Incertezas de Medição Prof. Marcos Antonio Araujo Silva Dep. de Física "I can live with doubt and uncertainty and not knowing. I think it is much more interesting to live not knowing than to have answers that might be wrong." Richard Feynman
Sumário Histórico Importância de medidas Incertezas nas medições: Tipo A Avaliação Estatística Tipo B Bom senso Algarismos significativos Propagação de Incertezas Conclusões Bibliografia Agradecimentos
Histórico Pela primeira vez na história de humanidade alguém realizou medidas de um fenômeno natural, ou seja, realizou um experimento como é entendido hoje. Foi Cláudio Ptolomeu (85 165) quem realizou medidas e registrou numa tabela os dados do ângulo de incidência e ângulo de refração da luz ao passar pela interface do ar para a água. Resultado Experimental Incidência no Ar (graus) de Ptolomeu Refração na Água (graus) 10 8,0 20 15,5 30 22,5 40 29 50 35 60 40,5 70 45,5 80 50
Histórico Hoje, sabemos que esse fenômeno é regido pela conhecida Lei de Snell:. Em que ni é o índice de refração do meio pelo qual a luz incide com ângulo θi e nr é o índice de refração do meio no qual a luz refrata com ângulo θr.
Importância Medidas: dão suporte a Teorias que podem prever resultados futuros. Medir: é um processo experimental em que o valor de uma grandeza é determinado em termos de uma unidade estabelecida por um padrão. Resultado da medida deve conter: o valor numérico da grandeza, a incerteza da medição e uma unidade.
No Brasil o sistema legal de unidades é o Sistema Internacional (SI), e as regras para a expressão dos resultados e das incertezas nas medições são definidas pela ABNT e pelo INMETRO. Toda MEDIDA está sujeita a incertezas! Pois, medir é um processo experimental sujeito a erros que causam incertezas que podem ser devidas: ao processo de medição, aos equipamentos utilizados, à influência de variáveis que não estão sendo medidas, e também, ao operador que realiza as medidas. Os ERROS são de dois tipos: Aleatórios: aumentando o número de medidas pode ser minimizado. Sistemáticos: têm que ser encontrados e eliminados.
Supomos que os erros grosseiros já foram evitados, tais como, imperícia ou desatenção da pessoa que está medindo, ajustes imperfeitos do aparelho, má leitura da escala, etc. É importante expressar o resultado de uma medida de modo que outras pessoas o entendam e saibam com que confiança o resultado foi obtido.
Exemplo 1: Ao se fazer muitas medidas com uma régua graduada em milímetros, obtem-se a distribuição de resultados mostrados na figura a seguir. Régua em graduada em milímetros
Exemplo 2: Ao se fazer muitas medidas com uma régua graduada em meio (1/2) milímetro, obtem-se a distribuição de resultados mostrados na figura a seguir. Régua em graduada em 1/2 milímetro
Os observadores que realizam as medidas não são capazes de afirmar com certeza o comprimento do objeto. As medidas se distribuem aproximadamente em torno de um mesmo valor médio para as duas réguas. Observa-se que as medidas realizadas com a régua com divisões de 1/2 milímetro apresenta uma maior dispersão. O parâmetro associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão de valores atribuídos à grandeza sob medição, é chamada de incerteza da medição. O modo mais comum de se expressar o resultado de uma medição é: (valor da grandeza ± incerteza da medição) [unidade] Esta e outras formas também utilizadas: (7,64 ± 0,02) mm 7,64(2) mm 7,64(0,02) mm
Como vimos, a incerteza no resultado de uma medição caracteriza a dispersão das medidas em torno da média. São duas categorias para essas incertezas, dependendo do método utilizado para estimar seu valor: Avaliação tipo A a incerteza é avaliada por meio de uma análise estatística. Avaliação tipo B a incerteza é avaliada por meios não estatísticos, por não se dispor de medidas repetidas.
Avaliação tipo B A incerteza é avaliada por meios não estatísticos, por não se dispor de medidas repetidas. Quando não é possível ou prático a realização de muitas medidas, utiliza-se o bom senso para estimar a incerteza duma medição. É uma avaliação bastante subjetiva. Deve-se utilizar todas as informações disponíveis, tais como, especificações do fabricante e dados de calibração do aparelho, dados de medições anteriores, experiência prévia do executor da medida sobre os instrumentos e materiais utilizados, etc. A imprecisão de um instrumento é a metade da menor divisão de sua escala. Alguns exemplos a seguir.
Avaliação tipo B Exemplo 3 Tem-se uma balança cuja única informação é erro máximo = 4 g, leu-se uma massa de 45 g. O resultado da medição é (45 ± 4) g. Exemplo 4 Quando se tem apenas a informação que o valor da medição é limitado pelo intervalo x+ e x-. Neste caso é aceitável supor que x pode assumir qualquer valor no intervalo com igual probabilidade. Assim, o valor mais provável da grandeza é dado por e a incerteza padrão, estimada como o desvio padrão dessa distribuição, é dada por O fator raiz de três no denominador vem da distribuição retangular de probabilidade.
Avaliação tipo B Exemplo 5 Numa medida de tensão alternada, o ponteiro do voltímetro analógico oscilava aproximadamente entre 12,5 V e 14,0 V. Usando-se esses valores como limites, como no exemplo anterior, obtémse e E o resultado dessa medição de voltagem é (13,3 ± 0,4) V. Exemplo 6 Numa medida de ph, o display do phmetro digital oscilava aproximadamente entre 4,9 e 5,0. Usando-se esses valores como limites, como no exemplo anterior, obtém-se e E o resultado dessa medição de ph vale (4,95 ± 0,03).
Avaliação tipo A Uma medida repetida n vezes nas mesmas condições. Obtemos os resultados { x 1, x 2,..., x n }. A melhor estimativa para a medida é dada pela média aritmética <x> dos valores obtidos: e a incerteza padrão da medição é identificada como o desvio padrão, u, da média dos resultados:
Avaliação tipo A Observações As distribuições das medidas dos exemplos 1 e 2 são exemplos de uma distribuição normal ou gaussiana. Ela é descrita pela função onde <x> é o valor central ou médio de x e u é o desvio padrão da média da distribuição. Neste tipo de distribuição, aproximadamente 68% dos valores encontram-se no intervalo (<x> ± u); cerca de 95% dos valores estão dentro do intervalo (<x> ± 2u); e cerca de 99,7% estão dentro do intervalo (<x> ± 3u). Esses intervalos são chamados de intervalos de confiança.
Observações (cont.) Avaliação tipo A Essa estimativa é confiável quando o número de medidas é muito grande (n > 200). No caso de n pequeno, deve-se multiplicar o desvio padrão por um fator de correção conhecido como coeficiente t-student, cujo valor depende do número de medições e do intervalo de confiança desejado.
Exemplo 7 Em um grupo de oito medidas de ph obteve-se os resultados apresentados na tabela a seguir. i phi O valor médio do ph é 1 11,31 0,10 2 11,09 0,12 3 11,10 0,11 4 11,27 0,06 5 11,18 0,03 6 11,32 0,11 7 11,24 0,03 8 11,15 0,06 <ph> = 11,21 A incerteza no ph como o desvio padrão da média é dado por Portanto, o valor mais provável do ph é ph = (11,21 ± 0,03).
Algarismos Significativos Ao expressar os resultados experimentais medidos é importante escrever o número correto de algarismos significativos. Regras: os algarismos significativos de uma medida apresenta apenas o último algarismo duvidoso; o algarismo duvidoso é o que é afetado pela incerteza da medição; zeros à esqueda não são significativos; zeros à direita do primeiro número não nulo são significativos; usar potência de 10 não altera o número de algarismos significativos.
Algarismos Significativos Comentários: Operações com algarismos significativos: o adição ou subtração observa-se a parcela com menor número de casas decimais; o Multiplicação ou divisão observa-se a parcela mais pobre, com menor número de algarismos significativos. Na medição do comprimento do objeto com uma régua graduada em milímetros do exemplo 1 estimamos a incerteza do tipo A como (7,6 ± 0,1) cm. O seis é o algarismo duvidoso e temos corretamente 2 algarismos significativos. Seria errado expressar esse resultado como: (7,6385 ± 0,1) cm ou (7 ± 0,1) cm ou (7,6385 ± 0,1178) cm. É importante observar que o número de algarismos significativos no resultado é determinado apenas pela incerteza. A incerteza é inerente ao processo de medição.
Propagação da Incerteza. Quase sempre medimos indiretamente uma grandeza. Consideremos que uma grandeza Y que não pode ser medida diretamente e que é uma função f de N outras grandezas X 1, X 2,..., X N. Ou seja, Y = f(x 1, X 2,..., X N ). Sejam x 1 ± u(x 1 ), x 2 ± u(x 2 ),..., x N ± u(x N ) os resultados independentes das medições das grandezas X 1, X 2,..., X N. O resultado y da medição da grandeza Y é dado por y = f(x 1, x 2,..., x N ).
A incerteza padrão da medição de uma grandeza obtida por meio de uma medição indireta é chamada de incerteza padrão combinada, e é determinada pela equação Ou seja, a incerteza padrão combinada da variável y é igual à raiz quadrada positiva da soma dos quadrados das incertezas das medições das outras grandezas, ponderadas pela derivada parcial ao quadrado,.
Exemplo 8 Deseja-se medir a potência elétrica P dissipada por um chuveiro elétrico ligado à rede elétrica. São feitas várias medições da resistência elétrica R do chuveiro e da tensão elétrica V da rede. Determinou-se assim, os valores médio e as incertezas padrão dessas grandezas. Os resultados são R = (2,5 ± 0,3) Ω e V = (127 ± 1) Volts. Avaliação tipo B A potência elétrica dissipada no resistor é dada por P = V 2 /R, ou seja, P = 127 2 /2,5 = 6451,6 Watt. Como as incertezas em R e em V afetam o resultado da medição de P? Vejamos, P = P(R, V) e a incerteza padrão combinada u c (P) da potência é dada por
Como P = V 2 /R, então,, e levando os valores numéricos em u c (P) u c (P) = 781 W. Então, o resultado para a medição da potência é P = (6,5 ± 0,8) x 10 3 W.
Princípio da Incerteza de Heisenberg No mundo quântico o simples ato de olhar pode alterar completamente o sistema sob observação. Por exemplo, se quisermos determinar a posição e o momento (a componente paralelo à posição) de um elétron, temos que vê-lo. E para vê-lo precisamos interagir com ele através de fótons. Essa interação altera o momento do elétron, de modo que você jamais conseguirá determinar simultaneamente a posição e o momento do elétrom. Esse princípio foi elaborado por Heisenberg no final da década de 20 do século passado, quando a mecânica quântica estava sendo construída.
Bibliografia CAMPOS, A.A.G.; Alves, E.S.; Speziali, N.L., Física Experimental Básica na Universidade, 2ª. Ed., Belo Horizonte, Editora UFMG, 2011. ISNB: 978-85-7041-663-6. VUOLO, J.H. Fundamentos da Teoria dos Erros, 2ª. Ed., São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996. Incerteza de Medição, Professora Márcia Russman Gallas, IF-UFRGS, http://www.if.ufrgs.br/~marcia/medidas.pdf. Acessado em 13/10/2014.
Obrigado!!