Departamento Matemática Curso Engenharia e Gestão Industrial 2º Semestre 1º Folha Nº4 Distribuições discretas 1. De um lote que contém 10 parafusos, dos quais 5 são defeituosos, extraem-se 2 com reposição. Seja X o n.º de parafusos defeituosos obtidos nas duas extracções. a) Determine as funções de probabilidade e de distribuição de X. b) Calcule P(X 2), P(X 3), P(X 1), P(X>1) e P(X>2). 2. Cada amostra de ar tem 10% de possibilidades de conter uma certa molécula rara. Assumindo que as amostras de ar são independentes em relação à presença da molécula, determine a probabilidade de em 5 amostras de ar analisadas: a) exactamente duas conterem a molécula rara? b) pelo menos uma conter a molécula? c) entre três e cinco amostras conterem a molécula? 3. Um satélite contém 4 componentes e pode operar adequadamente se pelo menos 2 delas estiverem em funcionamento. Se cada componente estiver em funcionamento com probabilidade 0.6 e for independente das outras, qual a probabilidade de o satélite funcionar? 4. A probabilidade de um atirador acertar num alvo é 0.8. a) Se o atirador dispara 5 vezes, qual a probabilidade de acertar no alvo pelo menos 3 vezes? b) Quantas vezes deve o atirador disparar de modo que a probabilidade de acertar pelo menos 3 vezes, seja maior do que 99%? c) Em 7 disparos, calcule: i) o n.º mais provável de disparos certeiros; ii) o nº esperado de disparos certeiros. Página 1 de 6
2º Semestre 1º 5. Um sistema é constituído por 5 componentes iguais, sendo 0.05 a probabilidade de uma componente falhar ao longo de qualquer dia da semana. Sabe-se que no caso de nenhuma componente avariar o sistema funciona normalmente; se uma das componentes avariar o sistema funciona com probabilidade 0.7; se mais de uma componente avariar o sistema não funciona. a) Seja X o n.º de componentes de um sistema que avariam ao longo de um dia. Calcule a função de probabilidade de X, e indique o número médio de componentes avariadas. b) Calcule a probabilidade do sistema funcionar ao longo de um dia. c) Calcule a probabilidade de, num dia qualquer, o sistema registar pelo menos uma falha nas suas componentes. d) Calcule a probabilidade de em 2 dias de um período semanal (5 dias) o sistema registar pelo menos uma falha nas suas componentes. 6. As disquetes de determinada marca têm probabilidade 0.1 de ter defeito, independentemente umas das outras. Estas disquetes são vendidas em caixas de 10, garantindo o fabricante que devolverá o custo da caixa, mediante a devolução da mesma, caso esta contenha mais do que uma disquete defeituosa. a) Qual é a probabilidade de uma caixa ser devolvida? b) Na compra de 3 caixas, calcule: i) a probabilidade de que se tenha de devolver uma caixa; ii) o número médio de caixas devolvidas e o respectivo desvio padrão. 7. Num grupo de 50 cães, 20 ladram, 15 não ladram e mordem, e 25 mordem. a) Calcule a probabilidade de ser verdadeiro o seguinte ditado popular: cão que ladra não morde b) Suponha que passa diariamente junto da matilha anterior e selecciona um dos cães aleatoriamente, para fazer festas. Ao fim de uma semana (7 dias) qual a probabilidade de nunca ser mordido? Página 2 de 6
2º Semestre 1º 8. O número de leituras enviadas, durante uma hora, por um satélite para um centro de meteorologia, é uma v.a. de Poisson de média 5. Calcule: a) a probabilidade de que 5 mensagens sejam enviadas por hora; b) a probabilidade de que 10 mensagens sejam enviadas em 1.5 horas; c) a probabilidade de que pelo menos 2 mensagens sejam enviadas em meia hora. 9. O barman de uma badalada discoteca de Viseu quebra, em média, 2.5 copos por hora. Assumindo que o n.º de copos quebrados pelo barman tem distribuição de Poisson, determine a probabilidade de numa noite em que ele trabalhe 4 horas, este quebre: a) no máximo 6 copos; b) exactamente 16 copos; c) pelo menos 5 copos. 10. O número de chamadas telefónicas que chegam a uma central, durante um determinado período, tem distribuição de Poisson. Sabendo que durante um minuto chegam em média 4 chamadas, calcule: a) a probabilidade de num minuto chegarem 3 chamadas; b) a probabilidade de em 2 minutos chegarem à central pelo menos 3 chamadas; c) o n.º máximo de chamadas susceptível de ser manejado por minuto pela central, tal que a probabilidade de ser sobrecarregado seja de 0.05. 11. Suponha que o n.º de clientes que entram, por hora, num armazém tem distribuição de Poisson de média 60. Determine: a) a probabilidade de que num intervalo de 5 minutos não entre ninguém no armazém; b) o intervalo de tempo tal que a probabilidade de que não entre ninguém no armazém durante o dito intervalo seja de 0.5. Página 3 de 6
2º Semestre 1º 12. O número de fendas significativas numa auto-estrada, a ponto de exigirem reparação imediata, tem distribuição de Poisson de média 2 falhas por milha. a) Qual é a probabilidade de não haver fendas que exigem reparação imediata em 5 milhas de autoestrada? E a probabilidade de que exista pelo menos uma falha em meia-milha? b) Ao circular numa auto-estrada, quantas milhas percorre com 50% de possibilidades de não encontrar fendas no caminho? c) O estado de uma auto-estrada é considerado grave se num percurso de 5 milhas forem encontradas 8 falhas que exigem reparação imediata. Foram escolhidas aleatoriamente 10 auto-estradas com tráfego semelhante. Calcule a probabilidade de metade se encontrar em estado grave. 13. Numa determinada fábrica são produzidas componentes electrónicas para sistemas de segurança. Sabe-se que o tempo de vida, expresso em anos, das referidas componentes é bem descrito por uma variável aleatória real X cuja função de distribuição é definida por, 0 se x 2 F(x)= 1-e se x > 2 -(x-2). (Constante de Neper e 2.72 ) a) O fabricante garante aos seus clientes o total funcionamento das componentes electrónicas até aos 2 anos, acrescentando no entanto que uma pequena percentagem pode não exceder os 3 anos de vida, necessitando assim de serem substituídas. Comente a veracidade das afirmações do fabricante, recorrendo à função de distribuição dada. b) Cada sistema de segurança é composto de 5 dessas componentes electrónicas que funcionam independentemente umas das outras. Ao fim de 3 anos de funcionamento do sistema, qual a probabilidade de uma das componentes originais já ter sido substituída? c) O fabricante tem um lucro de 50 euros por cada componente. Sabendo que a fábrica fornece as 5 componentes necessárias à montagem de um sistema de segurança e possíveis componentes substitutas, calcule o lucro esperado do fabricante por sistema, ao fim de 3 anos de funcionamento deste. Página 4 de 6
2º Semestre 1º 14. A Curva de Viadores é uma curva bastante perigosa na EN1, entre Coimbra e a Mealhada, onde os automobilistas devem passar a uma velocidade reduzida. Perante o elevado número de acidentes registados, motivados por excesso de velocidade, a JAE decidiu ponderar a possibilidade de efectuar obras no referido troço, estando tal decisão dependente da gravidade dos acidentes observados no ano anterior. Por consulta dos arquivos da Brigada de Trânsito da GNR, sabe-se que o número de feridos provocados por acidente devido a excesso de velocidade, no período e local indicados, é uma variável aleatória real de Poisson de média 0.2, e que um tal acidente é classificado como grave se o número de feridos provocados for pelo menos 2. a) Mostre que a percentagem de acidentes graves provocados por excesso de velocidade, observados pela Brigada no período e local indicados, é aproximadamente 1.75%. b) Suponha, no que se segue, que os acidentes ocorreram suficientemente espaçados no tempo para que possamos admitir independência em relação ao número de feridos provocados por cada acidente. A JAE decidiu efectuar obras se numa amostra de 20 acidentes ocorridos no ano anterior, houver pelo menos 3 acidentes graves. Será provável que as obras sejam efectuadas? Justifique convenientemente a sua resposta. 15. Uma caixa contém 10 bolas, das quais 4 são brancas, 3 pretas e 3 azuis. a) suponha que se retiram da caixa 5 bolas com reposição, diga qual a probabilidade de não haver bolas brancas na amostra. b) Calcule a mesma probabilidade supondo que as bolas foram retiradas sem reposição ou instantaneamente. 16. De um lote de 100 peças, das quais 20 são defeituosas, escolhe-se uma amostra de 10 sem reposição. Qual a probabilidade de nessa amostra: a) haver 3 defeituosas; b) haver 5 defeituosas. Página 5 de 6
2º Semestre 1º SOLUÇÕES x 0 1 2 1. a) f X (x) 1/4 2/4 1/4 0 se x < 0 1/ 4 se 0 x < 1 F ( x) = 3/ 4 se 1 x < 2 1 x 2 b)1; 1; 0.75; 0.25; 0 2. a)0.0729;b) 0.4095; c) 0.0086 3. 0.8208 4. a)0.9421; b) 7; c)i)6; c)ii) 5.6 5. a) x 0 1 2 3 4 5 f X (x) 0.7738 0.2036 0.0214 0.0011 0.0000297 0.00000031 E(X)=0.25 b)0.9163; c) 0.237 6. a) 0.2639; b)i)0.429; b)ii)0.79; 0.76 7. a) 0.5; b) 0.0078 8. a) 0.1755; b)0.0858; c) 0.7127 9. a) 0.1301; b) 0.0217; c) 0.9707 10. a)0.1954; b) 0.9862; c) 7 11. a) 0.0067; b) 0.0116 horas 12. a) e -10 ; 0.6321; b) 0.347; c) 0.0025 13. b) 0.05904; c)407.5 14. b) A probabilidade de haver 3 acidentes graves na amostra de 20 acidentes é baixa, 0.0049, portanto, é pouco provável que as obras sejam efectuadas. 15. a) 0.07776; b)0.0238 16.a) 0.2092; b)0.0238 Página 6 de 6