = (0; x + x ; x + x ) Dentre os vectores v 1 = (; 1; 1); v = (0; 1; 1); v = (1; 0; 0); v 4 = ( 1; 1; ) e v = (0; ; ); quais são vectores próprios de T? E que valores próprios de T que lhes estão associados? Exercício T é a transformação linear de nida por T (x 1 ; x ; x ) = (x 1 + x + x ; x 1 + x + x ; x 1 + x + x ) Veri que se alguns dos vectores v 1 = (; 1; 1); v = (1; 1; 1); v = ( ; 0; ); v 4 = ( 1; 1; ) e v = ( 1; 1; 0) são vectores próprios de T A que valores próprios de T estão associados? Exercício 4 Seja T R! R a transformação linear de nida por T (x 1 ; x ) = (x 1 + x ; x 1 + x ) Mostre que os vectores v 1 = (1; 1) e v = (1; 1) determinam uma base de R constituída por vectores próprios de T Nesta base, determine a representação matricial de T Exercício T R! R é a transformação linear dada por T (x 1 ; x ; x ) = (x ; x ; x ) Justi que que os vectores v 1 = (1; 0; 0), v = (1; 1; 1) e v = (0; 0; 1) determinam uma base de R constituída por vectores próprios de T. Qual a representação matricial de T nesta base? Exercício 6 T é a transformação linear de nida por T (x 1 ; x ) = (x 1 + x ; x ) a) Indique o polinómio característico da matriz que na base canónica representa T b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T que lhes estão associados. c) Determine uma base de R constituída por vectores próprios de T Qual a representação matricial de T nesta base? 4

Exercício 7 Seja T R! R a transformação linear que na base canónica de R é representada pela matriz A = a) Especi que (A) b) Calcule os subespaços próprios de T c) Determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D = P 1 AP Exercício 8 Na base canónica de R a transformação linear T é representada pela matriz 1 A = 0 a) Determine (A) b) Calcule os subespaços próprios de T c) Mostre que não existe uma base de R constituída por vectores próprios de T Exercício 9 Seja T R! R a transformação linear de nida por T (x 1 ; x ; x ) = (x + x ; x + x ; x + x ) a) Indique o polinómio característico da matriz que na base canónica representa T b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T c) Determine uma base de R constituída por vectores próprios de T. Qual é a representação matricial de T nesta base? d) Designando por A a matriz que representa T na base canónica de R ; determine uma matriz P e uma matriz diagonal D tais que D = P 1 AP Exercício 10 T R! R é a transformação linear dada por T (x 1 ; x ; x ) = (x 1 ; x + x ; x ) a) Qual o polinómio característico da matriz que na base canónica representa T? b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T c) Mostre que não existe uma base de R constituída por vectores próprios de T Exercício 11 Seja T R! R a transformação linear que na base canónica de R é representada pela matriz 9 0 0 A = 4 7 1 8 a) Determine (A) b) Calcule os subespaços próprios de T c) Determine uma matriz P e uma matriz diagonal D tais que D = P 1 AP

Exercício 1 T P 1! P 1 é uma transformação linear que na base canónica de P 1 é representada pela matriz 1 A = 4 a) Determine (A) b) Calcule os subespaços próprios de T c) Indique uma base de P 1 tal que a representação matricial de T nessa base seja diagonal. Exercício 1 Considere a transformação linear T P! P dada por T (p (t)) = p 0 (t) + p (t) a) Relativamente à base canónica de P ; que matriz representa T? b) Qual o polinómio característico da matriz que representa T? c) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T d) Pode T ser representada por uma matriz diagonal? Justi que. Exercício 14 Duas matrizes quadradas A e B dizem-se semelhantes se existe uma matriz P invertível tal que B = P 1 AP Mostre que a) Qualquer matriz quadrada é semelhante a ela própria (A é semelhante a A). b) Se A e B são semelhantes, então também B e A são semelhantes. c) Se A e B são semelhantes e se B e C são semelhantes, então A e C são semelhantes. d) Se A e B são semelhantes e A é diagonalizável, então B é diagonalizável. e) Se A e B são semelhantes, então têm o mesmo polinómio característico. Valores próprios complexos Mesmo que A seja uma matriz real (n n) ; A pode admitir valores próprios complexos. Nestas condições, se C é um valor próprio de A então um vector próprio v que lhe esteja associado será necessariamente um vector de C n v = (v 1 ; ; v n ) ; com v 1 ; ; v n C Numa circunstância destas é possível então concluir que ; o complexo conjugado de ; é igualmente um valor próprio de A e que o chamado vector conjugado de v; é vector próprio de A associado a v = (v 1 ; ; v n ) ; 6

.1 Exercícios Exercício 1 Resolva as seguintes equações na variável complexa z a) z 4 1 = 0 b) z + 8 = 0 c) z 4 + 1 = 0 d) z (z ) + 16z = 0 Exercício 16 Seja T C! C a transformação linear de nida por T (z 1 ; z ) = ( z ; z 1 ) a) Calcule o polinómio da matriz que representa T b) Quais os valores próprios e os subespaços próprios de T? c) Determine uma base de C constituída por vectores próprios de T Qual é a representação matricial de T nesta base? Exercício 17 T C! C é a transformação linear que na base canónica de C é representada pela matriz 0 A = 0 a) Indique o polinómio característico de A b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T c) Determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D = P 1 AP Exercício 18 Seja T C! C a transformação linear de nida por T (z 1 ; z ; z ) = (z 1 + z z ; z ; z 1 z + z ) a) Calcule o polinómio característico da matriz que representa T b) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T c) Determine uma base de C constituída por vectores próprios de T Qual é a representação matricial de T nesta base? d) Designando por A a matriz que representa T na base canónica de C, determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D = P 1 AP Exercício 19 Considere as matrizes A = ; B = 0 1 4 e C = 10 4 4 10 Mostre que todas são diagonalizáveis e calcule A n, B n e C n, para n N Exercício 0 Considere as matrizes A = e B = 1 4 Mostre que as matrizes A e B (não sendo diagonalizáveis enquanto matrizes reais) são diagonalizáveis enquanto matrizes complexas. Calcule A n e B n, para n N 7

Exercício 1 A matriz a A = b b a com a; b R; b 6= 0; tem valores próprios complexos = a ib Mostre que transformação linear que A representa consiste na composição de uma rotação seguida de uma mudança de escala. Ou seja, que A = 0 0 cos sin sin cos Exercício Com base no exercício anterior calcule A n ; onde A = Particularize para o cálculo de A 10 e A 1 Formas quadráticas Uma forma quadrática é uma função Q R n! R cuja expressão analítica do seguinte tipo Q (x 1 ; ; x n ) = X ij=1 a ij x i x j ; onde a ij R; i; j = 1; ; n Com x = 4 x 1 x n qualquer forma quadrática pode assumir a forma Q (x 1 ; ; x n ) = x T A x; com A matriz real, nn e simétrica (A T = A). Por exemplo, a forma quadrática Q R! R; Q (x 1 ; x ) = x 1 x 1 x + 4x = = [x 1 x ] = 4 x1 x.1 Classi cação das formas quadráticas Pondo x = (x 1 ; ; x n ) ; uma forma quadrática Q (x) e as matrizes simétricas que lhe estão associadas são classi cadas em 1. De nidas positivas se Q (x) > 0; 8x R n n f0g. De nidas negativas se Q (x) < 0; 8x R n n f0g 8

. Semide nidas positivas se Q (x) > 0; 8x R n 4. Semide nidas negativas se Q (x) 6 0; 8x R n. Inde nidas se Q (x) tomar valores positivos e negativos.. Formas quadráticas e valores próprios Uma matriz invertível P é dita ortogonal se P 1 = P T. Uma matriz A; real e nn; dizse uma matriz ortogonalmente diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal, D; cuja matriz de semelhança, P; seja ortogonal. Isto é, se com P 1 = P T A = P DP 1 Facilmente se veri ca que uma matriz ortogonalmente diagonalizável, A é necessariamente uma matriz simétrica O inverso também sucede como se estabelece no seguinte teorema Teorema espectral das matrizes simétricas. Seja A uma matriz real, n n e simétrica. Então 1) Todos os valores próprios de A são reais ( (A) R) ) A é ortogonalmente diagonalizável. A partir da relação Q (x 1 ; ; x n ) = x T A x; com A matriz real, n n e simétrica, como A é ortogonalmente diagonalizável temos que x T A x = x T P DP T x em que D é uma matriz diagonal, n n; e P uma matriz ortogonal também n n Com y T = y 1 y n, fazendo então y = P T x temos que x T A x = y T D y Isto signi ca que através da mudança de variável x = P y; a forma quadrática Q pode ser descrita, na nova variável, através da expressão Q (y 1 ; ; y n ) = y T D y = 1 y 1 + + n y n; onde 1 ; ; n ; são os números reais que constituem o espectro de A; ou seja os seus valores próprios. Este facto permite-nos então concluir 1. Q é uma forma de nida positiva se e só se todos os valores próprios de A são positivos. 9

. Q é uma forma de nida negativa se e só se todos os valores próprios de A são negativos.. Q é uma forma semide nida positiva se e só se todos os valores próprios de A são não negativos. 4. Q é uma forma semide nida negativa se e só se todos os valores próprios de A são não positivos.. Q é uma forma inde nida se e só se A tiver valores próprios positivos e negativos.. Exercícios Exercício Classi que as seguintes matrizes simétricas. 1 1 a) b) c) 1 1 d) 0 e) 4 1 0 1 0 0 0 f) 4 0 1 0 0 1 0 Exercício 4 Com base no exercício anterior classi que as seguintes formas quadráticas. a) Q(x 1 ; x ) = x 1 + x + x 1 x b) Q(x 1 ; x ) = x 1 + x + x 1 x c) Q(x 1 ; x ) = x 1 + x x 1 x d) Q(x 1 ; x ) = x 1 + 4x x 1 e) Q(x 1 ; x ; x ) = x 1 + x + x + 4x x 1 f) Q(x 1 ; x ; x ) = x 1 x + x + x x 1 4 Soluções 1) v 1 e v não são vectores próprios de T ; v é vector próprio de T associado ao valor próprio 1; v 4 é vector próprio de T associado ao valor próprio ) v ; v e v são vectores próprios de T ; ; 0 e 4 são os respectivos valores próprios. ) v é vector próprio de T associado ao valor próprio, v e v são vectores próprios associados ao valor próprio 1. 0 0 4) 0 ) 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10

6) a) P () = ( 1) ( ) b) 1 e são os valores próprios de T Os subespaços próprios de T são E (1) = L f(1; 0)g e E () = L f(1; 1)g 1 0 c) 0 7) a) (A) = f 1; g b) E ( 1) = L f( 1; 1)g e E () = L f(1; 1)g 1 0 c) D = e P = 0 8 a) (A) = fg b) E () = L f(1; 0)g c) dim E () = 1 6= dim R = 9) a) P () = ( ) ( 1) b) 0; 1 e são os valores próprios de T Os subespaços próprios são E (0) = L f(1; 0; 0)g ; E (1) = L f(0; 1; 1)g e E () = L f(; ; )g c) f(1; 0; 0) ; (0; 1; 1) ; (; ; )g 0 0 0 1 0 d) D = 4 0 1 0 e P = 4 0 1 0 0 0 1 10) a) P () = ( ) ( ) b) e são os valores próprios de T Os subespaços próprios são E () = L f(0; 1; 0)g e E () = L f(1; 0; 0)g c) Não existe uma base de R formada por vectores próprios de T porque dim E () + dim E () = 6= dim R 11) a) (A) = f6; 9g b) E (6) = L f(0; 1; 1)g e E (9) = L f(; ; 0) ; (1; 0; )g 0 1 6 0 0 c) P = 4 1 0 e D = 4 0 9 0 1 0 0 0 9 1) a) (A) = f1; g b) E (1) = L (ft =g) ; E () = L (ft 1g) 1 0 c) T é representada por D = na base ft =; t 1g 0 11

1) a) A = 4 0 0 1 0 0 1 b) (1 ) c) 1 é valor próprio de T E (1) = L f1g d) Não dim E (1) = 1 6= = dim P 1) a) z = 1 e z = i b) z = 1 i p e z = c) z = p i p = e z = p i p = d) z = 0 e z = 4i 16) a) P (z) = z + 1 b) i são os valores próprios de T ; E (i) = L f(i; 1)g e E ( i) = L f( i; 1)g c) f(i; 1) ; ( i; 1)g é base de C ; D = i 0 0 i 17) a) P (z) = z + 4 b) i são os valores próprios de T ; E (i) = L f( i; 1)g e E ( i) = L f(i; 1)g c) f(i; 1) ; ( i; 1)g é base de C ; D = i 0 0 i i i ; P = 18) a) P (z) = (1 z) (1 z) + 1 b) 1 e 1 i são os valores próprios de T ; E (1) = L f(1; 1; 1)g ; E (1 + i) = L f(i; 0; 1)g e E (1 i) = L f( i; 0; 1)g 1 0 0 c) f(1; 1; 1) ; (i; 0; 1) ; ( i; 0; 1)g é base de C ; D = 4 0 1 + i 0 0 0 1 i 1 i i d) P = 4 1 0 0 e D 1 1 19 A n n 1 = 0 n ; B n = n 1 ( n ) ( n e ) 1 C n = ( n ) ( ) n ( ) n ( n ) 6 ( n ) 6 ( ) n ( ) n ( n ) 0) A n = p cos(n=4) sin(n=4) n sin(n=4) cos(n=4) ) A n = n= cos (n=4) n= sin (n=4) n= sin (n=4) n= cos (n=4) A 10 = 0 0 ; A 1 = 64 0 0 64 e B n = p 8 n cos(n=4) 1 sin(n=4) sin(n=4) cos(n=4) ) a) Os valores próprios da matriz são 0 e, logo é semide nida positiva. 1

b) Os valores próprios da matriz são 1 e, logo é de nida positiva. p e 1 1 c) Os valores próprios da matriz são negativa. d) Os valores próprios da matriz são 1 e 4, logo é inde nida. e) Os valores próprios da matriz são 1 e, logo é inde nida. f) Os valores próprios da matriz são, 1 e, logo é inde nida. p (ambos negativos), logo é de nida 4) a) Semide nida positiva. b) De nida positiva. c) De nida negativa. d) Inde nida. e) Inde nida. f) Inde nida. 1