Nível 2 Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção Prova da segunda fase Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na décima segunda edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site www.mat.ibilce.unesp.br/olimpiada a partir das 20 horas de 03/06/2014 (terça-feira). OMRP
RASCUNHO Gabarito 1. Alternativa B 2. Alternativa D 3. Alternativa E 4. Alternativa B 5. Alternativa A (ANULADA) 6. Alternativa B 7. Alternativa E 8. Alternativa B 9. Alternativa C 10. Alternativa C 11. Alternativa D 12. Alternativa E 13. Alternativa C 14. Alternativa E 15. Alternativa C 16. Alternativa B 17. Alternativa D 18. Alternativa D 19. Alternativa A 20. Alternativa C 21. Alternativa D 22. Alternativa D 23. Alternativa C 24. Alternativa C 25. Alternativa B Observação: A questão 5 foi anulada, pois seu texto estava incorreto na prova que foi aplicada. Nesse arquivo já fizemos a correção do mesmo.
1. Num jogo de videogame, dois pilotos, Zé da Álgebra e Chico das Contas, disputam uma corrida de motos. Zé completa cada volta em 45 segundos e Chico, em 48 segundos. As motos de Zé e de Chico só se encontram no momento em que Zé termina (e vence) a corrida. Quantas voltas tem a corrida? a) 15 voltas. b) 16 voltas. c) 18 voltas. d) 20 voltas. e) 21 voltas. 2. Um quadrado é dividido em sete retângulos congruentes (iguais), conforme indicado na figura. Se o perímetro de cada um desses retângulos mede 32 cm, quanto mede o perímetro do quadrado? a) 36 cm. b) 40 cm. c) 42 cm. d) 56 cm. e) 64 cm. 3. Gê Ométrica, distraída no final da aula de Matemática, resolveu escrever os números inteiros positivos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11.... Quando a aula terminou, ela tinha acabado de escrever o 1000º algarismo. Quais foram os dois últimos algarismos que ela escreveu? a) 28. b) 45. c) 60. d) 63. e) 93. 4. A soma de todos os divisores de 100 é: a) 11. b) 217. c) 221. d) 222. e) 250. 5. Uma destas caixas está vazia e, em cada uma das restantes, há um lápis, uma caneta, uma calculadora e um compasso. Caixa A O compasso está aqui. Se todos os enunciados são falsos, em que caixa está o lápis? a) A. b) B. c) C. d) D. e) E. Caixa B Esta caixa não está vazia. Caixa C A caneta está em A. Caixa D O compasso está em C. Caixa E A calculadora não está aqui. 6. Para obter 8 8, deve-se elevar o número 4 4 ao expoente: a) 2. b) 3. c) 4. d) 8. e) 16. 7. A xícara de Zé da Álgebra está totalmente cheia de uma mistura de café com leite. Nessa mistura, a quantidade de leite é o dobro da quantidade de café. Depois de beber a metade do conteúdo, Zé volta a encher a xícara totalmente, mas agora apenas com leite. Neste momento, o café representa que fração do conteúdo total dessa xícara? a) 1. 2 b) 2. 9 c) 1. 3 d) 1. 9 e) 1. 6 8. Quantos pontos são necessários para construir a figura 10? figura 1 figura 2 figura 3 figura 4 a) 212. b) 145. c) 125. d) 121. e) 117. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 3
9. Considere um quadrado circunscrito a uma circunferência e um outro quadrado inscrito nessa mesma circunferência. Sejam G a área do quadrado maior e P a área do quadrado menor. Assinale a correta relação entre as áreas G e P. a) G = 4P. b) G = 3P. c) G = 2P. d) G = 2 2 P. e) G = 2 P. 10. Quantas das quatro operações abaixo têm como resultado um múltiplo de 9? 3333 2 1333 x 2333 10 6 + 2 3 65 2 64 2 a) Nenhuma. b) Uma. c) Duas. d) Três. e) Quatro. 11. Considere um triângulo ABC cujos lados medem AB = 5 cm, BC = 6 cm e AC = 7 cm. Duas formigas partem, simultaneamente, do ponto A e percorrem, a uma mesma velocidade, o contorno do triângulo em direções opostas. Encontram-se num ponto D. Qual é o comprimento do segmento BD? a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. 12. Dois losangos iguais se intersectam, conforme a figura a seguir, determinando um octógono regular. Qual a medida dos ângulos agudos desses losangos? a) 30. b) 36. c) 37 30. d) 40. e) 45. 13. Qual a maior potência de 3 que divide o produto 9 99 999 9999 99999 999999? 14. Aumentando-se o comprimento de cada um dos dois lados opostos de um quadrado em 10% e diminuindo-se o comprimento de cada um dos outros dois em 10%, obtém-se um retângulo. A área desse retângulo, comparada com a área do quadrado inicial é: a) a mesma. b) 10% maior. c) 1% maior. d) 10% menor. e) 1% menor. 15. Com 40 canos de 2, 4 ou 6 metros de comprimento, Chico das Contas construiu um sistema de irrigação para a horta de seu tio. Sabendo que Chico usou o mesmo número de canos de 2 metros e de 6 metros, conclui-se que o comprimento total do sistema de irrigação é: a) 80 m. b) 100 m. c) 160 m. d) 240 m. e) 280 m. 16. Dez alunos de uma escola de dança participam de um concurso em que a nota máxima é 100. Se a média das 10 notas é 92, qual a menor nota possível? a) 0. b) 20. c) 40. d) 90. e) 92. 17. Para o festival de música do Conservatório onde estuda Zé da Álgebra, as entradas de três adultos e duas crianças custam R$ 26,00 e as entradas de dois adultos e três crianças custam R$24,00. A família de Zé da Álgebra deseja assistir ao festival. Quanto vão gastar com as entradas para os pais, seus três tios (adultos) e cinco primos (crianças)? a) R$ 100,00. b) R$ 72,00. c) R$ 52,00. d) R$ 50,00. e) R$ 48,00. a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. e) 16. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 4
18. Chico das Contas diverte-se praticando jogo de dardos num alvo como o da figura. Nesse jogo, a pontuação é inversamente proporcional à área de cada região. Chico acertou a região R e marcou 10 pontos. Quantos pontos ele conseguirá se acertar a região M? 22. Ana Lítica desenha dois triângulos equiláteros sobre os lados com medidas iguais de um triângulo isósceles obtendo assim um pentágono, como ilustra a figura. Sabendo que o perímetro do triângulo isósceles é 18 cm e o perímetro do pentágono é 32 cm, assinale a alternativa que contém o perímetro de um dos triângulos equiláteros. a) 5. b) 8. c) 16. d) 20. e) 24. 19. Os bombons preferidos de Ana Lítica são vendidos apenas em caixas com 30 ou 59 unidades. Se Ana Lítica pretende comprar 2014 bombons, quantas caixas, no mínimo, terá que comprar? a) 42. b) 41. c) 39. d) 32. e) 31. 20. Três dos quatro lados de um quadrilátero medem 1 cm, conforme ilustra a figura a seguir. Qual a medida x do ângulo assinalado? a) 28 cm. b) 25 cm. c) 24 cm. d) 21 cm. e) 20 cm. 23. O irmão de Chico das Contas pensou ter descoberto a seguinte propriedade: se um número n é primo, então 2n + 1 também é primo. Chico usou um dos números a seguir para mostrar a seu irmão que a propriedade não é verdadeira. Qual deles? a) 3. b) 5. c) 7. d) 11. e) 23. 24. Na figura a seguir, O é o centro da circunferência e a medida do segmento AB é a mesma medida do raio da circunferência. Se α = 25 então β é igual a: a) 90. b) 120. c) 135. d) 137,5. e) 140. 21. Maicom Binatória mediu todos os ângulos de dois triângulos, um obtusângulo e outro acutângulo, no entanto, ele se lembra apenas de quatro dessas medidas: 120, 80, 55 e 10. Qual é a medida do menor ângulo do triângulo acutângulo? a) 5. b) 10. c) 15. d) 45. e) 55. a) 65. b) 70. c) 75. d) 80. e) 85. 25. Existem apenas dois números de dois algarismos que são o triplo do produto de seus algarismos. O produto desses dois números é: a) 300. b) 360. c) 420. d) 540. e) 288. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 5