MATEMÁTICA ELEMENTAR II:

Marcelo Gorges Olímpio Rudinin Vissoto Leite MATEMÁTICA ELEMENTAR II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 009

009 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ L55m Leite, Olímpio Rudinin Vissoto. Matemática elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia. / Olímpio Rudinin Vissoto Leite, Marcelo Gorges. Curitiba, PR: IESDE, 009. 444 p. Sequência de: Matemática elementar I ISBN 978-85-387-044-0. Matemática (Ensino médio). I. Gorges, Marcelo. II. Inteligência Educacional e Sistemas de Ensino. III. Título. 09-36. CDD: 50 CDU: 5 Capa: IESDE Brasil S.A. Imagem da capa: Júpiter Images/DPI Images Todos os direitos reservados. IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho,.48. CEP: 80730-00 Batel Curitiba PR 0800 708 88 88 www.iesde.com.br

Olímpio Rudinin Vissoto Leite Mestre em Gestão de Negócios pela Universidade Católica de Santos. Graduado em Licenciatura em Matemática pela USP. Marcelo Gorges Licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná.

Sumário Números e operações Números naturais Números inteiros 4 Números racionais 7 Números reais 0 Porcentagem 4 Fator de aumento 6 Fator de redução 7 Geometria e medidas 33 Comprimento e massa 33 Área, volume e capacidade 37 Volume e capacidade 4 Estimativas e arredondamentos 46 Teorema de Tales 5 Teorema de Pitágoras 58 Gráficos 65 Tipos de gráficos 65 Introdução às funções 83 Conceito intuitivo de função 83 Gráfico cartesiano 85 Domínio e imagem de uma função 88 Uma nova notação para função 89

Função afim 97 Gráfico da função afim 97 Função linear 98 Função identidade 98 Função constante 99 Coeficientes da função afim 00 Interseção da reta com eio (raiz da função afim) 0 Equações da reta 08 Função quadrática 5 Gráfico de uma função quadrática 5 Domínio e imagem da função quadrática 6 Máimo ou mínimo de uma função quadrática 7 Tópicos complementares de funções 35 Função definida por várias sentenças 35 Estudo da variação das funções 39 Valores etremos de uma função 4 Estudo do sinal de uma função 47 Inequação 49 Funções eponenciais 55 Potenciação 55 Propriedades das potências 56 Notação científica 57 Função eponencial 63 Equações eponenciais 69

Função logarítmica 75 O que é logaritmo? 75 Propriedades dos logaritmos 78 Função logarítmica 86 Equação logarítmica 90 A função eponencial de base e e de base e 9 Logaritmo natural 93 Introdução à trigonometria 97 As razões trigonométricas 97 Como calcular o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo? 99 Seno, cosseno e tangente de um ângulo obtuso Lei dos senos 9 Lei dos cossenos 9 Progressão Aritmética (P.A.) 5 Sequência numérica 5 Progressão Aritmética (P.A.) 8 Progressão Geométrica (P.G.) 4 Progressão Geométrica 4 Classificação de P.G. 4 Sistemas lineares 59 Matrizes 59 Determinantes 65 Sistemas lineares 69

Princípio fundamental da contagem 79 Princípio fundamental da contagem 79 Tipos de agrupamentos 8 Análise combinatória 87 Fatorial 87 Permutação simples 88 Permutação com repetição 89 Arranjo simples 9 Combinação simples 95 Noções de probabilidade 99 Eperimentos aleatórios 99 Probabilidade 300 Probabilidade condicional 306 Matemática Financeira 33 Porcentagem 33 Porcentagem de uma quantia 34 Porcentagem de um número em relação a outro 34 Aumento 35 Desconto 37 Juros 30

Geometria espacial 37 Prismas 37 Paralelepípedo reto-retângulo 39 Cubo 330 Pirâmides 334 Cilindro 339 Cone 34 Esfera 34 Estatística 345 Notações 345 Tipos de variáveis 345 Medidas de tendência central 346 Medidas de dispersão 350 Apresentação de dados estatísticos 353 Frequências 354 Circunferência trigonométrica 359 Circunferência trigonométrica 359 Relações trigonométricas 363

Função quadrática Olímpio Rudinin Vissoto Leite Função quadrática é qualquer função ƒ: dada por uma lei da forma ƒ() = a + b + c, na qual a, b e c são números reais com a 0. Observe alguns eemplos de funções quadráticas: = 3 + 7 representa a lei de formação de uma função quadrática, em que a é igual a 3, b é igual a 7 e c é igual a. A função =, em que a é igual a, b é igual a 7 e c é igual a 0(zero), representa uma função quadrática. Gráfico de uma função quadrática O gráfico de ƒ() = a + b + c ou = a + b + c, a 0, é uma parábola com eio de simetria paralelo ao eio. Para desenhar o gráfico da função quadrática basta determinar alguns pontos da parábola. Para isso, devemos atribuir alguns valores para a variável e determinarmos os valores correspondentes para a variável.

6 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Eemplos: Solução:. Desenhar o gráfico da função = 6 + 5. Construímos uma tabela, atribuindo os seguintes valores para : 0,,, 3, 4, 5 e 6. Solução: (, ) 0 5 (0, 5) 0 (, 0) 3 (, 3) 3 4 (3, 4) 4 3 (4, 3) 5 0 (5, 0) 6 5 (6, 5) 5 4 3 eio de simetria 4 3 0 3 4 5 6 3 4 5 vértice. Desenhar o gráfico da função ƒ() =. A função dada pode ser descrita por =. Atribuímos para os valores: 3,,, 0 e, e construímos uma tabela. (, ) 3 3 ( 3, 3) 0 (, 0) (, ) 0 0 (0, 0) 3 (, 3) vértice 3 eio de simetria 3 0

Função quadrática 7 Pontos notáveis de uma parábola Em uma parábola, alguns pontos são denominados pontos notáveis, pois são pontos que se destacam, facilitam a construção do gráfico e a análise da função. Ponto de interseção com eio As funções quadráticas reais são representadas graficamente por parábolas que interceptam o eio em um ponto notável. P 0 Nesse gráfico, o ponto P representa a interseção da parábola com o eio. Devemos lembrar que todo ponto do eio possui abscissa com valor zero, atribuindo o valor 0 (zero) à variável na lei de formação de uma função quadrática, temos: = a + b + c = 0 = a(0) + b(0) + c = c Logo, o ponto P terá coordenadas = 0 e = c, ou seja, temos o ponto P (0, c). Vértice Um ponto importante para a construção do gráfico de uma função quadrática é o vértice da parábola. Conhecida a abscissa V do vértice, basta determinar dois ou três pontos com abscissas menores que V e dois ou três, com abscissas menores que V.

8 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Observe a figura a seguir. Toda parábola de equação = a + b + c, a 0, corta o eio num ponto de abscissa = 0, isto é, no ponto A (0, c). A parábola é uma curva que tem simetria em relação a uma reta vertical que passa pelo vértice o eio de simetria. Logo, eiste outro ponto com ordenada igual à do ponto A (0, c). A B c 0 b a c vértice Assim, fazendo = c na equação = a + b + c, obtemos a + b + c = c. Daí,. (a + b) = 0. Assim, = 0 ou = b a. Mas, é o valor médio de 0 e b V a. Logo, 0 + b a V = = b a A abscissa do vértice de qualquer parábola de equação = a + b + c, (a 0) é V = b a. Eemplo: Construir uma tabela de pares ordenados de números reais que satisfaçam à equação = 3. Em seguida, desenhar, num referencial cartesiano, a parábola que é gráfico dessa função. Solução: Inicialmente, vamos descobrir o do vértice através da fórmula V = b a. Assim, temos V =. = Atribuindo a três valores maiores que V e três menores, calculamos os valores correspondentes para a variável e confeccionamos a tabela com os respectivos pares ordenados. Em seguida, localizamos os pontos no plano cartesiano e, finalmente, desenhamos a parábola.

Função quadrática 9 (, ) 5 (, 5) 0 (, 0) 0 3 (0, 3) 4 (, 4) 3 (, 3) 3 0 (3, 0) 4 5 (4, 5) 5 4 3 0 3 4 3 4 eio de simetria vértice Observações: No gráfico anterior, o ponto (, 4) representa o vértice da parábola; A equação da reta vertical que passa pelo vértice (eio de simetria) é =. Pontos de interseção da parábola com o eio Um ponto que pertence ao eio tem ordenada igual a 0. Assim, para descobrir os pontos em que a parábola de equação = a + b + c, (a 0) intercepta o eio, basta substituir por 0, obtendo a equação quadrática a + b + c = 0. Os valores que representarão as soluções dessa equação corresponderão às abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eio. As soluções reais dessa equação do.º grau recebem o nome de raízes da função. 0 raiz raiz

0 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Resolvendo a equação a + b + c = 0 pela fórmula resolutiva = b ± a com = b 4ac, temos três possibilidades: > 0. Nesse caso, há duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eio em dois pontos. = 0. Nesse caso, há uma raiz real e a parábola intercepta o eio em apenas um ponto. < 0. Nesse caso, não há raiz real e a parábola não intercepta o eio. O gráfico da função = a + b + c, (a 0) tem concavidade para cima ou para baio. Os eemplos resolvidos a seguir sugerem que: Se a > 0, a concavidade é para cima: Se a < 0, a concavidade é para baio: A parábola pode interceptar o eio de três maneiras diferentes. Para cada uma delas, eistem duas possibilidades: a concavidade pode ser voltada para cima ou para baio. Logo, as parábolas que representam os gráficos de funções quadráticas possuem seis configurações diferentes:

Função quadrática Se > 0, a parábola intercepta o eio em dois pontos diferentes, e : a > 0 a < 0 0 0 Se = 0, a parábola intercepta o eio em um único ponto, = : a > 0 a < 0 0 = 0 = Se < 0, a parábola não intercepta o eio, pois a função não possui raiz real: a > 0 Observação: 0 Com as informações sobre o e sobre o coeficiente a, é possível fazer um esboço do gráfico da função quadrática sem descobrir pontos da parábola. Em muitas situações, o esboço é suficiente para analisar a função. Eemplos:. a < 0 Esboçar o gráfico das funções quadráticas: a) = 3 b) = + c) = + d) = + 0

Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Solução: a) a = (a > 0) = ( ) 4.. ( 3) = 5( > 0) b) a = (a < 0) = 4. ( ). ( ) = 0( = 0) c) a = (a > 0) = 4.. 0 = ( > 0)

Função quadrática 3 d) a = (a < 0) = 4. ( ). ( ) = 7( < 0). Durante uma guerra, um canhão lançou uma bala com uma trajetória oblíqua em relação ao solo, conforme mostra a figura. A bala descreveu uma parábola de equação = 0,0005 + 0,, com e em quilômetros. Descobrir a altura máima que a bala atingiu e a distância horizontal do ponto de lançamento até o ponto em que a bala se chocou com o chão (alcance). (km)?? (km) (BONGIOVANNI; VISSOTO; LAUREANO. Matemática e Vida,.º grau, volume.)

4 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Solução: Nessa situação a altura máima a ser determinada corresponde à ordenada do vértice da parábola. Temos: a = 0,0005 = 0,04 V = 0,. ( 0,0005) = 00 V = 0,0005. 00 + 0,. 00 = 0 As raízes da função são obtidas através de 0,0005 + 0, = 0, isto é, = 0 e = 400. Assim, temos a < 0 > 0) 0 (km) v 0 00 400 (km) Logo, a bala atingiu a altura máima de 0km e teve um alcance de 400km. Eercícios. Em cada item, considere a função quadrática = a + b + c, (a 0). Faça um esboço da parábola que representa a função dada, analisando o sinal de a, o valor de ( = b 4ac), obtendo o vértice e as raízes, se eistirem. a) = + +

Função quadrática 5 b) = 8 c) = + 3 d) = 4 4 e) = f) = + 4 5. Durante uma partida de futebol, o goleiro chuta a bola para frente, conforme o esquema: h A c

6 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia A altura da bola, em metros, varia em função da distância que ela se afasta do goleiro, em metros, e é dada por = + 0. Nessas condições, determine: a) A distância do ponto C, onde a bola tocou no chão, ao ponto A, de onde o goleiro chutou a bola; b) A altura h máima que a bola atingiu, lembrando que V = b a. Domínio e imagem da função quadrática O domínio da função, isto é, os valores de para os quais a epressão = a + b + c tem sentido, é formado por todos os números reais. O conjunto imagem é determinado a partir das coordenadas do vértice. Eemplo: Solução: Esboçar o gráfico da função = 4 5, dar o domínio e o conjunto imagem. Para esboçar o gráfico, observamos o valor de a e o de : a = = ( 4) 4.. ( 5) = 36 Como a > 0 e > 0, a parábola intercepta o eio em dois pontos e a concavidade é voltada para cima. Para descobrir o conjunto imagem, dependemos do vértice da parábola. Lembrando que V = b a, temos: V = 4. = V = 4. 5 = 9

Função quadrática 7 Portanto, o vértice é o ponto V(, 9). Com esses elementos, fazemos o esboço do gráfico: 9 v Determinamos, também, o domínio D = e o conjunto imagem Im = [ 9, + [. Máimo ou mínimo de uma função quadrática Toda função quadrática apresenta uma particularidade importante: possui sempre um valor máimo ou um valor mínimo (valores etremos da função). Geralmente, nas aplicações das funções quadráticas, a descoberta desse valor etremo é fundamental. Eaminando os gráficos a seguir, você pode perceber que: v V a > 0 a < 0 0 0 v V V é o valor mínimo da função. V é o valor máimo da função.

8 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Eemplos: Considerar a função quadrática ƒ() = 8. Notar que = ƒ(). Esboçar o gráfico e determinar o vértice da parábola que representa ƒ(). A seguir, descobrir o valor máimo ou valor mínimo dessa função. Solução: Temos: a = = ( 8) 4.. 0 = 64 V = 8. = V =. 8. = 8 Assim: a > 0 > 0 8 v O vértice é representado pelo ponto V(, 8). Nessa situação, a função tem um valor mínimo de 8, representado pelo V.

Função quadrática 9 Eercícios 3. Considerando o gráfico que mostra a parábola de equação = 5 + 6, responda: b a 0.5 3 4 5 a) Qual o valor de para =? b) Quanto vale a? c) Quanto vale b? d) Para que valores de, o valor de é positivo?

30 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia e) Qual é o valor mínimo de? f) Para que valores de, os valores de são maiores que 6? 4. Considerando o gráfico que mostra a parábola de equação = + 4, responda: a) Quais os valores de para que a epressão + 4 seja igual a zero? b) Quais os valores de para que a epressão + 4 seja positiva? c) Quais os valores de para que a epressão + 4 seja negativa? d) Qual o valor máimo da epressão + 4?

Função quadrática 3 5. Considere cada uma das funções quadráticas dadas a seguir: Descubra o do vértice V = b a. Construa uma tabela com pares ordenados de números reais para localizar, num referencial cartesiano, pontos da parábola que representa a função dada. (Utilize V e, pelo menos, dois valores maiores que V e dois menores). Determine o valor máimo ou mínimo da função, isto é,. V Dê o vértice da parábola. Desenhe a parábola representativa da função. Escreva o domínio e o conjunto imagem da função. a) = b) = 6 + 5 c) = 4 6. Considere cada uma das funções quadráticas dadas a seguir: Descubra o do vértice da parábola V = b a. Construa uma tabela com pares ordenados de números reais, para localizar, num referencial cartesiano, pontos da parábola que representa a função dada. (Utilize V e, pelo menos, dois valores maiores que V e dois menores).

3 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Determine o valor máimo ou mínimo da função, ( ). V Dê o vértice da parábola. Desenhe a parábola. Escreva o domínio e o conjunto imagem da função. a) = b) = 3 + 6 c) = + + d) = 4 + 7. Analise o, para saber em quantos pontos a parábola intercepta o eio, e observe o sinal do coeficiente de. A partir de suas observações, faça um esboço do gráfico da parábola associada a cada equação dada: a) = 4 + 3

Função quadrática 33 b) = + 4 + 4 c) = 8 5 d) = + Para cada item, responda as seguintes questões: Para que valores de a parábola intercepta o eio? Quais as coordenadas do vértice da parábola? Para que valores de a epressão, chamada de, é positiva? Para que valores a epressão é negativa? Observando o vértice, qual o valor máimo ou mínimo da epressão? 8. Um objeto, lançado obliquamente a partir do solo, alcança uma altura h (em metros) que varia em função do tempo t (em segundos) de acordo com a fórmula h(t) = t + 0t. a) Em que instante o objeto atinge a altura máima? De quantos metros é essa altura? b) Em que instante ele atinge o solo novamente?

34 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia

Gabarito Gabarito Função quadrática. a) = + +, a =, b =, c = a = a > 0 (parábola com concavidade voltada para cima) = b 4ac = 4.. = 0 Raízes: = + + 0 = + + = b ± a = ± 0. = = Vértice: = V(, 0). Como as raízes são iguais o valor do coincide com o da raiz, e o valor do v é zero. b) = 8, a =, b = 0, c = 8 a = a > 0 (parábola com concavidade voltada para cima) = b 4ac = 0 4.. ( 8) = 64 Raízes: = 8 0 = 8 = 4 = ± 4 =, = Vértice: b = a 0 =. = 0 v = ƒ( ) = ƒ(0) =. (0) 8 = 8 v = 8 V(0, 8)

Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 3 8 c) = + 3, a =, b = 0, c = 3 a = a > 0 (parábola com concavidade voltada para cima) = b 4ac = 0 4.. 3 = não tem raízes reais Vértice: b = a 0 =. = 0 v = ƒ( ) = ƒ(0) = (0) + 3 = 3 v = 3 V(0, 3) d) = 4 4, a =, b = 4, c = 4 a = a < 0 (parábola com concavidade voltada para baio) = b 4ac = ( 4) 4. ( ). ( 4) = 0 Raízes: = 4 4 0 = 4 4 = b ± a = ( 4) ± 0. ( ) = = Vértice: = 4 = V(, 0). Como as raízes são iguais, o valor do coincide com o da raiz, e o valor do v é zero.

Gabarito = = 0,5 v = ƒ( ) = ƒ( ) = ( ) ( ) = 4 = 0,5 v = 0,5 V( 0,5; 0,5) V 0 e) =, a=, b =, c = 0 a = a < 0 (parábola com concavidade voltada para baio) = b 4ac = ( ) 4. ( ). (0) = Raízes: = 0 = = ( ) ±. ( ) = + Vértice: = b a =. ( ) = = f) = + 4 5, a =, b = 4, c = 5 a = a < 0 (parábola com concavidade voltada para baio) = 4 4. ( ). ( 5) = 6 0 = 4 não tem raízes reais Vértice: b = a 4 =. ( ) = v = ƒ( ) = ƒ() = = () + 4. () 5 = v = V(, )

Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia V 3. a) = 0 b) a = c) b = 6 d) < ou > 3 e) = 5 + 6, a =, b = 5, c = 6 5 =. =,5 v = ƒ( ) = ƒ(,5) = (,5) 5. (,5) + 6 = 0,5 f) v = h min = 0,5 < 0 ou > 5 4.. a) = + 0 0 = 0. ( 0) = 0 = 0 ou = 0 Resposta: 0 metros (a distância AC corresponde à distância entre as raízes da função) b) = + 0; a =, b = 0, c = 0 b = a = 0. ( ) 5. a) b) c) d) = ou = < < < ou > valor máimo é 4 a) =, a =, b = 0, c = 0 0 =. = 0 (, ) 4 (, 4) (, ) 0 0 (0, 0) (, ) = 5 v = ƒ( ) = ƒ(5) = = () + 0. (5) = 5 v = h má = 5 Resposta: 5m 4 (, 4) = 0 v = ƒ( ) = ƒ(0) = (0) = 0 v = 0 (valor mínimo) V (0, 0)

Gabarito 3 5 4 V D = e Im = [ 4, + [ D = e Im = + b) = 6 + 5, a =, b = 6, c = 5 6 =. = 3 (, ) 0 (, 0) 3 (, 3) 3 4 (3, 4) 4 3 (4, 3) 5 0 (5, 0) = 3 v = ƒ( ) = ƒ(3) = = (,5) 6. (,5) + 5 = 4 v = 4 (valor mínimo) V (3, 4) c) = + 4, a =, b = 4, c = 0 = 4. ( ) = (, ) 0 0 (0, 0) 3 (, 3) 4 (, 4) 3 3 (3, 3) 4 0 (4, 0) = v = ƒ( ) = ƒ() = = () + 4. () = 4 v = 4 (valor máimo) V (, 4)

Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 4 V 3 4 D = e Im = [, + [ 6. D = e Im = ], 4] a) =, a =, b = 0, c = 0 =. = 0 (, ) 3 (, 3) 0 (, 0) 0 (0, ) 0 (, 0) 3 (, 3) = 0 v = ƒ( ) = ƒ(0) = = (0) = v = (valor mínimo) V (0, ) b) = 3 + 6, a = 3, b = 6, c = 0 6 =. ( 3) = (, ) 9 (, 9) 0 0 (0, 0) 3 (, 3) 0 (, 0) 3 9 (3, 9) = v = ƒ( ) = ƒ() = = 3. () + 6. () = 3 v = 3 (valor máimo) V (, 3)

Gabarito 3 V 3 3 V D = e Im = + 9 D = e Im = ], 3] c) = + +, a =, b =, c = =. = (, ) 3 4 ( 3, 4) (, ) 0 (, 0) 0 (0, ) 4 (, 4) = v = ƒ( ) = ƒ( ) = = ( ) +. ( ) + = 0 v = 0 (valor mínimo) V (, 0) d) = 4 +, a =, b = 0, c = 4 0 =. = 0 (, ) 8 (, 8) 5 (, 5) 0 4 (0, 4) 5 (, 5) 8 (, 8) = 0 v = ƒ( ) = ƒ(0) = 4 + (0) = 4 v = 4 (valor mínimo) V (0, 4)

Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 8 5 3 V V 7. a) D = e Im = [4, + [ Raízes (interseção com o eio ) = 4 + 3, a =, b = 4, c = 3 0 = 4 + 3 = b 4ac = ( 4) 4.. 3 = 4 = b ± a = ( 4) ± 4. = = 3 > 0 para < ou > 3 < 0 para < < 3 O valor mínimo é. b) Raízes (interseção com o eio ) = + 4 + 4, a =, b = 4, c = 4 0 = + 4 + 4 = b 4ac = 4 4.. 4 = 0 = b ± a = 4 ± 0. = = = A parábola intercepta o eio em =. V (, 0) Para = e = 3 a parábola intercepta o eio V (, )

Gabarito V 5 4 3 c) > 0 para não eiste valor real de que torne a variável negativa O valor mínimo é 0. Raízes (interseção com o eio ) = 8 5, a =, b = 8, c = 5 0 = 8 5 = b 4ac = ( 8) 4. ( ). ( 5) = 4 = b ± a = ( 8) ± 4. ( ) = 8 ± = 5 = 3 Para = 3 e = 5 a parábola intercepta o eio V ( 4, ) > 0 para 5 < < 3 < 0 para < 5 ou > 3 O valor máimo é. d) Raízes (interseção com o eio ) = +, a =, b =, c = 0 = + = b 4ac = 4. ( ). ( ) = 0 = b ± a = ± 0. ( ) = ± 0 = = A parábola intercepta o eio em = V (, 0)

Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia V b) h(t) = t + 0t 0 = t + 0t t 0t = 0 t. (t 0) = t = 0 ou t = 0 Resposta: O objeto atinge novamente o solo no instante t = 0s. não eiste valor real de que torne a variável positiva < 0 para O valor máimo é 0. 8. a) h(t) = t + 0t, a =, b = 0, c = 0 O instante em que o objeto atinge a altura máima corresponde ao. b = a 0 =. ( ) = 0 A altura máima atingida em 0 segundos. h(t) = t + 0t h(0) = 0 + 0. 0 h(0) = 00 + 00 h(0) = 00 A altura máima atingida é de 00 metros.