CPV especializado na ESPM ESPM Resolvida Prova E 3/junho/03 MATEMÁTICA. O valor numérico da expressão (x + 4x + 4). (x x) x 4 para x = 48 é: a) 4800 b) 00 c) 400 d) 3500 e) 800 Fatorando a expressão, temos:. Um número natural N, quando dividido por 8 ou por 5, deixa o mesmo resto R. Se R é o maior possível e N o menor possível, o valor de N + R é: a) 98 b) c) 00 d) 05 e) 8 N = 8 q + R (0 R 7) N = 5 q' + R (0 R 4) (x + 4x + 4). (x x) (x 4) Para x = 48, (x + ). x = 50. 48 = 400 = (x + ). x (x ) (x + ). (x ) = (x + ). x Alternativa C Como R é o maior valor possível, temos R = 4. Assim, N = 8 q + 4, N = 5 q' + 4, Þ N 4 = 8 q N 4 = 5 q' Como N tem que ser o menor valor possível e N 4 tem que ser múltiplo de 8 e 5, temos que: N 4 = mmc (8; 5) Þ N 4 = 90 Þ N = 04 Portanto, N + R = 04 + 4 = 8 Alternativa E CPV ESPMJUN03
ESPM 3/06/03 CPV especializado na ESPM 3. As soluções inteiras da equação x y = 7 formam 4 pares ordenados. Esses pares representam, no plano cartesiano, os vértices de um quadrilátero cuja área vale: a) 30 b) 48 c) 4 d) 3 e) 36 x y = 7 Û (x + y). (x y) = 7 Para soluções inteiras, temos: x + y = 7 x y = x + y = x y = 7 Þ (x = 4 e y = 3) ou Þ (x = 4 e y = 3) ou 4. Na função f (x) = x x, o valor de fof (0) + fof () + fof () + fof (3) é: a) 8 b) 9 c) 30 d) 3 e) 3 Pelo enunciado temos: fof (0) + fof () + fof () + fof (3) f(f (0)) + f(f ()) + f(f ()) + f(f (3)) f (0) = 0 0 = f () = = f () = = f (3) = 3 3 = 5 x + y = 7 x y = x + y = x y = 7 Þ (x = 4 e y = 3) ou Þ (x = 4 e y = 3) f () + f () + f () + f (5) f (5) = 5 5 = 7 Portanto, + + + 7 = 3 Alternativa D Então, o quadrilátero em questão pode ser representado no plano cartesiano: y 3 4 4 x 3 A área do quadrilátero é 8. 6 = 48 Alternativa B ( ) 5. O valor máximo que a função f (x) = x 4x pode asumir é: a) 6 b) 3 c) 8 d) e) 4 x Como a função f (x) = ( ) 4x é uma função exponencial decrescente, ela será máxima quando seu expoente (x 4x) for mínimo; como o expoente é dado por uma função quadrática, seu valor mínimo será: y v = Δ 4a = (( 4) 4.. 0) = 4 4. Portanto, o valor máximo de f (x) é: 4 ( ) = 6 Alternativa A CPV ESPMJUN03
CPV especializado na ESPM ESPM 3/06/03 3 6. O mais amplo domínio da função real f (x) = log x (x 3x + ) é o conjunto D = {x Î x > k}. O valor de f (k + ) é: a) b) 0 c) 4 d) e) Analisando o domínio da função logarítmica, temos: x 3x + > 0 x < ou x > x > 0 Þ x > Þ x > x x,5 Ou seja: D = {x Î x > } e k =. f ( + ) = f (3) = log. 3 (3 3. 3 + ) = log 4 () = Alternativa E 7. Sabe-se que as raízes da equação x + kx + 6 = 0 são dois números naturais primos. O valor de k pertence ao intervalo: a) [ 8; 6] b) [ 6; 3] c) [ 3; 0] d) [0; 4] e) [4; 7] 8. Uma agência de turismo fez uma consulta a um grupo de clientes. 40% dos consultados disseram que tinham viajado nas últimas férias, sendo que, destes, 60% viajaram pelo Brasil, 30% para a América do Norte e as outras pessoas foram para a Europa. O número de entrevistados que disseram não ter viajado nessas férias foi: a) 40 b) 80 c) 0 d) 90 e) 00 Chamado de T o total das pessoas consultadas, temos que: 40% T viajou 60% T não viajou Dos que viajaram temos: 40% T. 60 % viajaram pelo Brasil 40% T. 30 % viajaram pela América do Norte 40% T. 0 % viajaram pela Europa. Como 40 %. T. 0% = T = 300 Logo, o número de entrevistados que disseram não ter viajado é dado por: 60%. 300 = 80 Alternativa B Analisando a soma e o produto das raízes da equação x + kx + 6 = 0 temos: soma = k produto = 6 Como as raízes são dois números naturais primos e de produto 6, elas só podem ser os números e 3. Soma = + 3 = k Þ k = 5 Portanto, k pertence ao intervalo [ 6; 3]. Alternativa B ESPMJUN03 CPV
4 ESPM 3/06/03 CPV especializado na ESPM 9. Um produto que custou R$ 300,00 foi vendido com lucro de 0% sobre o preço de custo. Depois disso, foi vendido novamente, mas com um lucro de 0% sobre o preço de venda. Podemos afirmar que este último preço de venda foi de: a) R$ 870,00 b) R$ 980,00 c) R$ 05,00 d) R$ 950,00 e) R$ 890,00 Na primeira venda temos: v preço de venda c = 300 custo L = 0,. c lucro Como L = v c 0,. 300 = v 300 v = 560 30. Um tanque abastecido por duas torneiras de mesma vazão fica completamente cheio em 4 horas. Ao meio-dia iniciou-se o enchimento desse tanque com as duas torneiras abertas, mas duas horas depois uma delas foi fechada, completando-se o processo com uma só torneira. Podemos concluir que o tanque ficou totalmente cheio às: a) 7 h b) 7 h30 min c) 8 h d) 8 h30 min e) 9 h Como as duas torneiras possuem a mesma vazão, uma torneira sozinha enche o tanque em 8 horas. Após duas horas em que as torneiras estão abertas, metade do tanque foi cheio, sobrando a outra metade para uma torneira sozinha. Como ela leva 8 horas para encher o tanque todo, em 4 horas ela encherá metade. Sendo assim: horas + 4 horas = 6 horas Como o produto foi vendido novamente, para o revendedor, 560 é o preço de custo, preço pelo qual ele comprou o produto na primeira venda. duas torneiras juntas uma torneira sozinha Na segunda venda temos: v preço de venda Como o trabalho iniciou-se ao meio dia, terminou às 8 h (6 horas depois.) Alternativa C c = 560 L = 0, v Como L = v c Þ 0, v = v 560 v = 950,00 Alternativa D CPV ESPMJUN03
CPV especializado na ESPM ESPM 3/06/03 5 3. Duas matrizes quadradas de mesma ordem são inversas se o seu produto é igual à matriz identidade daquela ordem. Sendo A = [ 0 ] e B = [ x y z w] matrizes inversas, o valor de x + y + z + w é: a) 0 b) c) d) 3 e) 4 [ 0 ]. x y [ z w ] = 0 0 x + z y + w [ z w ] Assim: [ ] = [ 0 0 ] x + z = x = / y + w = 0 y = / z = 0 Þ z = 0 w = w = Logo, x + y + z + w = 0 Alternativa A 3. Sabendo-se que a b =, podemos afirmar que: m n a b a) m n = 4 a m b) b n = m n c) a b = 4 a b d) m n = e) a a + b m m + n = 4 a b m n = Þ m n a b = Þ m n a b = m n Logo, a b =. m n a b = 4 Alternativa C 33. O campeonato de futsal de uma faculdade será disputado por 6 equipes. Na primeira fase de classificação, todas as equipes jogam entre si, uma única vez. Das 4 melhores colocadas, a primeira joga com a quarta e a segunda joga com a terceira e os vencedores dessas partidas jogam entre si, resultando daí a equipe campeã. O número total de jogos realizados será igual a: a) 5 b) 0 c) 8 d) 6 e) Na primeira fase temos: Na fase seguinte temos: Na fase final: jogo C 6, = 5 jogos a x 4 a e a x 3 a Þ jogos Assim, o número total de jogos será igual a 8. Alternativa C 34. No curso de Administração de uma faculdade, 80% dos alunos são homens, mas no curso de Propaganda esse percentual cai para 60%. Escolhendo-se, ao acaso, um aluno de cada curso, a probabilidade de que sejam duas mulheres é igual a: a) 0% b) 6% c) % d) 8% e) 6% No curso de Administração, 80% são homens e 0% mulheres. No curso de Propaganda, 60% são homens e 40% mulheres. Assim, escolhendo-se ao acaso um aluno de cada curso, a probabilidade de que sejam mulheres é dada por: 0%. 40% = 8% Alternativa D ESPMJUN03 CPV
6 ESPM 3/06/03 CPV especializado na ESPM 35. Um polinômio P(x) dividido por x tem como quociente Q(x) e resto. Quando esse polinômio é dividido por x tem o mesmo quociente Q(x) e resto 3. Podemos afirmar que o valor de Q() + Q() é: 36. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. BCE e EBF são triângulos isósceles de bases BE e BF, respectivamente. Sabendo-se que A, C e E estão alinhados e que A, B e F também estão alinhados, a medida do ângulo x é: a) b) 0 c) d) e) P(x) = (x ). Q(x) + P() = e P(x) = (x ). Q(x) + 3 P() = 3 Assim, P() = ( ). Q() + Þ 3 = Q() + Q() = Þ P() = ( ). Q() + 3 = Q() + 3 Q() = Logo, Q() + Q() = Alternativa E a) º30' b) 30º c) 5º d) 45º e) 60º α 45º 45º α β β Da figura, temos: α = 45º α + β = 90º Þ α = º30', β = 67º30' e x = 45º x + β = 80º Alternativa D CPV ESPMJUN03
CPV especializado na ESPM ESPM 3/06/03 7 37. Na progressão aritmética finita ( 5,..., 5), sabe-se que o último termo é igual à soma de todos os anteriores. O produto da razão pelo número de termos dessa PA é igual a: a) 4 b) 8 c) d) 30 e) 5 Na PA finita ( 5,..., 5), temos: S n 5 = 5 Þ S n = 30 Þ ( 5 + 5). n = 30 Þ n = 6 39. A parábola de equação x = y + 4 e a circunferência de equação x + y = 4 interceptam-se nos pontos A, B e C. A área do triângulo ABC é igual a: a) 4 b) c) 8 d) e) 6 x = y + 4 x + y = 4 Þ (x = e y = 0) ou (x = e y = 0) ou (x = 0 e y = ) Assim, a 6 = a + 5r Þ 5 = 5 + 5r Þ r = 4 No plano cartesiano, temos: y Portanto, n. r = 6. 4 = 4 Alternativa A B ( ;0) A (;0) x 38. Uma reta do plano cartesiano tem equações paramétricas dadas por x = t + e y = t, com t Î. O coeficiente angular (ou declividade) dessa reta é igual a: a) b) c) A área do triângulo ABC é 4. = 4 C (0; ) Alternativa A d) e) x = t + x = t + Þ y = t y = t + Somando membro a membro as duas equações, temos: x y = 3 Þ y = x 3 Portanto, o coeficiente angular da reta é. Alternativa E ESPMJUN03 CPV
8 ESPM 3/06/03 CPV especializado na ESPM 40. A base de um prisma reto é um triângulo retângulo que possui um ângulo interno de 30º e a hipotenusa medindo 8 cm. Se a altura desse prisma é igual ao maior cateto da base, seu volume é igual a: a) 08 cm 3 b) 96 cm 3 c) 8 cm 3 d) 54 cm 3 e) 84 cm 3 COMENTÁRIO DO CPV A prova de Matemática do processo seletivo da ESPM (junho de 03) premiou os vestibulandos com uma avaliação primorosa, de enunciados claros e precisos, escolha adequada de assuntos e apesar de sua simplicidade, muita criatividade. Acreditamos que os candidatos mais preparados puderam deliciar-se em meio a estas questões, mostrando o seu potencial. Parabenizamos a Banca examinadora por esta excepcional demonstração de competência. Chamemos de x o valor do maior cateto do triângulo retângulo. Assim: 8 cos 30º = x 8 Þ x = 4 x 30º 3 cm A área da base é A B =. 4 3. 8. sen 30º = 8 3 cm O volume do prisma é V = A B. x = 8 3. 4 3 = 96 cm 3 Alternativa B CPV ESPMJUN03