Universidade Federal de Viçosa - CCE / DPI Inf 161 - Iniciação à Estatística / INF 16 Estatística I Lista de Exercícios: Cap. 4 - Distribuições de Variáveis Aleatórias DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1. Determine a probabilidade de que, em 5 lançamentos de um dado, apareça a face 3: a) Duas vezes b) No máximo uma vez c) Ao menos duas vezes. Quantas vezes se deverá jogar um dado para que se tenha a probabilidade igual a 0,5, de ocorrer a face 3, pelo menos uma vez? 3. Considere a amostragem de 3 peças que saem de uma linha de produção. Sabe-se que são produzidas 0% de peças defeituosas, calcule as seguintes probabilidades: a) peças defeituosas b) peças não defeituosas c) Quantas peças defeituosas espera-se amostrar, considerando 500 peças? 4. Sabe-se que 4% dos indivíduos que recebem o medicamento X sofrem certos efeitos colaterais. Se o medicamento X for ministrado a quatro pacientes, qual a probabilidade de que: a) Nenhum sofra efeitos colaterais b) Pelo menos um sofra efeitos colaterais c) Três não sofram efeitos colaterais 5. Se amostrarmos 500 casais ( marido e esposa ) com quatro filhos cada um, quantos casais nós esperamos que tenham: a) Pelo menos um filho homem b) Exatamente filhos homens 6. Uma firma determina o sexo de pintos de um dia com 95% de probabilidade. a) Se comprarmos 5 pintinhos tidos como do sexo feminino, qual é a probabilidade de que pelo menos um seja macho? b) Quantos machos espera-se encontrar num lote de 500 pintinhos tidos como do sexo feminino? 7. Numa prova com 10 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas e somente uma correta, pede-se: a) Quantas questões acerta em média um aluno que marca todas as questões inteiramente ao acaso? b) Qual a probabilidade dele acertar 5 questões?
8. Num teste do tipo certo-errado, com 100 questões, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das questões? 9. Se X~B(16, 0.75) determine: a) A média de X b) A variância de X Z= X 1 3, calcule E(Z) e V(Z) c) Se ( ) 10. Um determinado artigo é vendido em caixas a 8 u.m. por caixa. Sabe-se que 0% dos artigos vendidos apresentam algum defeito de fabricação. Um comprador faz a seguinte proposta: Pede para poder amostrar, ao acaso, 10 artigos por caixa. Ele pagará, por caixa, 10 u.m. se nenhum dos artigos amostrados for defeituoso; 5 u.m. se um ou dois artigos amostrados forem defeituosos e 4 u.m. se três ou mais artigos da amostra forem defeituosos. O que é mais lucrativo para o vendedor, manter o seu preço de 8 u.m. por caixa ou aceitar a proposta do comprador? Mostre porquê. ( Sugestão: Considere a variável aleatória X = número de artigos defeituosos, Binomialmente distribuída, e utilize também a variável Y = valor pago por caixa ) DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 11. Um processo de fabricação de fitas magnéticas produz, em média, fitas com um defeito a cada 00m de rolo. Qual a probabilidade de que: a) Em 500m de fita não ocorra nenhum defeito? b) Em 800m de fita ocorram pelo menos 3 defeitos? 1. A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas, se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que numa instalação de: a) 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem? b) 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem? 13. Na pintura de paredes aparecem defeitos na proporção média de um defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de x m? 14.Numa central telefônica são atendidas 300 chamadas por hora. Qual a probabilidade de: a) Serem atendidas duas chamadas num período de minutos? b) Em T minutos, não ocorrerem chamadas telefônicas? 15.Estima-se em 1% a proporção de canhotos numa população. Qual a probabilidade de termos pelo menos um canhoto numa classe de 30 alunos? 16. Na revisão tipográfica de um livro acharam-se, em média, 1,5 erros por página. Das 800 páginas do livro, estime quantas não apresentam erros?
17. O departamento de trânsito registrou num certo ano, numa determinada via pública, 30 acidentes fatais, com um movimento médio diário de 00 veículos. Qual é a probabilidade de que num determinado mês, do próximo ano, ocorram 3 acidentes fatais? 18. Seja X o número de crianças não imunizadas numa campanha de vacinação contra uma determinada doença, onde a probabilidade de não imunização é 0,001. De 5000 crianças vacinadas, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) Uma criança? b) Pelo menos uma criança? 19. Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso, um a cada 50 m. a) Qual a probabilidade de que não haja defeitos na produção de 1000m de tecido? b) Se a produção diária é de 65m, num período de 80 dias de trabalho, em quantos desses dias poderemos esperar uma produção diária na qual não haja defeitos? DISTRIBUIÇÃO NORMAL 0. As notas de uma prova são normalmente distribuídas com média 73 e variância 5. Os 15% melhores alunos recebem o conceito A e os 11,9% piores alunos recebem conceito R. Pede-se: a) Nota mínima para receber A? b) Nota mínima para ser aprovado? PX 55, 3 c) ( ) 1. Se X ~ N( 3, 4 ) encontre um valor x tal que: PX ( x) = PX ( x). A observação dos pesos X, de um grande número de espigas de milho, mostrou que essa variável é normalmente distribuída com média µ = 10g e desvio padrão σ =10g. Num programa de melhoramento genético da cultura do milho, entre outras características, uma linhagem deve satisfazer à condição 11 < X < 140. Num programa envolvendo 450 linhagens, qual deve ser o número provável de linhagens que atende à essa condição? 3. Sabe-se que o peso médio, em arrobas, de abate de bovinos é normalmente distribuído com média 18 e variância,5. Um lote de 5000 cabeças, com essa característica, foi destinado ao frigorífico que abate só a partir de um peso mínimo W. Sabendo-se que foram abatidas 400 cabeças, pede-se: a) O número esperado de bovinos com peso entre 17 e 19 arrobas? b) Qual o valor de W?
4. O volume de correspondência recebido por uma firma quinzenalmente é normalmente distribuído com média de 4000 cartas e desvio padrão de 00 cartas. Qual a porcentagem de quinzenas em que a firma recebe menos de 3400 cartas? 5. O peso médio de um cigarro é a soma dos pesos do papel e do fumo, e vale em média 1,00g com σ =0,060g. O peso médio do papel é 0,040g com σ =0,00g. Os cigarros são feitos em uma máquina automática que pesa o fumo a ser colocado no cigarro, coloca o papel e enrola o cigarro. a) Determinar o peso médio do fumo em cada cigarro e o desvio padrão. b) Qual a probabilidade de que um cigarro tenha menos de 1,130g de fumo? OBS: Cigarro e papel são independentes 6. Numa indústria a montagem de um certo item é feita em duas etapas. Os tempos necessários para cada etapa são independentes e têm as seguintes distribuições: a X : N 75seg ; 16seg, X tempo da 1 etapa 1 ( ) ( ) a X : N 15seg ; 100seg, X tempo da etapa 1 Qual a probabilidade de que sejam necessários, para montar a peça: a) mais de 10 seg? b) menos de 180 seg? 7. Suponha que X, a carga de ruptura de um cabo (kg), tenha distribuição N(100, 16). Cada rolo de 100m de cabo dá um lucro de 5 u.m., desde que X > 95. Se X 95, o cabo poderá ser utilizado para uma finalidade diferente, a um lucro de 10 u.m. por rolo. Determine o lucro esperado por rolo? 8. Um avião de turismo de 4 lugares pode levar uma carga útil de 350 kg. Supondo que os passageiros têm peso normalmente distribuído com média de 70 kg e desvio padrão de 0 kg e que a bagagem de cada passageiro também é normalmente distribuída com média 1 kg e desvio padrão de 5 kg. Calcule a probabilidade de: a) Haver sobrecarga se o piloto não pesar os passageiros e respectivas bagagens? b) Que o piloto tenha que retirar pelo menos 50 kg de gasolina para evitar sobrecarga? RESPOSTAS (Com as devidas aproximações em alguns casos) 1. a) 65/3888 b) 315/3888 c) 763/3888. 4 vezes 3. a) 0,096 b) 0,384 c) 100 4. a) 0,3336 b) 0,6664 c) 0,413 5. a) 469 b) 188 6. a) 0,63 b) 5 7. a) b) 0,064
100 100 5 05, 3,. 10 70 9. a) 1 b) 3 c) 0 e 1 10. E(Y) = 5,1 u.m., portanto é melhor manter 8. ( ) 11. a) 0,081 b) 0,7619 1. a) 0,5768 b) 0,0463 13. a) 0,1953 14. a) 0,007 b) e 5T 15. 0,59 16. 179 páginas 17. 0,138 18. a) 0,0337 b) 0,9933 19. a) 0,0183 b) 6,57 dias 0.a) 88,6 b) 55,3 c) 0,8810 1.,14. 345 3. a) 486 b) 16,5 4. 0,13% 5. a) 1,160 g e 0,063 g b) 0,319 6. a) 0,176 b) 0,0314 7. 3,4 u.m. 8 a) 0,981 b) 0,0401