Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva SP Curso de Licenciatura em Matemática º ano Prática de Ensino da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Eercícios sobre trigonometria em triângulos 1. Dentre os ternos (a, b, c) de números inteiros listados, com a < b < c, qual(is) dele(s) poderiam ser lados de triângulo(s) retângulo(s)? a) (5, 1, 1) b) (8, 15, 17) c) (7, 4, 5) d) (1, 5, 7) e) (11, 60, 61) f) (0, 1, 9) g) (9, 40, 41) Observe que todos os ternos satisfazem a Recíproca do Teorema de Pitágoras, portanto, todos poderiam ser lados em triângulos retângulos. Os dois números menores representariam as medidas dos catetos e o maior número, a medida da hipotenusa.. Dentre os ângulos agudos dos triângulos retângulos do eercício anterior, qual possui o maior seno? Em cada um dos triângulos retângulos da questão anterior há dois ângulos agudos. Definindo o cateto oposto i sen i =, i {1,} hipotenusa e calculando os respectivos valores, obtemos os resultados aproimados da Tabela 1. Tabela 1: Senos, cossenos e tangentes Cateto 1 Cateto Hipotenusa Seno 1 Seno 5 1 1 0,85 0,9 8 15 17 0,471 0,88 7 4 5 0,80 0,960 1 5 7 0,4 0,946 11 60 61 0,180 0,984 0 1 9 0,690 0,74 9 40 41 0,0 0,976 Portanto, o maior seno é 60 61 0,984. Quais os senos, cossenos e tangentes dos ângulos agudos do triângulo de lados 6 cm, 8 cm e 10 cm? Observe que os lados do triângulo verificam a recíproca do Teorema de Pitágoras, ou seja, 6 + 8 = 10 Portanto, esse triângulo é retângulo com hipotenusa 10, com um dos seus ângulos agudos tendo seno igual a 6 10, cosseno igual a 8 10, tangente igual a 6 8. O outro possui seno igual a 8 10, cosseno igual a 6 10 e tangente igual a 8 6. 4. Um triângulo tem lados medindo cm, 4 cm e 5 cm. Outro triângulo tem lados medindo 9 cm, 1 cm e 15 cm. Os ângulos desses triângulos são iguais? Pela Recíproca do Teorema de Pitágoras, temos que ambos são triângulos retângulos, pois, + 4 = 5 e 9 + 1 = 15
No primeiro triângulo, um dos ângulos agudos (α 1 ) tem seno igual a 5, cosseno igual a 4 5 e tangente igual a 4 e o outro (β 1 ) possui seno igual a 4, cosseno igual a e tangente igual a 4. Já no segundo, teremos os mesmos valores 5 5 de senos, cossenos e tangente para os ângulos α e β, respectivamente. Portanto, nos dois triângulos teremos ângulos retos, α 1 = α e β 1 = β. 5. Utilizando os dados aproimados da tabela a seguir, calcule o que se pede. Arco Sen Cos Tg 15º 0,6 0,97 0,7 0º 0,4 0,9 0,7 0º 0,50 0,87 0,58 40º 0,64 0,77 0,84 57º 0,84 0,54 1,54 80º 0,98 0,17 5,67 a) Determine o valor de AC = b) Determine o valor de AB = c) Determine o valor de BD = + y Retirando os dados da tabela, obtemos: sen 57 = 0,84 = = 84 100 cos 80 = 0,17 = = 4 00 tan 0 = 0,6 = = 108 00 tan 40 = 0,84 = y y = 5 00 Portanto, BD = 108 + 5 = 60 6. Uma escada rolante liga dois andares de uma loja e tem uma inclinação de 0º. Sabendo que a escada rolante tem 10 m de comprimento, qual é a altura entre os dois andares? Observe que podemos construir um triângulo retângulo com hipotenusa coincidindo com a escada rolante (um segmento de reta que a represente pelo comprimento), um ângulo da base da escada com o solo medindo 0º e estamos em busca do valor de cateto oposto (a altura h entre os andares), portanto, usaremos o seno de 0º. sen 0 = h 10 1 = h 10 h = 5 metros 7. Uma pessoa na margem de um rio vê sob o ângulo de 60º uma torre na margem oposta. Quando ela se afasta 0 metros esse ângulo diminui para 0º. Qual é a largura do rio?
Sejam a largura do rio e h a altura da torre. De início, temos que tan 60 = h, ou seja, h =. Após o afastamento encontramos que tan 0 = donde = 15 metros. h 0+ (0+), isto é, h =. Por fim, (0 + ) =, 8. (Eame de Acesso PROFMAT 014) Para calcular a altura de um morro, um topógrafo posicionou-se com seu teodolito a 00 m do morro e o aparelho forneceu a medida do ângulo de visada do morro: 0º. O topógrafo, olhando numa tabela, considerou tg 0º = 0,57. Se a altura do teodolito é 1,60 m, qual é a altura, em metros, do morro obtida pelo topógrafo? a) 5,48 b) 15,60 c) 118,0 d) 115,60 e) 114,00 Indicando por o cateto oposto ao ângulo de 0º, temos que tan 0 = que 00 00. Como ele usou tan 0 = 0,57, segue = 0,57, e daí = 0,57 00 = 114. Portanto a altura do morro é dada por 114 + 1,60 = 115,60 m. 9. (Eame de Acesso PROFMAT 014) Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 1 cm e um dos catetos mede 5 cm. A soma das tangentes dos ângulos agudos é aproimadamente: a) 1 b) 1, c) d),5 e),8 Os catetos são 5 e 1 (pelo Teorema de Pitágoras). As tangentes são 5 1 e 1 5 e sua soma é 169 60,8 10. Resolver um triângulo é determinar as medidas dos seus três lados e dos seus três ângulos internos. Resolva o triângulo a seguir. Pela soma dos ângulos internos de um triângulo temos que α = 180 70 4 = 68. Pela Lei dos Senos temos: sen 70 = 9 sen 4 0,94 = 9 = 1,6 0,67 y sen 68 = 9 sen 4 11. Determine a medida nas figuras a seguir: y 0,9 = 9 y = 1,49 0,67
Pela Lei dos Cossenos temos no primeiro triângulo que: 7 = + cos 60 49 = 9 + 6 0,5 40 = 0 = 8 ou = 5 (não convém) Aplicando a Lei dos Senos no segundo triângulo temos: sen 10 = 100 sen 45 = 100 = 100 = 100 6 = 50 6 1,47 1. (PUC RS 010) Dois operários suspendem um balde por meio de cordas, conforme mostra o esquema a seguir: São dados: sen 0 = cos 60 = 1 e sen 60 = cos 0 = Sabe-se que o balde, com seu conteúdo, tem peso 50N, e que o ângulo formado entre as partes da corda no ponto de suspensão é 60º. A corda pode ser considerada como ideal (inetensível e de massa desprezível). Quando o balde está suspenso no ar, em equilíbrio, a força eercida por um operário, medida em newtons, vale: a) 50 b) 5 50 c) d) 5 e) 0 A força resultante de 50N é a soma dos vetores A e B que cada operário aplica na corda. Como a força que cada um deles aplica é a mesma, devemos então adotar que A = B. Usando a Lei dos Cossenos temos que: F = A + A + A A cos 60 50 = A + A 0,5 50 = A + A 50 = A A = 50 A = 50 1. DESAFIO! Num fórum da internet encontra-se a seguinte dúvida: Oi galera! Tava estudando aqui lei dos senos e cossenos e fiquei com uma dúvida. Porque na matemática a Lei dos Cossenos é, V r = V 1 + V V 1 V cos α e na Física ela é adaptada para, V r = V 1 + V + V 1 V cos α. Eu não consegui entender o porque de na Física ser mais e na Matemática menos. Se alguém puder me ajudar nessa dúvida, muito obrigado. Abraço e T+.
Quando queremos somar os vetores AB e AC utilizamos a regra do paralelogramo. Para determinar o módulo de AD devemos aplicar a Lei dos Cossenos no triângulo ACD. Veja, AD = AC + CD AC AD cos AC D Mas perceba que AC D = 180. Assim temos: AD = AC + CD AC AD cos(180 ) Já que ABCD é um paralelogramo temos CD = AB, e assim: AD = AC + AB AC AB cos(180 ) Como cos(180 ) = cos ficamos com: AD = AC + AB + AC AB cos Perceba que a Lei dos Cossenos é utilizada da mesma forma que na Matemática.