TEOREMA DE EXISTÊNCIA PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E PROPRIEDADES QUALITATIVAS

MARIANA MOREIRA GONÇALVES SANTOS TEOREMA DE EXISTÊNCIA PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E PROPRIEDADES QUALITATIVAS Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como exigência para obtenção do título de licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Alfenas. Área de concentração: Equações Diferenciais Ordinárias. Orientador: Prof. Dr. José Paulo Carvalho dos Santos. ALFENAS, MG 2010

MARIANA MOREIRA GONÇALVES SANTOS TEOREMA DE EXISTÊNCIA PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E PROPRIEDADES QUALITATIVAS A banca examinadora abaixo-assinada, aprova o trabalho de conclusão de curso apresentado como parte dos requisitos para obtenção do certificado de conclusão do curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal de Alfenas. Aprovado em: de de 2010. Prof. Dr. José Paulo Carvalho dos Santos Universidade Federal de Alfenas Orientador Prof a. Ms. Angela Leite Moreno Universidade Federal de Alfenas Prof a. Ms. Luciana Borges Goecking Universidade Federal de Alfenas Prof. Dr. Aldício José Miranda Universidade Federal de Alfenas Suplente

AGRADECIMENTOS À Universidade Federal de Alfenas por ter me proporcionado a realização de um sonho, que era cursar Matemática. Ao Professor Doutor José Paulo Carvalho Santos, orientador deste trabalho, mas acima de tudo amigo, que esteve presente em muitos momentos difíceis, apoiando e incentivando, cujos os conselhos em muito me ajudaram. Também o meu obrigado aos meus professores na UNIFAL que deram enorme contribuição à minha formação e pelo incentivo. À Climene, minha eterna professora, ao professor José Paulo Neder pelo incentivo e a todos os meus amigos. À minha família, pelo apoio incondicional. À Dona Elvira, ao Senhor João e ao João Leandro, pelo carinho, paciência e enorme ajuda. Principalmente a Deus, pois sem Ele não seríamos alunos, nem professores. Simplesmente não seríamos.

Muito se fala sobre problemas em cursos de matemática. Muito pouco se diz sobre a origem desses problemas e do que fazer com as respostas.[3]

RESUMO O presente trabalho estuda a existência de soluções de sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias no plano e as propriedades qualitativas desses sistemas. Para isso, é necessário o estudo do Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais ordinárias e suas consequências, a fim de utilizar a forma geral das soluções dessas equações no estudo qualitativo. Além disso, esse trabalho também trata da estabilidade de Sistemas Lineares Autônomos e de Sistemas Lineares Perturbados, ou seja, trata do estudo do comportamento das soluções desses sistemas quando o tempo tende ao infinito. Como aplicação, estudamos o caso da competição entre duas espécies, utilizando a teoria qualitativa. A metodologia utilizada é basicamente a pesquisa e estudo do assunto, em livros, revistas, entre outros. Além de ser uma ferramenta para a resolução de problemas em diversas áreas do conhecimento, esse estudo tem como objetivo propiciar maior fundamentação na formação acadêmica, complementando os estudos iniciados na disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias. Palavras chave: Sistemas de Equações Diferenciais. Existência e Unicidade de Soluções. Propriedades Qualitativas.

ABSTRACT The present work studies the existence of solutions of lineal systems of ordinary differential equations in the plan and the qualitative properties of those systems. For that, it is necessary the study of the Existence and Unicity Theorem for ordinary differentiate equations and your consequences, in order to use the general form of the solutions of those equations in the qualitative study. Besides, this work also treats of the stability of Autonomous Lineal Systems and of Disturbed Lineal Systems, in other words, the study of the behavior of the solutions of these systems when the limit tends to the infinite. As application, we studies the case of the competition among two species, using the qualitative theory. The used methodology is basically the research and study of the subject, in books, magazines, among others. Besides being a tool for the resolution of problems in several areas of the knowledge, that study has as objective propitiates larger base in the academic formation, complementing the initiate studies in the discipline of Ordinary Differentiate Equations. Words key: Differential Equations of Systems. Existence and Unicity of Solutions. Qualitative properties.

Sumário INTRODUÇÃO 8 1 REVISÃO DE LITERATURA 10 2 PRELIMINARES 12 2.1 Introdução às Equações Diferenciais de Primeira Ordem........... 15 2.2 Sistemas Autônomos.............................. 20 3 SISTEMAS LINEARES 23 3.1 Matriz Fundamental.............................. 30 3.2 Resolução de Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes........ 34 3.3 Diagrama de Fase para Sistemas Lineares Autônomos no Plano...... 43 4 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÃO 50 4.1 Perturbação de Sistemas Lineares....................... 55 4.2 Aplicação em Biomatemática......................... 57 CONCLUSÃO 64 REFERÊNCIAS 65

SUMÁRIO 8 INTRODUÇÃO Uma equação diferencial ordinária é uma equação da forma F (t, x, dx,..., dm x) = 0, dt dt m segundo [7], onde a incógnita x é uma função de uma variável. Durante anos, muitos matemáticos se esforçaram para resolver diversos tipos particulares de equações. Por isso, há vários métodos de solução, o que funciona para um tipo de equação não se aplica necessariamente a outro [9]. Para equações diferenciais mais gerais, nem sempre é possível expressar a solução em termos de funções elementares. Assim, com o desenvolvimento da Análise passou-se a considerar como soluções funções que pudessem ser expressas de maneiras mais gerais, por exemplo, funções definidas por integrais ou por séries de potências que podem ser estimadas por métodos numéricos, o que para aplicação em problemas práticos é mais do que suficiente. Ao longo dos anos houve também uma tentativa de algebrização do problema através da Transformada de Laplace. O único inconveniente é que tal processo cai no problema de achar raízes de polinômios de grau muitas vezes superior a cinco. Para alguns tipos de Equações, mesmo que se consiga uma expressão para solução, fica às vezes difícil obter informações. No final do século XIX, introduzida por Poincaré, de acordo com [7], ocorreu o desenvolvimento da teoria qualitativa de equações diferenciais ordinárias. Até então, buscavam-se fórmulas que permitissem realizar previsões precisas, através de integração analítica das equações. Poincaré percebeu que as propriedades qualitativas das soluções podiam ser investigadas, sem que tais soluções precisassem ser determinadas explicitamente. Assim, em vez de procurar fórmulas, ele partiu para uma abordagem qualitativa, utilizando técnicas geométricas e topológicas, segundo [6]. Nessa perspectiva não se insiste na obtenção de expressões exatas para as soluções dos problemas. A ênfase é em se obter, antes, propriedades das soluções retirando-as através de uma análise das equações, de acordo com [3]. Uma equação diferencial não tem necessariamente uma solução, e mesmo que possua, nem sempre é possível exibi-la. Reconhecida a impossibilidade de resolver a maior parte das equações em forma explícita, pôs-se a questão de saber se o problema sob estudo tinha solução ou não. Chegou-se assim, às questões de existência de soluções de um problema, sem aquela preocupação de exibir a solução, conforme [3]. O Teorema de Existência e Unicidade de Picard, segundo [7], foi proposto com essa finalidade. O objetivo desse trabalho é o estudo do Teorema de Existência e Unicidade de solução para Equações e Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias com Condições Iniciais, e o Estudo da Teoria Qualitativa de Equações e Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias, dada sua importância e aplicabilidade em várias ciências, além de ferramenta em diversas áreas. Esse estudo propiciou maior fundamentação na formação acadêmica, complementando os estudos iniciados na disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias. Este trabalho está dividido em quatro capítulos, sendo que o primeiro deles está a revisão de literatura. No segundo capítulo apresentamos algumas definições, como a norma de vetores e matrizes, integral de uma função vetorial, funções Lipschitzianas, além de uma introdução às Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem, inclusive o Teorema de Existência e Unicidade para soluções destas e a definição de sistemas autônomos. Todos esses resultados serão úteis no decorrer do texto. No capítulo três estão a definição e alguns resultados referentes a sistemas lineares

SUMÁRIO 9 de Equações Diferenciais Ordinárias, juntamente com o diagrama de fase para sistemas autônomos. Finalmente, no quarto capítulo, apresentamos o conceito de estabilidade de sistemas lineares e também o exemplo de uma aplicação.

1 REVISÃO DE LITERATURA 10 1 REVISÃO DE LITERATURA Equações Diferenciais é o suporte matemático para muitas áreas da ciência e da engenharia. Muitas leis gerais da Física, Biologia e Economia são expressas naturalmente por estas equações, conforme [7]. As equações diferenciais surgiram a partir da tentativa de formular, ou descrever, certos sistemas físicos em termos matemáticos, [9]. O estudo das equações diferenciais teve início com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral descobertos por Newton e Leibniz, no fim do século XVII. Ainda que Newton tenha atuado pouco na área de equações diferenciais, seu desenvolvimento do cálculo e a compreensão dos princípios básicos da mecânica forneceram a base para a aplicação das equações diferenciais no século XVIII, especialmente por Euler. Os irmãos Jakob e Johann Bernoulli fizeram muito sobre o desenvolvimento de métodos para resolver equações diferenciais e para ampliar o campo de suas aplicações. Ambos contribuíram significativamente em diversas áreas da matemática. Com a ajuda do cálculo, resolveram diversos problemas em mecânica, formulando-os como equações diferenciais, de acordo com [2]. Taylor, em seus estudos, introduziu o uso de séries na resolução de equações diferenciais. Esta técnica desenvolvida por ele também foi usada em outros problemas por alguns matemáticos. No início do século XVIII, Taylor, dentre outros matemáticos, conseguiram acumular muitos conhecimentos a cerca de equações diferenciais, no entanto, ainda eram insuficientes uma vez que muitas dessas equações não possuíam soluções e não eram conhecidas suas propriedades. Eram muitas descobertas em casos particulares, mas não havia uma teoria geral, até então. Foi nesse contexto que Leonard Euler, o maior matemático do século XVIII, segundo [2], aplicando seu vasto conhecimento sobre funções, contribuiu para um grande avanço nesse estudo. Ele foi o matemático mais produtivo de todos os tempos: são mais de setenta volumes. Seus interesses incluíam todas as áreas da matemática e muitos campos de aplicação. Ele identificou a condição para que as equações diferenciais de primeira ordem sejam exatas, desenvolveu a teoria de fatores integrantes no mesmo artigo e encontrou a solução geral para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes. Estendeu esse último resultado para equações não homogêneas. Em torno de 1750, Euler usou, com frequência, séries de potências para resolver equações diferenciais. Propôs também, um procedimento numérico, fez contribuições importantes em equações diferenciais parciais e deu o primeiro tratamento sistemático do cálculo de variações. Um assunto até então fragmentado, tornou-se coeso e central ao desenvolvimento da matemática aplicada moderna. Lagrange desenvolveu completamente o método de variação dos parâmetros e estendeu alguns resultados em mecânica, especialmente equações de movimento e energia potencial. Ele contribuiu na definição de funções e propriedades, o que contribuiu para a generalização de alguns métodos usados para casos específicos e para a análise de novas famílias de equações diferenciais. Ele também introduziu equações gerais de movimentos para sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como Equação de Lagrange. Progressos também ocorreram com os estudos de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar. A transformada de Laplace recebeu o nome em sua homenagem. Também a equação de Laplace é fundamental em muitos ramos da física, como a astronomia, a eletrostática e a mecânica de fluídos e Laplace a estudou extensamente junto com atração gravitacional, [2]. No século XIX, a preocupação deixou de ser os métodos para a resolução de equações diferenciais, uma vez que muitos destes já tinham sido descobertos. A atenção se voltou

1 REVISÃO DE LITERATURA 11 para questões mais teóricas como existência e unicidade, assim como o desenvolvimento de métodos menos elementares residentes no plano complexo. Por sua grande importância em física e matemática, as equações diferenciais parciais também começaram a ser estudadas. Com isso, muitas funções, soluções de certas equações diferenciais ordinárias começaram a aparecer em várias situações diferentes. Conhecidas como funções transcendentais, muitas delas estão associadas a nomes de matemáticos, incluindo Bessel, Legendre, Hermite, Chebyshev e Hankel, entre outros. Apesar de descobertos inúmeros métodos analíticos, algumas soluções ainda permaneciam sem solução, foi o que motivou estudos de investigação de métodos de aproximação numérica. Em 1900, o problema não eram os métodos, pois haviam sido desenvolvidos métodos eficientes de integração numérica, mas sim os cálculos cansativos, ainda feitos à mão ou em equipamentos computacionais ainda primitivos. O que veio a ser solucionado nos últimos cinquenta anos, com o desenvolvimento da tecnologia computacional. Isso contribuiu para a investigação de inúmeros problemas utilizando métodos numéricos. Até o final do século XIX, buscavam-se fórmulas que permitissem realizar previsões precisas, através de integração analítica das equações. Poincaré percebeu que as propriedades qualitativas das soluções podiam ser investigadas, sem que tais soluções precisassem ser determinadas explicitamente. Assim, em vez de procurar fórmulas, ele partiu para uma abordagem qualitativa, utilizando técnicas geométricas e topológicas. Seu trabalho é o primeiro sobre teria qualitativa de sistemas dinâmicos. Ele revitalizou o modo de se lidar com equações diferenciais não lineares [6]. Nos últimos anos, computadores e, especialmente computação gráfica trouxeram uma nova motivação ao estudo de sistemas de equações diferenciais não lineares. Embora seja um assunto antigo sobre o qual muito se sabe, as equações diferenciais, em pleno século XXI, continuam uma fonte fértil de problemas fascinantes e importantes ainda não resolvidos [2].

2 PRELIMINARES 12 2 PRELIMINARES Este capítulo contém uma coletânea de resultados de equações diferenciais ordinárias e outros conceitos que serão utilizados nos capítulos subsequentes. A bibliografia utilizada neste capítulo é basicamente [4] e [5]. A norma de um vetor x = (x 1, x 2,..., x n ) R n é definida por x = x 1 + x 2 +... + x n. É fácil ver que as seguintes propriedades são válidas. x 0, x = 0 x = 0, αx = α x, x + y x + y. A norma da matriz A = (a ij ) i,j=1,...,n é definida por n A = a i,j, i,j=1 onde são verdadeiras as propriedades seguintes. Ax A x, AB A B, A + B A + B. Definição 2.1 Seja I R um intervalo aberto. Dadas n funções escalares x j : I R, j = 1,..., n, definimos a função vetorial x : I R por x(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), t I. (1) Reciprocamente, cada função vetorial x : I R determina n funções escalares x j : I R, j = 1,..., n, de modo que a relação (1) está satisfeita. As funções x j são as coordenadas da função vetorial x. As funções vetoriais têm uma interpretação geométrica interessante, quando t varia em I, o vetor x(t) descreve uma curva Γ em R n. Uma função vetorial x(t) tem limite L = (l 1,..., l n ) em um ponto t 0 I quando lim x(t) L = 0 (observe que x(t) L é um número real), o que é equivalente a t t 0

2 PRELIMINARES 13 lim x j (t) = l j, j = 1,..., n. A derivada de uma função vetorial x em um ponto t 0 é t t 0 definida por x x(t 0 + h) x(t 0 ) (t 0 ) = lim, h 0 h desde que o limite exista. As derivadas de ordem superior x (m) (t 0 ) são definidas indutivamente. É fácil verificar que x (m) (t 0 ) = (x (m) 1 (t 0 ),..., x (m) n (t 0 )). De acordo com a interpretação geométrica, o vetor x (t 0 ) é um vetor tangente à curva Γ no ponto P = x(t 0 ), observe a Figura 1. Figura 1: Derivada de uma função vetorial Do mesmo modo, definimos as noções de derivada para funções com valores matriciais. Basta notar que uma matriz n n pode ser identificada com um vetor em R nn (caso ela seja real) ou C nn (caso ela seja complexa). São verdadeiras as seguintes propriedades relativas ao produto de funções matriciais e vetoriais (A(t)y(t)) = A (t)y(t) + A(t)y (t), (A(t)B(t)) = A (t)b(t) + A(t)B (t). Definição 2.2 Se cada uma das funções coordenadas x j (t) for integrável em um intervalo [a, b] I, definimos b a ( b x(t)dt = x 1 (t)dt,..., a b a ) x n (t)dt. Uma desigualdade que será usada frequentemente é b a b x(t)dt x(t) dt. a

2 PRELIMINARES 14 Definição 2.3 Seja f : A R n+1. Diremos que f(t, y) é lipschitziana relativamente a y em B A se existir uma constante L > 0 tal que f(t, y 1 ) f(t, y 2 ) L y 1 y 2, (t, y 1 ), (t, y 2 ) B. Diremos que f(t, y) é localmente lipschitziana relativamente a y quando f(t, y) for lipschitiziana em uma vizinhança de cada (t 0, y 0 ) A. Exemplo 2.1 A função f(t, y) = 2y sin t é lipschitziana, pois f(t, y 2 ) f(t, y 1 ) = 2 sin t y 2 y 1 2 y 2 y 1. Teorema 2.1 (Desigualdade de Gronwall) Sejam α > 0 uma constante e u, v funções contínuas não negativas no intervalo [a, b] satisfazendo u(t) α + a u(s)v(s)ds, para a t b. Então u(t) αe a v(s)ds, para a t b. Demonstração: Seja R(t) = α + u(s)v(s)ds. Então, por hipótese, R(a) = α, a u(t) R(t). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos R (t) = u(t)v(t) R(t)v(t). Multiplicando essa desigualdade por e a v(s)ds e notando que R (t)e ( v(s)ds) a R(t)v(t)e ( v(s)ds) a = d [R(t)e ( v(s)ds)] a dt obtemos Integrando de a até t, obtemos Agora, como R(a) = α e u(t) R(t), temos d [R(t)e ( v(s)ds)] a 0. dt R(t)e ( a v(s)ds) R(a) 0. u(t) R(t) αe ( a v(s)ds).

2 PRELIMINARES 15 Teorema 2.2 (Teste de Weierstrass) Dada a sequência de funções f n : X R, seja an uma série convergente de números reais a n > 0 tais que f n (x) < a n para todo n N e todo x X. Nestas condições, as séries f n e f n são uniformemente convergentes. 2.1 Introdução às Equações Diferenciais de Primeira Ordem Seja D R n+1 um aberto e seja f : D R n uma função contínua em A. Uma relação da forma y = f(t, y(t)), (2) ou simplesmente y = f(t, y) é chamada uma equação diferencial ordinária. Uma função vetorial y : I R n, definida em algum intervalo I R tal que (t, y(t)) A, para todo t I e que satisfaz (2) em I é chamada uma solução de (2) em I. Quando n = 1, a equação diferencial (2) é dita escalar. Para um n > 1 qualquer, a equação diferencial (2) é, na verdade, um sistema de equações diferenciais escalares, pois, se y = (y 1,..., y n ), f(t, y) = (f 1 (t, y 1,..., y n ),..., f n (t, y 1,..., y n )), temos portanto y 1 = f 1 (t, y 1,..., y n ),. y n = f n (t, y 1,..., y n ). (3) Equações da forma (2) (ou equivalentemente, (3)) contém uma grande classe de equações diferenciais. Por exemplo, a equação escalar de segunda ordem pode ser escrita na forma (3), fazendo y 1 = ( z, ) y 2 = z, y1 y =, f(t, y) = y 2 z = g(t, z, z ) (4) ( ) ( f1 (t, y 1, y 2 ) = f 2 (t, y 1, y 2 ) y 2 g(t, y 1, y 2 ) Assim podemos escrever a equação (4) como o seguinte sistema de duas equações de primeira ordem ). y 1 = y 2 y 2 = g(t, y 1, y 2 ).

2 PRELIMINARES 16 Observe que o procedimento acima se aplica a um sistema qualquer de equações diferenciais ordinárias. O exemplo a seguir mostra que o problema de valor inicial pode ter mais de uma solução. Exemplo 2.2 Consideremos o PVI y = 2 y (5) y(0) = 0. A função φ(t) 0 é solução de (5). Além disso, para cada a > 0, a função 0, se t < a φ a (t) = (t a) 2, se t > a é solução desse PVI. Figura 2: Gráfico solução do PVI (5). O próximo lema será útil na demonstração do Teorema (2.3), que trata da existência e unicidade de solução de uma equação diferencial ordinária. Lema 2.1 Suponhamos f contínua em D. Uma função contínua y(t) é uma solução de (2) tal que y(t 0 ) = y 0 no intervalo [t 0 α, t 0 + α] se, e somente se, y(t) satisfaz y(t) = y 0 + t 0 (f(s, y(s))ds, t [t 0 α, t 0 + α]. (6) Demonstração: Suponhamos que y seja uma solução de (2) tal que y(t 0 ) = y 0. Então, integrando de t 0 a t (t 0 α t t 0 + α), obtemos: y (s)ds = (f(s, y(s))ds y(t) y(t 0 ) = (f(s, y(s))ds, t 0 t 0 t 0

2 PRELIMINARES 17 donde, substituindo y(t 0 ) = y(0), obtemos (6). Reciprocamente, suponhamos que y seja uma função contínua satisfazendo (6). Então f(s, y(s)) é contínua para t 0 α s t 0 +α. Agora, sendo y dada como integral indefinida de uma função contínua, segue-se que y é de classe C 1, e podemos derivar (6) e obter y (t) = f(t, y(t)). Considerando t = t 0 e, por (6), obtemos y(t 0 ) = y 0. Isto conclui a demonstração. Teorema 2.3 Suponhamos que a função f(t, y) seja contínua e localmente Lipschitziana relativamente a y em D. Então, dado (t 0, y 0 ) D, existe uma única solução y = φ(t) de (2) satisfazendo a condição inicial y(t 0 ) = y 0. A solução existe em qualquer intervalo I contendo t 0 para o qual os pontos (t, φ(t)), com t I, permanecem em D. Além disso, a solução φ é uma função contínua f(t 0, y 0 ). Demonstração: Tomemos a, b > 0 de modo que o retângulo R = {(t, y) : t t 0 a, y y 0 b} esteja contido em D. Como R é compacto, existe m > 0 tal que f(t, y) m, (t, y) R. Seja L > 0 uma constante de Lipschitiz de f no conjunto R, isto é, f(t, y 1 ) f(t, y 2 ) L y 1 y 2, (t, y 1 ), (t, y 2 ) R. Tomemos o número d = min{a, b m } > 0 e o intervalo I = [t 0 d, t 0 + d]. Consideremos a sequência y n : n = 0, 1, 2,..., em que as funções y n : I R n, n = 0, 1, 2,..., chamadas aproximações sucessivas, definidas do seguinte modo y 0 (t) y 0, t I y 1 (t) = y 0 +. y n+1 (t) = y 0 + t 0 f(s, y 0 (s))ds, t I t 0 f(s, y n (s))ds, t I (7) Afirmação: As aproximações sucessivas y n são funções contínuas em I e satisfazem y n (t) y 0 b, t I, n 0, (8) y n (t) y n 1 (t) m (Ld) n, L n! t I, n 1. (9)

2 PRELIMINARES 18 Vamos mostrar (8). Usando indução sobre n, temos y 1 (t) y 0 f(s, y 0 (s)) ds m t t t o }{{} 0. Suponhamos que y n (t) y 0 b, para todo t I : de (7) temos y n+1 (t) y 0 m f(s, y n (s)) ds m t t t o }{{} 0 b, t I. m Vamos mostrar agora (9). Para simplificar a notação, analisaremos o caso t t 0, uma vez que o caso em que t t 0 é análogo. Novamente usaremos indução sobre n: Temos também y 1 (t) y 0 t o f(s, y 1 (s))ds m t t 0. y 2 (t) y 1 (t) t o f(s, y 1 (s)) f(s, y 0 ) ds L t o y 1 (s) y 0 (t) ds ml t 0 s t 0 ds ml t t 0 2 2! Analogamente, para n 2, usando a hipótese de indução, temos Portanto, y n (t) y n 1 (t) m (L t t 0 ) n L n! m (L t t 0 ) 2. L 2! y n+1 (t) y n (t) t o f(s, y n (s)) f(s, y n 1 ) ds L t o y n (s) y n 1 ds m L m L m L L n+1 t n! 0 s t 0 n ds (L t t 0 ) n+1 n!(n + 1)! (L t t 0 ) n+1. (n + 1)! Pelo Princípio de Indução, a desigualdade (9) é válida para todo inteiro positivo n. Agora,

2 PRELIMINARES 19 observemos que a sequência {y n } e a série y 0 + [y n (t) y n 1 (t)] (10) n=1 são ambas convergentes ou ambas divergentes, pois o termo geral y n (t) da série é Como a série y n (t) = y 0 + [y 1 (t) y 0 ] +... + [y n (t) y n 1 (t)] = y n (t). n=1 m (L t t 0 ) n L n! é convergente, a desigualdade (9) e o critério de Convergência de Weierstrass implicam que a série (10) converge uniformemente no intervalo I para uma função contínua y(t). Portanto y n (t) y(t), uniformemente em I. A desigualdade f(t, y n (t)) f(t, y(t)) L y n (t) y(t) implica que f(t, y n (t)) f(t, y(t)) uniformemente em I. Fazendo n em (7), obtemos y(t) = y 0 + t 0 f(s, y(s))ds. Pelo Lema (2.1), y(t) é solução do PVI: y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0. Para demonstrar a unicidade e a continuidade relativamente às condições iniciais, vamos usar a Desigualdade de Gronwall. Consideraremos apenas t t 0, uma vez que o outro caso é análogo. Sejam y(t) e z(t) as soluções de (2) no intervalo [t 0, t 0 + a] tais que y(t 0 ) = y 0 e z(t 0 ) = z 0, respectivamente. Pelo Lema (2.1), então y(t) = y 0 + z(t) = z 0 + y(t) z(t) y 0 z 0 + t 0 f(s, y(s))ds, t 0 t t 0 + a, t 0 f(s, z(s))ds, t 0 t t 0 + a, t 0 f(s, y(s)) f(s, z(s)) ds, t 0 t t 0 + a. Como f é Lipschitziana, f(s, y(s) f(s, z(s)) L y(s) z(s), temos y(t) z(t) y 0 z 0 + t 0 L y(s) z(s) ds, t 0 t t 0 + a.

2 PRELIMINARES 20 Usando a desigualdade de Gronwall, com u(t) = y(t) z(t), α = y 0 z 0, v(t) = L, temos t y(t) z(t) y 0 z 0 e Lds 0 y 0 z 0 e L(t t0) y 0 z 0 e La, ou seja, y(t) z(t) y 0 z 0 e La. (11) A unicidade é consequência direta da desigualdade (11), ou seja, se y 0 = z 0, o segundo membro dessa desigualdade é nulo e, portanto, temos y(t) = z(t), t [t 0, t 0 + A]. Para mostrar a continuidade com relação às condições iniciais, notemos que a desigualdade (11) implica que, se y 0 z 0 < e La, então y(t) z(t) < ε, para t [t 0, t 0 + A]. 2.2 Sistemas Autônomos Consideremos a equação diferencial y = f(y), (12) em que f : R n R n é de classe C 1. Uma equação dessa natureza, em que f não depende explicitamente de t é dita autônoma. O conjunto R n é chamado de espaço de fase de (12). Se y(t) é uma solução de (12) no intervalo I, a curva descrita parametricamente por y(t), t I, chama-se órbita dessa solução. Qualquer ponto y 0 R n tal que f(y 0 ) = 0 chama-se ponto de equilíbrio, ponto singular, ou ainda singularidade de (12). Vemos que, se y 0 é um ponto de equilíbrio de (12), então y(t) y 0 é uma solução dessa equação. Podemos notar que os pontos de equilíbrio são as soluções mais simples de (12). O nosso objetivo é dar uma descrição completa, tanto quanto possível, do espaço de fase, descrevendo os pontos de equilíbrio de (12) e as órbitas com a orientação dada pelo sentido de t crescente. Quando isso é feito, a figura obtida chama-se diagrama (ou retrato) de fase de (12). No capítulo 3 faremos esse estudo e, para dar essa descrição, na maior parte do tempo trabalharemos em R 2. Um resultado importante das equações autônomas é o teorema a seguir. Teorema 2.4 Se x(t) for uma solução da equação (12) no intervalo (a, b) e t 1 for um número real qualquer, então a função y(t) = x(t + t 1 ) é solução de (12) no intervalo (a t 1, b t 1 ). Demonstração: Temos y (t) = x (t + t 1 ) = f(x(t + t 1 )) = f(y(t)). Uma consequência imediata do Teorema (2.4) é que, se x(t) é uma solução do PVI y = f(y) y(t 0 ) = y 0,

2 PRELIMINARES 21 então, para qualquer t 0 R, a função y(t) = x(t t 0 ) é solução do PVI y = f(y) y(t 0 ) = y 0. Teorema 2.5 Para cada y 0 R n, existirá uma única órbita passando por y 0. No caso de y 0 ser um ponto de equilíbrio, essa órbita será o próprio ponto. Demonstração: Seja y 0 R n. Pelo Teorema (2.3), existe uma única solução y(t) de (12) tal que y(0) = y 0, portanto existe uma órbita passando por y 0. Suponhamos que γ 1 e γ 2 sejam órbitas passando por y 0 e sejam y 1 (t), y 2 (t) soluções de (12) que dão origem a γ 1 e γ 2, respectivamente. Existem t 1, t 2 R tais que y 1 (t 1 ) = y 0 e y 2 (t 2 ) = y 0. A função z(t) = y 1 (t + t 1 t 2 ) é uma solução de (12) que representa γ 1. Como, para t = t 2, temos z(t 2 ) = y 1 (t 1 ) = y 0 = y 2 (t 2 ), a unicidade de solução implica que z(t) = y 2 (t), t, ou seja, y(t) representa γ 2. Logo, γ 1 = γ 2. Uma outra consequência interessante do Teorema 2.4 é a seguinte: Corolário 2.1 Nenhuma órbita de (12) pode se auto-interceptar, a menos que seja periódica. Demosntração: Seja γ uma órbita de (12) e seja y(t) uma solução que representa γ. Suponhamos que existam t 1, t 2 tais que y(t 1 ) = y(t 2 ). Pelo Teorema (2.4), a função z(t) = y(t + t 1 t 2 ) é solução da equação (12). Como z(t 2 ) = y(t 2 + t 1 t 2 ) = y(t 1 ), a unicidade de solução do PVI implica que z(t) = y(t), para todo t, ou seja, y(t + t 1 t 2 ) = y(t), t. Logo, y(t) é uma função periódica e o número T = t 1 t 2 é um período de y(t).

2 PRELIMINARES 22 Corolário 2.2 Se uma órbita de (12) tende a um ponto v R n, então v é um ponto de equilíbrio. Demonstração: Suponhamos que y(t) v, quando t. Como f é contínua, temos f(y(t)) f(v), quando t. Escrevendo y(t) = (y 1 (t),..., y n (t)) e v = (v 1,..., v n ), temos y j (t) v j para cada j = 1,..., n. Pelo Teorema do Valor Médio, para cada t R, existe t [t, t + 1] tal que y j (t + 1) y j (t) = y j(t j). Como y j (t) v j, y j (t + 1) v j, t, segue que, para cada j = 1,..., n, y j(t j) = y j (t + 1) y j (t) v j v j = 0, t. Assim, para cada j = 1,..., n, temos f j (y 1 (t j),..., y n (t j) = y j(t j) 0, t. (13) Por outro lado, como cada f j é contínua e (y 1 (t j,..., y n (t j))) v (notemos que t j +, pois t t j t + 1), segue que f j (y 1 (t j),..., y n (t j) f j (v), t. (14) De (13) e (14), temos que f(v) = 0. Logo v é ponto de equilíbrio.

3 SISTEMAS LINEARES 23 3 SISTEMAS LINEARES Neste capítulo estudaremos uma classe especial de sistemas de equações diferenciais ordinárias. Baseado em [9] e [4]. Se X, A(t) e F(t) denotam, respectivamente, as matrizes x 1 (t) x 2 (t) X =., A(t) = x n (t) a 11 (t) a 12 (t) a 1n (t) a 21 (t) a 22 (t) a 2n (t)...... a n1 (t) a n2 (t) a nn (t) f 1 (t), F(t) = f 2 (t)., f n (t) então o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem dx 1 dt = a 11(t)x 1 + a 12 (t)x 2 +... + a 1n (t)x n + f 1 (t), dx 2 dt = a 21(t)x 1 + a 22 (t)x 2 +... + a 2n (t)x n + f 2 (t),... dx n = a n1 (t)x 1 + a n2 (t)x 2 +... + a nn (t)x n + f n (t), dt pode ser escrito na forma matricial d dt x 1 x 2 x n. = a 11 (t) a 12 (t) a 1n (t) a 21 (t) a 22 (t) a 2n (t)...... a n1 (t) a n2 (t) a nn (t) x 1 f 1 (t) x 2. + f 2 (t). f n (t) x n ou simplesmente dx dt = A(t)X + F(t). (15) Se o sistema for homogêneo, a equação (15) pode ser escrita dx dt = A(t)X. (16) As equações (15) e (16) também se escrevem como X = AX + F e X = AX, respectivamente. Definição 3.1 Um vetor solução do sistema (15) em um intervalo I é qualquer matriz

3 SISTEMAS LINEARES 24 coluna com n elementos x 1 (t) x X = 2 (t). x n (t) cujos elementos são funções escalares diferenciáveis que verificam o sistema (15) no intervalo I. Grande parte da teoria dos sistemas de n equações diferenciais lineares de primeira ordem é análoga à teoria das equações diferenciais lineares de ordem n. Problemas de Valor Inicial na Forma Matricial Seja t 0 um ponto no intervalo I e x 1 (t 0 ) γ 1 x 2 (t 0 ) X(t 0 ) =. e X γ 2 0 =., x n (t 0 ) onde os γ i, i = 1, 2,..., n, são constantes dadas a priori. Então o problema é denominado problema de valor inicial no intervalo I. γ n dx dt = A(t)X + F(t) (17) X(t 0 ) = X 0 O próximo Teorema estabelece as condições de existência e unicidade de solução para o sistema (17). Lema 3.1 Sejam α 0 e ϕ, v funções contínuas e não negativas no intervalo [a, b] satisfazendo Então ϕ(t) α + a ϕ(s)v(s)ds, para a t b. ϕ(t) αe a v(s)ds, para a t b. Demontração: Suponhamos inicialmente que α > 0. Seja K(t) = α + a ϕ(s)v(s)ds.

3 SISTEMAS LINEARES 25 Note que K(a) = α e que K(t) α > 0. Derivando, obtemos Portanto Logo K (t) = ϕ(t)v(t) K(t)v(t). s a K (t) K(t) v(t). K (s) K(s) ds a v(s)ds. Fazendo a mudança u = K(s) na primeira integral obtemos K(s) K(a) du u a v(s)ds, logo portanto de onde obtemos ln ( ) K(t) K(a) a v(s)ds, K(t) K(a)e a v(s)ds, ϕ(t) K(t) αe a v(s)ds. Para o caso em que α = 0, utilizamos o caso anterior e fazemos α = ɛ 0 +. Teorema 3.1 Suponhamos que os elementos das matrizes A(t) e F (t) sejam funções contínuas em um intervalo comum I que contenha o ponto t 0. Então existe uma solução única do problema (17) de valor inicial no intervalo. Demontração: Para a demonstração desse resultado vamos utilizar o método das a- proximações sucessivas, definindo a sequência de aplicações X j : I R n, j = 0, 1, 2,... onde X 0 (t) = X 0, X j+1 (t) = X 0 + t 0 (A(s)X j (s) + F (s))ds. Vamos mostrar que para todo t [a, b] I, a sequência de funções X n converge uniformemente para uma solução de dx dt = A(t)X + F(t) X(t 0 ) = X 0. (18)

3 SISTEMAS LINEARES 26 Seja K = sup s [a,b] A(s) e M = sup s [a,b] X 1 (s) X 0 (s). Então X 2 (t) X 1 (t) Por outro lado, t 0 A(s)X 1 (s) A(s)X 0 (s) ds KM t t 0. X 3 (t) X 2 (t) t 0 A(s)X 2 (s) A(s)X 1 (s) ds K2 M 2 t t 0 2. Suponha por indução que Portanto X j (t) X j 1 (t) Kj 1 M (j 1)! t t 0 j 1. X j+1 (t) X j (t) t 0 t A(s)X j (s) A(s)X j 1 (s) ds K Kj 1 M t 0 (j 1)! s t 0 j 1 ds Kj M t t 0 j (j 1)! j Kj M t t 0 j. j! Assim sendo, temos que sup t [a,b] X j+1 (t) X j (t) Kj M (b a) j. j! Como a série K j M j=0 (b a) j é convergente, pelo teste de Weierstrass, temos que a j! série de funções j=0 X j+1 X j converge uniformemente para uma função contínua X : [a, b] R n que satisfaz a equação integral X(t) = X 0 + t 0 (A(s)X(s) + F (s))ds. Portanto X é uma solução do problema linear não homogêneo (18). Resta-nos, então, mostrar a unicidade da solução de (18). Suponhamos que existam duas soluções X 1 e X 2 de (18), portanto X 1 e X 2 satisfazem as equações integrais X 1 (t) = X 0 + t 0 (A(s)X 1 (s) + F (s))ds e X 2 (t) = X 0 + t 0 (A(s)X 2 (s) + F (s))ds.

3 SISTEMAS LINEARES 27 Portanto X 1 (t) X 2 (t) t 0 A(s)(X 1 (s) X 2 (s)) ds Fazendo ϕ(t) = X 1 (t) X 2 (t), obtemos ϕ(t) t 0 Kϕ(s)ds, t 0 K X 1 (s) X 2 (s) ds. t e, pela desigualdade de Gronwal temos que ϕ(t) = 0e Kds 0 o que implica que X 1 (t) X 2 (t) = 0, para todo t [a, b]. Esse fato mostra que X 1 = X 2, o que finaliza a prova. Nas próximas definições e teoremas, admitiremos que os a ij contínuas em t definidas em um intervalo comum I. e as f i sejam funções Teorema 3.2 (Princípio de Superposição) Sejam X 1, X 2,..., X k, um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo (16) em um intervalo I. Então, a combinação linear X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +... + c k X k, onde os c i, i = 1, 2,..., k, são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo I. Demonstração: De fato, como X i, i = 1,..., k são soluções de (16) temos então que X i(t) = AX i(t), i = 1,..., k e t I. Logo (c 1 X 1 + c 2 X 2 +... + c k X k ) = c 1 X 1 + c 2 X 2 +... + c k X k = c 1 AX 1 + c 2 AX 2 +... + c k AX k = A(c 1 X 1 + c 2 X 2 +... + c k X k ). Portanto c 1 X 1 + c 2 X 2 +... + c k X k é solução de (16) o que finaliza a prova. Definição 3.2 Sejam X 1, X 2,..., X k, um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo (16) em um intervalo I. Diremos que o conjunto é linearmente dependente no intervalo se existem constantes c 1, c 2,..., c k, não simultaneamente nulas, tais que c 1 X 1 + c 2 X 2 +... + c k X k = 0

3 SISTEMAS LINEARES 28 para todo t no intervalo. Se o conjunto de vetores não for linearmente dependente no intervalo, dizemos que é linearmente independente. Teorema 3.3 Seja S o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo (16) de ordem n. Então a dimensão de S é igual a n. Demonstração: Seja t 0 I, e seja {e 1,..., e n } a base canônica de R n. Para cada j = 1,..., n indiquemos por X j (t) a única solução do problema de valor inicial dx dt = A(t)X X(t 0 ) = e j. Vamos mostrar que X 1, X 2,..., X n é uma base de S. As funções X 1, X 2,..., X n são linearmente independentes, pois se c 1 X 1 (t) + c 2 X 2 (t) +... + c n X n (t) = 0, para todo t I, então, em particular para t = t 0, obtemos c 1 e 1 + c 2 e 2 +... + c n e n = 0. Mas como os vetores {e 1,..., e n } são linearmente independentes, segue que c 1 =... = c n = 0. Portanto X 1, X 2,..., X n são linearmente independentes. Agora, vamos mostrar que {X 1, X 2,..., X n } gera S. Seja Y (t) uma solução do problema de valor inicial dx dt = A(t)X X(t 0 ) = X 0. (19) Como X 0 R n, existem escalares c 1,..., c n tais que X 0 = c 1 e 1 + c 2 e 2 +... + c n e n. Consideremos a solução Z(t) = c 1 X 1 (t) + c 2 X 2 (t) +... c n X n (t). Pelo Teorema 3.2 e pelo fato que Z(t 0 ) = c 1 X 1 (t 0 ) + c 2 X 2 (t 0 ) +... c n X n (t 0 ) = c 1 e 1 + c 2 e 2 +... + c n e n = X 0 temos que Z é solução de (19). Pelo Teorema 3.1 temos que Y (t) = Z(t) = c 1 X 1 (t) + c 2 X 2 (t) +... c n X n (t). Portanto, qualquer solução do problema de valor inicial pode ser escrita como combinação linear do conjunto linearmente independente {X 1, X 2,..., X n } de S, logo a dimensão de S é igual a n.

3 SISTEMAS LINEARES 29 Definição 3.3 Qualquer conjunto X 1, X 2,..., X n de n vetores solução linearmente independentes do sistema homogêneo (16) em um intervalo I é chamado de conjunto fundamental de soluções. Corolário 3.1 Existe um conjunto fundamental de soluções para o sistema homogêneo (16) no intervalo I. Definição 3.4 Seja X 1, X 2,..., X n, um conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo (16) em um intervalo I. Define-se a solução geral do sistema no intervalo I como X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +... + c n X n, onde os c i, com i = 1, 2,..., n, são constantes arbitrárias. Teorema 3.4 Seja X 1, X 2,..., X n, um conjunto fundamental de vetores solução do sistema homogêneo associado ao sistema não homogêneo (15) em um intervalo I e seja X p um vetor arbitrário solução do sistema não homogêneo (15) no mesmo intervalo. Então, existem constantes c 1, c 2,..., c n tais que toda solução X do sistema não homogêneo (15) pode ser escrita por X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +... + c n X n + X p. Demonstração: É fácil ver que se Y 1, Y 2 são soluções do problema não homogêneo (15), então W = Y 1 Y 2 é uma solução do sistema homogêneo associado. De fato W (t) = Y 1(t) Y 2(t) = A(t)Y 1 (t) + F (t) A(t)Y 2 (t) F (t) = A(t)W (t). Em particular, se Y é uma solução qualquer do problema não homogêneo (15) e X p é uma solução particular conhecida, temos que Y X p é uma solução do problema homogêneo associado. Pelo fato de X 1, X 2,..., X n, ser um conjunto fundamental de vetores solução do sistema homogêneo associado ao sistema não homogêneo (15), existem c 1, c 2,..., c n, tais que Y (t) X p (t) = c 1 X 1 (t) + c 2 X 2 (t) +... c n X n (t), portanto Y (t) = c 1 X 1 (t) + c 2 X 2 (t) +... c n X n (t) + X p (t). Definição 3.5 Seja X p uma solução dada do sistema não homogêneo (15) em um intervalo I. Denotemos por X c = c 1 X 1 + c 2 X 2 +... + c n X n

3 SISTEMAS LINEARES 30 a solução geral, no mesmo intervalo, do sistema homogêneo (16) correspondente ao sistema (15). Define-se por X = X c + X p a solução geral do sistema não homogêneo no intervalo I. A solução geral X c do sistema homogêneo (16) é chamada função complementar do sistema não homogêneo (15). 3.1 Matriz Fundamental Seja {X 1, X 2,..., X n } um conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo (16) definido em um intervalo I, então sua solução geral no intervalo é X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +... + c n X n = c 1 x 11 x 21. x n1 + c 2 x 12 x 22. x n2 +... + c n x 1n x 2n. x nn c 1 x 11 + c 2 x 12 +... + c n x 1n = c 1 x 21 + c 2 x 22 +... + c n x 2n. c 1 x n1 + c 2 x n2 +... + c n x nn (20) Note que (20) pode ser escrita como o produto das matrizes x 11 x 12 x 1n c 1 x 21 x 22 x 2n c 2 X =........ x n1 x n2 x nn c n Somos motivados a formular a seguinte definição: x 11 x Definição 3.6 Sejam X 1 = 21 x, X 2 = 22,..., X n =.. x n1 um conjunto fundamental de n vetores solução do sistema homogêneo (16) definido em um intervalo I. A matriz x 11 x 12 x 1n x Φ(t) = 21 x 22 x 2n...... x n1 x n2 x nn x 12 x n2 x 1n x 2n. x nn

3 SISTEMAS LINEARES 31 é chamada uma matriz fundamental do sistema (16). Exemplo 3.1 Os vetores X 1 = ( ) ( ) 1 e e 1 2t 2t = e 2t e X 2 = ( ) 3 e 5 6t = ( ) 3e 6t 5e 6t são soluções de no intervalo (, ). Assim, X = ( ) 1 3 X 5 3 ( ) e 2t 3e Φ(t) = 6t e 2t 5e 6t é uma matriz fundamental do sistema no intervalo. Observação 3.1 O desenvolvimento em (20) afirma que a solução geral de qualquer sistema homogêneo X = A(t)X pode sempre ser escrito em termos de uma matriz fundamental do sistema da forma X = Φ(t)C, onde C é um vetor coluna n 1 de constantes arbitrárias. Além disso, dizer que X = Φ(t)C é uma solução de X = A(t)X significa que Φ (t)c = A(t)Φ(t)C ou (Φ (t) A(t)Φ(t))C = 0. Como a última equação deve-se verificar para todo t no intervalo I e para toda matriz coluna possível de constantes C, devemos ter ou Φ (t) A(t)Φ(t) = 0 Φ (t) = A(t)Φ(t). Em alguns casos, é conveniente formar outra matriz especial n n, uma matriz em que os vetores coluna V i sejam soluções de X = A(t)X que satisfaçam as condições

3 SISTEMAS LINEARES 32 1 0 0 V 1 (t 0 ) = 0., V 2(t 0 ) = 1.,..., V n(t 0 ) = 0.. 0 0 1 Aqui, t 0 é um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo em que a solução geral do sistema é definida. Denotamos essa matriz especial com o símbolo Ψ(t). Observamos que Ψ(t) apresenta a propriedade 1 0 0 0 0 1 0 0 Ψ(t) =....... = I 0 0 0 1 onde I é a identidade multiplicativa n n. Decorre do Teorema (3.1) que Ψ(t) é a única matriz que satisfaz a condição Ψ(t 0 ) = I. Por último, as matrizes fundamentais Φ(t) e Ψ(t) estão relacionadas por Ψ(t) = Φ(t)Φ 1 (t 0 ). (21) A equação (21) fornece um método alternativo para a determinação de Ψ(t). Teorema 3.5 Se Φ(t) for uma matriz fundamental de (16), então vale a fórmula de Liouville t det Φ(t) = det Φ(t 0 )e 0 traço (A(s))ds. Demonstração: Seja ϕ(t) = det Φ(t). Vamos mostrar que ϕ é solução da equação x (t) = traço A(s)x(t). Seja Φ(t) = [X 1 (t), X 2 (t),..., X n (t)] na forma de colunas. Como o determinante depende linearmente das colunas temos que ϕ (t) = = n det[x 1 (t), X 2 (t),..., X j(t),..., X n (t)] i=1 n [X 1 (t), X 2 (t),..., A(t)X j (t),..., X n (t)]. i=1 Se det Φ(t) = 0, a igualdade já é verificada. Suponhamos, então, que Φ é uma matriz

3 SISTEMAS LINEARES 33 fundamental, portanto podemos escrever A(t)X j (t) = n i=1 a ijx j (t) e, assim, o traço de A(s) é dado por traço A(s) = a 11 +... + a nn. Por outro lado, temos que ϕ (t) = = = n det[x 1 (t), X 2 (t),..., X j(t),..., X n (t)] i=1 n [X 1 (t), X 2 (t),..., i=1 n a ij (t)x j (t),..., X n (t)] j=1 n a ii det[x 1 (t), X 2 (t),..., X i (t),..., X n (t)] i=1 = traço (A(s))ϕ(t). O final da prova é consequência do método de separação de variáveis. Teorema 3.6 Seja Φ(t) uma matriz fundamental do sistema homogêneo (16) em um intervalo I. Então Φ 1 (t) existe para todo valor de t no intervalo. Teorema 3.7 Se Φ(t) é uma matriz fundamental de (16), então a solução ϕ de (15) tal que ϕ(t 0 ) = X 0 é dada por ϕ(t) = Φ(t)[Φ 1 (t 0 )X 0 + t 0 Φ 1 (s)f (s)ds]. Em particular, ϕ(t) = Φ(t)Φ 1 (t 0 )X 0. Demonstração: Suponha que X p = Φ(t)U(t) onde U, uma função matricial, seja solução particular do problema não homogêneo (15). Portanto X p(t) = Φ(t)U (t) + Φ (t)u(t) = Φ(t)U (t) + AΦ(t)U(t) logo o que implica portanto AΦ(t)U(t) + F (t) = AX p (t) + F (t) = Φ(t)U (t) + AΦ(t)U(t) Φ(t)U (t) = F (t) U (t) = Φ 1 (t)f (t) de onde obtemos U(t) = U(t 0 ) + t 0 Φ 1 (s)f (s)ds. Como uma solução geral do problema não homogêneo é uma solução geral do homogêneo

3 SISTEMAS LINEARES 34 associado com uma solução particular temos que ϕ(t) = Φ(t)Φ 1 (t 0 )X 0 + Φ(t) t 0 Φ 1 (s)f (s)ds. 3.2 Resolução de Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes Nesta seção vamos estudar os métodos de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias, baseado em [9]. Começamos indagando se é sempre possível achar uma solução da forma para o sistema linear homogêneo de primeira ordem k 1 k 2 X =. eλt = Ke λt (22) k n X = AX, (23) onde A é uma matriz de constantes n n. Se (22) for um vetor solução de (23), então X = Kλe λt, de modo que o sistema torna-se Kλe λt = AKλe λt. Dividindo por e λt e reordenando, obtemos AK = λk ou (A λi)k = 0 (24) Para achar uma solução não trivial de (23), devemos achar um vetor K que satisfaça (24). Mas para que (24) tenha soluções não triviais, devemos ter det(a λi) = 0. Essa última equação é denominada equação característica da matriz A. Em outras palavras, X = Ke λt será uma solução do sistema de equações diferenciais (23) se e somente se λ for um autovalor de A e K um autovetor correspondente a λ.

3 SISTEMAS LINEARES 35 Autovalores Reais Distintos Quando a matriz A, n n possuir n autovalores reais distintos λ 1, λ 2,..., λ n, então podemos achar um conjunto de n autovetores linearmente independentes K 1, K 2,..., K n e X 1 = K 1 e λ 1t, X 2 = K 2 e λ 2t,..., X n = K n e λnt, será um conjunto fundamental de soluções de (23) em (, ). A seguir, temos o método para calcularmos a solução geral de Sistemas Homogêneos, quando os autovalores são reais e distintos. Sejam λ 1, λ 2,..., λ n, n autovalores reais distintos da matriz de coeficientes A do sistema (23), e sejam K 1, K 2,..., K n os autovetores correspondentes. Então a solução geral de (23) no intervalo (, ) é dada por X = c 1 K 1 e λ 1t + c 2 K 2 e λ 2t +... + c n K n e λnt. Autovalores Complexos Se λ 1 = α + iβ e λ 2 = α iβ são autovalores complexos da matriz A de coeficientes constantes, os autovetores correspondentes também terão elementos complexos. Por exemplo, a equação característica do sistema dx dt = 6x y dy = 5x + 4y dt (25) é det(a λi) = 6 λ 1 5 4 λ = λ2 10λ + 29 = 0. Pela fórmula quadrática, obtemos λ 1 = 5 + 2i, λ 2 = 5 2i. Para λ 1 = 5 + 2i, devemos resolver (1 2i)k 1 k 2 = 0 5k 1 (1 + 2i)k 2 = 0. Como λ 2 = (1 2i)k 1, decorre, após escolhermos k 1 = 1, que um autovetor é K 1 = ( ) 1. 1 2i

3 SISTEMAS LINEARES 36 Analogamente, para λ 2 = 5 2i, achamos o outro autovetor K 2 = ( ) 1. 1 + 2i Consequentemente, duas soluções de (25) são X 1 = ( ) ( ) 1 1 e 1 2i (5+2i)t e X 2 = e 1 + 2i (5 2i)t. Pelo princípio da superposição, outra solução é ( ) ( ) 1 1 X = c 1 e 1 2i (5+2i)t + c 2 e 1 + 2i (5 2i)t. (26) Note que os elementos em K 2 correspondentes a λ 2 são os conjugados dos elementos em K 1 correspondentes a λ 1. O conjugado de λ 1 é, naturalmente, λ 2. Escrevemos λ 2 = λ 1 e K 2 = K 1. Assim, acabamos de ilustrar o seguinte resultado: Seja A a matriz de coeficientes, com elementos reais, do sistema homogêneo (23), e seja K um autovetor correspondente ao autovalor complexo λ = α + iβ, com α e β reais. Então X 1 = K 1 e λ 1t e X 2 = K 1 e λ 1t são soluções de (23). É conveniente escrever uma solução que contenha funções complexas em termos de funções reais. Escrevendo a solução (26) em termos de funções, temos: x = c 1 e (5+2i)t + c 2 e (5 2i)t y = c 1 (1 2i)e (5+2i)t + c 2 (1 + 2i)e (5 2i)t, Colocando o termo e 5t em evidência e usando a fórmula de Euler, temos que x = e 5t [c 1 e 2it + c 2 e 2it ] = e 5t [c 1 (cos(2t) + i sin(2t)) + c 2 (cos(2t) + i sin(2t))] e y = e 5t [c 1 (1 2i)e 2it + c 2 (1 + 2i)e 2it = e 5t [c 1 (1 2i)(cos(2t) + i sin(2t)) + c 2 (1 + 2i)(cos( 2t) + i sin( 2t)). Reagrupando, obtemos x = e 5t [(c 1 + c 2 ) cos(2t) + (c 1 i c 2 i) sin(2t)] e y = e 5t [(c 1 (1 2i) + c 2 (1 + 2i)) cos(2t) + (c 1 i(1 2i) c 2 i(1 + 2i)) sin(2t)] = e 5t [(c 1 + c 2 ) 2(c 1 i c 2 i) cos(2t) + 2(c 1 + c 2 ) + (c 1 i c 2 i) sin(2t)].

3 SISTEMAS LINEARES 37 Substituindo c 1 + c 2 por C 1 e c 1 i c 2 i por C 2, temos x = e 5t [C 1 cos(2t) + C 2 sin(2t)] e y = e 5t [(C 1 2C 2 )] cos(2t) + e 5t [(2C 1 + C 2 ) sin(2t)]. Reescrevendo em termos de vetores, ( ) ( ) ( ) x cos(2t) X = = C y 1 e cos(2t) + 2 sin(2t) 5t sin(2t) + C 2 e 2 cos(2t) + sin(2t) 5t. (27) Aqui pode-se verificar que cada vetor em (27) é uma solução de (25). Além disso, as soluções são linearmente independentes no intervalo (, ). Podemos ainda supor que C 1 e C 2 sejam completamente arbitrárias e reais. Assim, (27) é a solução geral de (25). Podemos generalizar o processo precedente. Seja K 1 um autovetor da matriz A correspondente ao autovalor complexo λ 1 = α + iβ. Então, X 1 e X 2 podem ser escrito como K 1 e λ 1t = K 1 e αt e iβt = K 1 e αt (cos βt + i sin βt) K 1 e λ 1 t = K 1 e αt e iβt = K 1 e αt (cos βt i sin βt) As equações anteriores dão 1 2 (K 1e λ 1t + K 1 e λ 1t ) = 1 2 (K 1 + K 1 )e αt cos βt i 2 ( K 1 + K 1 )e αt sin βt i 2 ( K 1e λ 1t + K 1 e λ 1t ) = i 2 ( K 1 + K 1 )e αt cos βt + 1 2 (K 1 + K 1 )e αt sin βt. Para qualquer número complexo z = a+bi, notamos que 1 2 (z +z) = a e i ( z +z) = b 2 são números reais. Portanto, os elementos dos vetores coluna 1 2 (K 1 + K 1 ) e i 2 ( K 1 + K 1 ) são números reais. Definindo B 1 = 1 2 (K 1 + K 1 ) e B 2 = i 2 ( K 1 + K 1 ), (28) somos levados ao seguinte Teorema. Teorema 3.8 Seja λ 1 = α + iβ um autovalor complexo da matriz A de coeficientes no sistema homogêneo (23), e denotemos por B 1 e B 2 os vetores coluna definidos em (28). Então X 1 = (B 1 cos βt B 2 sin βt)e αt, X 2 = (B 2 cos βt + B 1 sin βt)e αt,

3 SISTEMAS LINEARES 38 são soluções linearmente independentes de (23) no intervalo (, ). As matrizes B 1 e B 2 em (28) são denotadas também por B 1 = Re(K 1 ) e B 2 = Im(K 1 ) (29) porque esses vetores são, respectivamente, as partes real e imaginária do autovetor K 1. Autovalores Repetidos Até aqui não consideramos o caso em que alguns dos n autovalores λ 1, λ 2,..., λ n de uma matriz n n sejam repetidos. Por exemplo, vê-se que a equação característica da matriz de coeficientes em X = ( ) 3 18 X (30) 2 9 é (λ + 3) 2 = 0 e, assim, que λ 1 = λ 2 = 3 é uma raiz de multiplicidade dois. Para esse valor, obtemos o único autovetor K 1 = ( ) 3, 1 e, assim, uma solução de (30) é X 1 = ( ) 3 e 1 3t. Como estamos interessados em formar a solução geral do sistema, devemos prosseguir na busca de uma segunda solução. De modo geral, se m for um inteiro positivo e (λ λ 1 ) m for um fator da equação característica, enquanto que (λ λ 1 ) m+1 não o é, então dizemos que λ 1 é um autovalor de multiplicidade m. Distinguimos duas possibilidades: Para algumas matrizes n n, é possível eventualmente achar m autovetores linearmente independentes K 1, K 2,..., K m correspondentes a um autovalor λ 1 de multiplicidade m n. Neste caso, a solução geral do sistema contém a combinação linear c 1 K 1 e λ 1t + c 2 K 2 e λ 1t +... + c m K m e λ 1t. Se houver apenas um autovetor correspondendo ao autovalor λ 1 de multiplicidade m, então sempre poderemos achar m soluções linearmente independentes da forma

3 SISTEMAS LINEARES 39 X 1 = K 11 e λ 1t, X 2 = K 21 te λ 1t + K 22 e λ 1t,. t m 1 X m = K m1 (m 1)! eλ 1t t m 2 + K m2 (m 2)! eλ 1t +... + K mm e λ1t. Suponhamos que λ 1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um autovetor associado a esse valor. Pode-se achar uma solução da forma k 1 k 2 onde K =. e P = p 2.. k n p 1 p n X 2 = Kte λ 1t + P e λ 1t, (31) Para verificar, levamos (31) no sistema X = AX e simplificamos: (AK λ 1 K)te λ 1t + (AP λ 1 P K)e λ 1t = 0. Como essa última equação deve ser válida para todos os valores de t, devemos ter (A λ 1 I)K = 0, (32) (A λ 1 I)P = K (33) A Equação (32) simplesmente afirma que K deve ser um autovetor de A associado a λ 1. Resolvendo (32), encontramos uma solução X 1 = Ke λ 1t. Para achar a segunda solução X 2, basta resolvermos o sistema adicional (33) em relação ao vetor P. Quando uma matriz A tem apenas um autovetor associado a um autovalor λ 1 de multiplicidade três, podemos achar uma segunda solução da forma (31) e uma terceira solução da forma k 1 k 2 onde K =., P = p 2. e Q = q 2.. k n X 3 = K t2 2 eλ 1t + P te λ 1t + Qe λ 1t, (34) p 1 p n q 1 q n Levando (34) no sistema X = AX, vemos que os vetores coluna K, P e Q devem satisfazer

3 SISTEMAS LINEARES 40 (A λ 1 I)K = 0 (35) (A λ 1 I)P = K (36) (A λ 1 I)Q = P As soluções de (35) e (36) podem ser utilizadas na formulação das soluções X 1 e X 2. Veremos agora que, segundo [4], quando a matriz A(t) é constante, A(t) A, a forma canônica de Jordan permite obter informações mais precisas a respeito das soluções do sistema linear homogêneo y = A(t)y. (37) Lema 3.2 (Forma Canônica de Jordan) Seja A uma matriz n n, cujos autovalores distintos são λ 1,..., λ p, λ p+1,..., λ p+m, então existe uma matriz invertível P tal que J = P 1 AP é da forma J = J 0 0 0 0 J 1 0...... 0 0 J m em que J 0, J 1,..., J m são matrizes quadradas, chamadas blocos de Jordan de ordens p, p 1,..., p m, com p + p 1 +... + p m = n, J 0 = diag(λ 1,..., λ p ) e, para cada k = 1,..., m J k = λ p+k 1 0 0 0 0 λ p+k 1 0 0 0 0 λ p+k 0 0........ 0 0 0 λ p+k 0 0 0 0 0 λ p+k Observação 3.2 Quando A for diagonalizável, a matriz P será aquela cujas colunas são os autovalores de A. Quando A não for diagonalizável, P será formada pelos autovetores generalizados de A.

3 SISTEMAS LINEARES 41 Observação 3.3 O lema anterior tem consequências importantes no estudo dos sistemas de equações diferenciais lineares y = Ay. Fazendo a mudança de variáveis y(t) = P z(t), temos y (t) = P z (t) z (t) = P 1 y (t) = P 1 Ay(t) = P 1 AP z(t) = Jz(t), e obtemos o sistema mais simples z = Jz. Uma vez obtida a solução z(t) desta equação, voltamos à variável y e obtemos as soluções da equação original. Vamos concentrar nossa atenção aos casos n = 2 e n = 3 e obter matrizes fundamentais para equações nesses casos. Matrizes fundamentais quando [ n ] = 2 λ1 0 (i) A é diagonalizável, temos J =. 0 λ 2 Sejam v 1, v 2 autovetores linearmente independentes de A associados a λ 1, λ 2, respectivamente e seja P = [v 1 v 2 ] onde as colunas de P são as [ coordenadas ] de v 1 e v 2. É e imediato que uma matriz fundamental para z λ 1 t 0 = Jz é Z(t) = 0 e λ 2t. Observação 3.4 Lembremos que, se os autovalores forem complexos, então λ 1 = α + iβ e λ 2 = α iβ, os correspondentes autovetores são v 1 = v + iw e v 2 = v iw. As soluções complexas e (α+iβ) (v + iw) e e (α iβ) (v iw), dão origem às soluções reais e αt cos(βt)v e αt sin(βt)w e e αt sin(βt)v e αt cos(βt)w, e a correspondente matriz fundamental fica Z(t) = e αt [cos(βt)v sin(βt)w sin(βt)v cos(βt)w]. (ii) A não é diagonalizável, temos J = O sistema z = Jz é [ ] λ 1. 0 λ z 1 = λz 1 + z 2 z 2 = λz 2.

3 SISTEMAS LINEARES 42 Resolvendo esse sistema, vemos que uma matriz fundamental é [ ] 1 t Z(t) = e λt. 0 1 Logo, uma matriz fundamental de y = Ay é [ a Y (t) = P Z(t) = e λt c ] [ ] b 1 t d 0 1 [ ] a at + b = e λt = e λt [v vt + w]. c ct + d Matrizes fundamentais quando n = 3 λ 1 0 0 (i) A é diagonalizável, temos J = 0 λ 2 0. 0 0 λ 3 Seja P = [v 1, v 2, v 3 ] em que v 1, v 2, v 3 são autovetores linearmente independentes de A associados a λ 1, λ 2, λ 3, respectivamente. Uma matriz fundamental para z = Jz é Z(t) = [e λ 1t e λ 2t e λ3t ]. (ii) A não é diagonalizável, daí temos duas possibilidades: λ 1 0 0 λ 1 0 J = 0 λ 2 1 ou J = 0 λ 1. 0 0 λ 2 0 0 λ No primeiro caso, a matriz P é da forma a 1 a 2 a 3 P = [u 1 u 2 u 3 ] = b 1 b 2 b 3, c 1 c 2 c 3 em que Au 1 = λ 1 u 1, Au 2 = λ 2 u 2 e Au 3 = λ 2 u 3 + u 2. O sistema z = Jz é z 1 = λ 1 z 1, z 2 = λ 2 z 2 + z 3, z 3 = λ 2 z 3. Resolvendo esse sistema, vemos que uma matriz fundamental é e λ 1t 0 0 Z(t) = 0 e λ 2t te λ 2t. 0 0 e λ 2t

3 SISTEMAS LINEARES 43 Logo, uma matriz fundamental de y = Ay é a 1 a 2 a 3 e λ 1t 0 0 Y (t) = P Z(t) = b 1 b 2 b 3 0 e λ 2t te λ 2t c 1 c 2 c 3 0 0 e λ 2t a 1 e λ 1t a 2 e λ 2t e λ2t (a 3 + ta 2 ) = b 1 e λ 1t b 2 e λ 2t e λ2t (b 3 + tb 2 ) c 1 e λ 1t c 2 e λ 2t e λ2t (c 3 + tc 2 ) = [e λ 1t u 1 e λ 2t u 2 e λ 2t (u 3 + u 2 t)]. No segundo caso, a matriz P é da forma a 1 a 2 a 3 P = [u 1 u 2 u 3 ] = b 1 b 2 b 3, c 1 c 2 c 3 em que Au 1 = λu 1, Au 2 = λu 2 + u 1 e Au 3 = λu 3 + u 2. O sistema z = Jz é z 1 = λz 1 + z 2, z 2 = λz 2 + z 3, z 3 = λz 3. Resolvendo esse sistema, vemos que uma matriz fundamental é Z(t) = e λt 1 t t2 2! 0 1 t. 0 0 1 Voltando à variável y, obtemos a matriz fundamental e λt [u 1 tu 1 + u 2 t 2 2! u 1 + tu 2 + u 3 ]. 3.3 Diagrama de Fase para Sistemas Lineares Autônomos no Plano Os métodos estudados permitem-nos fazer uma análise geométrica minuciosa das soluções de x = ax + by y = cx + dy. (38)

3 SISTEMAS LINEARES 44 em termos de autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes ( ) a b A =. c d Nosso objetivo é esboçar o plano de fase para o sistema (38) e, para simplificarmos, analisaremos o caso em que o determinante de A é diferente de zero, isto é, = ad bc 0. Isso garante que X 0 = (0, 0) é o único ponto crítico. Se τ = a + d é o traço da matriz A, então a equação característica det(a λi) = 0 pode ser escrita como λ 2 τλ + = 0. Como det A 0, temos λ 1, λ 2 0, e os autovalores de A são λ = (τ ± τ 2 4 ). 2 Sejam v 1 = [ a1 b 1 ] e v 2 = os autovetores de A associados a λ 1 e λ 2, respectivamente, então as funções [ a2 b 2 ], z 1 (t) = v 1 e λ 1t e z 2 (t) = v 2 e λ 2t são soluções de (38). Se v 1 e v 2 forem linearmente independentes, z 1 (t) e z 2 (t) formam uma base de soluções de (38). Teremos os três casos usuais das raízes λ 1 e λ 2, conforme τ 2 4 seja positivo, negativo ou zero. Caso I: Autovalores reais distintos (τ 2 4 > 0) A solução geral de (38) é dada por z(t) = c 1 v 1 e λ 1t + c 2 v 2 e λ 2t. (39) Colocando o termo e λ 1t em evidência, obtemos z(t) = e λ 1t [c 1 v 1 + c 2 v 2 e (λ 2 λ 1 )t ]. (40) (a) Se ambos os autovalores forem negativos (τ 2 4 > 0, τ < 0 e > 0), segue que Supondo que λ 1 > λ 2 temos z(t) c 1 v 1 e λ 1t = c 2 v 2 e λ 2t. lim (z(t) c 1v 1 e λ1t ) = 0 t

3 SISTEMAS LINEARES 45 e lim (z(t) c 1v 1 e λ1t ) =. t Assim z(t) c 1 v 1 e λ 1t quando t. Em outras palavras, z(t) c 1 v 1 e λ 1t para grandes valores de t. Se c 1 0, z(t) tende para 0 segundo uma das duas direções determinadas pelo autovetor v 1, correspondente a λ 1. Se c 1 = 0, z(t) = c 2 v 2 e λ2t e z(t) tende para 0 ao longo da reta determinada pelo autovetor v 2. O ponto crítico é chamado nó estável quando ambos os autovalores são negativos. Observe a Figura 3, que foi obtida através do programa Maxima, com instruções de [8]. Figura 3: Nó estável Figura 4: Nó instável Figura 5: Ponto de sela (b) Se ambos os autovalores forem positivos (τ 2 4 > 0, τ > 0 e > 0), a análise é análoga ao caso (a). Por (39), z(t) torna-se arbitrariamente grande quando t cresce. Além disso, por (40), z(t) se torna arbitrariamente grande em uma das direções determinadas pelo autovetor v 1 (quando c 1 0) ou ao longo da reta determinada pelo autovetor v 2 (quando c 1 = 0). Esse tipo de ponto crítico, correspondente ao caso em que ambos os autovalores são positivos, é chamado nó instável, conforme Figura 4. (c) Os autovalores possuem sinais opostos (τ 2 4 > 0 e < 0). Se c 1 = 0, a solução tem órbita na direção de v 2 e tende a (0, 0) quando t. Se c 2 = 0, a solução tem órbita na direção de v 1 e tende a (0, 0) quando t. Se c 1 0 e c 2 0, então, no instante t, escrevemos a solução como z(t) = e λ 2t (c 1 e (λ 1 λ 2 )t v 1 +c 2 v 2 ) e vemos que ela tem direção do vetor w(t) = c 1 e (λ 1 λ 2 )t v 1 + c 2 v 2. Agora, quanto t, temos e (λ 1 λ 2 )t 0, pois λ 1 λ 2 < 0, e, portanto, w(t) c 2 v 2. Esse ponto crítico é chamado ponto de sela. Veja Figura 5. Caso II: Um autovalor real repetido (τ 2 4 = 0) Uma solução geral, nesse caso, toma uma de duas formas diferentes, conforme possamos achar, para o autovalor repetido λ 1, um ou dois autovetores linearmente independentes. (a) Temos dois autovetores linearmente independentes.

3 SISTEMAS LINEARES 46 Se v 1 e v 2 são dois autovetores linearmente independentes correspondentes a λ 1, então a solução geral é dada por z(t) = c 1 v 1 e λ1t + c 2 v 2 e λ 1t = (c 1 v 1 + c 2 v 2 )e λ1t. Se λ 1 < 0, z(t) tende para 0 ao longo da reta determinada pelo vetor c 1 v 1 + c 2 v 2, o ponto crítico é chamado nó estável degenerado. Invertem-se as setas quando λ 1 > 0. Temos, então, um nó instável degenerado. (b) Temos um único autovetor linearmente independente. Quando existe um único autovetor linearmente independente v 1, a solução geral geral é dada por z(t) = c 1 v 1 e λ 1t + c 2 (v 1 te (λ 1t + P e (λ 1t ), onde (A λi)p = v 1 e a solução pode ser posta na forma [ z(t) = te λ 1t c 2 v 1 + c 1 t v 1 + c ] 2. t Se λ 1 < 0, lim t te λ 1t = 0, decorrendo que z(t) tende para 0 segundo uma das direções determinadas pelo vetor v 1. O ponto crítico é novamente chamado nó estável degenerado. Quando λ 1 > 0, as soluções se apresentam com as setas invertidas. A reta determinada por v 1 é uma assíntota para todas as soluções. O ponto crítico é chamado nó instável degenerado. Figura 6: Nó estável degenerado Figura 7: Nó instável degenerado Caso III: Autovalores complexos (τ 2 4 < 0). Se λ 1 = α + βi e λ 1 = α βi são os autovalores complexos e v 1 = B 1 + B 2 i é um autovetor complexo correspondente a λ 1, então a solução geral pode ser posta na forma z(t) = c 1 X 1 (t) + c 2 X 2 (t), onde X 1 (t) = (B 1 cos βt B 2 sin βt)e αt e X 2 (t) = (B 2 cos βt B 1 sin βt)e αt.

3 SISTEMAS LINEARES 47 Temos, então, uma solução na forma x(t) = e αt (c 11 cos βt + c 12 sin βt), y(t) = e αt (c 21 cos βt + c 22 sin βt). (41) Vamos analisar o caso em que as raízes imaginárias são puras e o caso em que temos a parte real não nula. (a) Raízes imaginárias puras (τ 2 4 < 0, τ = 0) Quando α = 0, (41) é da forma x(t) = c 11 cos βt + c 12 sin βt, y(t) = c 21 cos βt + c 22 sin βt. (42) Resolvendo o sistema de equações (42) em relação a cos βt e sin βt e utilizando a identidade sin 2 βt + cos 2 βt = 1, é possível mostrar que todas as soluções são elipses com centro na origem. De fato, consideremos o sistema (42), com as constantes reais c 1, c 2, c 3 e c 4 para simplificar a notação, ou seja x = c 1 cos βt + c 2 sin βt, y = c 3 cos βt + c 4 sin βt. Substituindo cos βt por a e sin βt por b, temos x = c 1 a + c 2 b, y = c 3 a + c 4 b. Isolando a na primeira equação temos Substituindo na segunda equação, obtemos a = x c 1 c 2 c 1 b. (43) b = ( c 1 c 1 c 4 c 2 c 3 ) ( y c 3 c 1 c 4 c 2 c 3 ) x. Substituindo em (43), temos a = ( ) ( c 1 c 4 x c 1 (c 1 c 4 c 2 c 3 ) c 2 c 1 c 4 c 2 c 3 ) y. (44) Fazendo outra substituição em (44), para facilitar os cálculos, de modo que

3 SISTEMAS LINEARES 48 w 1 = c 1 c 4 c 1 (c 1 c 4 c 2 c 3 ), w 2 = c 2 c 1 c 4 c 2 c 3, w 3 = c 1 c 1 c 4 c 2 c 3 e w 4 = c 3 c 1 c 4 c 2 c 3 (45) e sabendo que a 2 + b 2 = 1, temos (w 2 1 + w 2 3) x 2 + ( 2w 1 w 2 2w 3 w 4 ) xy + (w 2 2 + w 4 ) y 2 = 1 (46) Voltando aos coeficientes anteriores de (46), temos [ c 2 1c 2 4 c 2 1(c 1 c 4 c 2 c 3 ) 2 Assim [( c 2 1c 2 4 + c 4 1 c 2 1(c 1 c 4 c 2 c 3 ) 2 ] [ ( x 2 + 2 ) x 2 + [( + ) c 1 c 2 c 4 c 1 (c 1 c 4 c 2 c 3 ) 2 ) ( c 2 2 + c 1 (c 1 c 4 c 2 c 3 ) 2 ( 2 ( ) ( 2c1 c 2 c 4 2c 2 1c 3 xy + c 1 (c 1 c 4 c 2 c 3 ) 2 c 1 c 3 (c 1 c 4 c 2 c 3 ) 2 c 2 3 (c 1 c 4 c 2 c 3 ) 2 c 2 2 + c 2 3 (c 1 c 4 c 2 c 3 ) 2 )] xy+ )] y 2 = 1 ) ] y 2 = 1 (47) Observe que (47) tem a forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 = 1. Para satisfazer a equação de uma elipse, devemos ter B 2 4AC. Mas B 2 = 4 [c2 1c 2 (c 2 c 2 4 + 2c 1 c 3 c 4 ) + c 4 1c 2 3] c 2 1(c 1 c 4 c 2 c 3 ) 4 e 4AC = 4 [c2 1c 2 2 (c 2 4 + 1) + c 2 1c 2 3 (c 2 4 + c 1 )] c 2 1(c 1 c 4 c 2 c 3 ) 4 Se B 2 > 4AC, teríamos 4 [c 2 1c 2 (c 2 c 2 4 + 2c 1 c 3 c 4 ) + c 4 1c 2 3] > 4 [c2 1c 2 2 (c 2 4 + 1) + c 2 1c 2 3 (c 2 4 + c 1 )] c 2 1(c 1 c 4 c 2 c 3 ) 4 c 2 1(c 1 c 4 c 2 c 3 ) 4 2(c 1 c 2 )(c 3 c 4 ) > (c 1 c 2 ) 2 + (c 3 c 4 ) 2

3 SISTEMAS LINEARES 49 O que é uma contradição, pois, como, para quaisquer valores de x e y, (x y) 2 0 = x 2 2xy + y 2 0, o que nos dá 2xy x 2 + y 2 para quaisquer x e y reais. Assim, (47) satisfaz a equação da elipse. Nesse caso, o ponto crítico (0, 0) é chamado centro. As elipses são todas elas percorridas seja no sentido horário, seja no sentido anti-horário(figura 8). (b) Parte real não nula (τ 2 4 < 0, τ 0) Quando α < 0, e αt 0 e as soluções são semelhantes a elipses e circulam em torno da origem, cada vez mais próximas dela. O ponto crítico é chamado ponto espiral estável. Quando α > 0, o efeito é o oposto. Uma solução semelhante a uma elipse é afastada cada vez mais da origem, e o ponto crítico é chamado ponto espiral instável (Figura 9). Figura 8: Centro Figura 9: Espiral instável