Nome: Ano: 3º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº 02 Assunto: JUROS E PORCENTAGENS 1) Porcentagem Definição: É uma fração que indica a participação de uma quantidade sobre um todo. Por facilidade de cálculo e convenção, utiliza-se uma fração com base no denominador igual a 100, daí o nome porcentagem. Trata-se então de um modo de expressar uma PROPORÇÃO ou uma RELAÇÃO entre 2 valores a partir de uma FRAÇÃO cujo denominador comum é 100. Escrevemos porcentagem da seguinte forma: Por exemplo: Uma loja de esportes possui 150 camisetas de times de futebol, sendo 30 do time A, 45 do time B, 15 do time C e 60 do time D. Qual a porcentagem que cada time representa na quantidade de camisetas? Times Total de Camisetas Porcentagem A 30 B 45 C 15 D 60 Total 150 Como podemos calcular porcentagens? Podemos calcular utilizando a famosa Regra de Três. A partir do exemplo anterior, podemos calcular da seguinte forma: 150 camisetas no total ------------- 100% 30 camisetas Time A -------------- P 1
Cálculo percentual: Em linhas gerais e simplificadas, calcular o percentual sobre uma determinada quantidade é sempre equivalente a multiplicar esta quantidade pela fração equivalente em porcentagem. Exemplos: Quanto é 30 % de 190? Quanto é 25% de 320? Descontos e Acréscimos: É muito comum nos depararmos com lojas que cedam descontos em seus produtos de 10%, 20% etc. Neste tópico aprenderemos a lidar com essas porcentagens de descontos. Também abordaremos o aumento dos preços, por exemplo, para aprendermos a lidar com essa situação igualmente. Exemplo: Suponhamos que uma bolsa custe R$ 150,00, porém a loja esta oferecendo um desconto de 20%. Qual seria o valor desta bolsa com o devido desconto? Para isso, precisamos extrair 20% do valor total da bolsa. Vamos fazer uma Regra de 3 para descobrirmos esse valor: Após efetuada a conta, chegamos em x= R$ 30,00. Com isso, o preço Pr final da bolsa seria Vamos tentar achar uma equação para calcular o valor final em uma única conta a partir da equação anterior. Sabemos que R$ 150,00 corresponde a 100% do valor e 30% corresponde a 20% do valor. Com isso, podemos reescrever do seguinte modo: 2
Colocando os R$ 150,00 em evidência, temos: Por recorrência, podemos estabelecer que, para DESCONTOS, devemos subtrair a porcentagem do desconto dos 100% total. Ou seja: Para acréscimo, o raciocínio utilizado segue a mesma linha. Caso essa bolsa estivesse com um aumento de 20%, ao invés de subtrairmos essa porcentagem devemos somá-la à porcentagem de 100%, chegando numa equação do seguinte tipo: No caso da bolsa ter um aumento de 20%, teríamos que o novo preço seria igual a: Vamos resolver um problema juntos? 1) Em uma loja, um comerciante segue a seguinte regra: a. Para pagamentos em dinheiro, concede um desconto de 10%, b. Para pagamentos no cartão, concede um acréscimo de 5% para cobrir as suas taxas. Considerando que um cliente realizou uma compra no valor de R$300,00: a) Quanto pagará o cliente se optar por pagamento em dinheiro? b) Quanto pagará o cliente se optar por pagamento no cartão 3
Exercícios de Sala 1) Um jogador de futebol, durante um campeonato, cobrou 75 faltas, sendo que 8% das cobranças resultaram em gols. Quantos gols esse jogador marcou através das cobranças de faltas? 2) O preço de venda de um CD é de R$ 28,00 e um comerciante decide reajustá-lo em 15%. Diante da insistência de um comprador, o comerciante concede sobre o novo valor um desconto de 15%. No final, podemos afirmar que: a) O preço do CD voltou a ser de R$ 28,00. b) O desconto deveria ser de 30% para que o preço voltasse ao valor de R$ 28,00. c) O desconto deveria ser de 7,5% para que o preço voltasse ao valor de R$ 28,00. d) O comerciante levou vantagem, pois o preço final foi maior que R$ 28,00. e) O comprador levou vantagem, pois o preço final foi menos que R$ 28,00. 1) Matemática Financeira Básica Conceitos Básicos Capital: O capital é o valor inicial que o investimento possui devido a alguma operação financeira como o investimento inicial em uma poupança, por exemplo. Geralmente, adota-se a simbologia C para representar o capital nas equações. Juros: Os juros, J, representam a remuneração do Capital investido em alguma atividade financeira.. Os juros são divididos em Juros Simples e Juros Compostos. Discutiremos suas diferenças em breve. Montante: O montante, cujo símbolo mais comum é M, corresponde ao valor final que o investidor arrecada ao somar o capital inicial com os juros. Matematicamente, temos que M = C + J Taxa de Juros: Representada pela letra I, essa taxa indica qual remuneração será paga ao valor investido para um determinado período, sendo normalmente representada na forma percentual. Usando novamente o exemplo da poupança, a taxa de juros da poupança é de, em média, 0,5% ao mês. 4
2) Juros Simples O regime de juros será simples quando o percentual de juros for aplicado apenas sobre o capital. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Em termos de progressão, a cada período de tempo indicado pela taxa de juros será adicionada a porcentagem também indicada pela taxa de juros sobre o capital. Por exemplo: Supondo que foram investidos R$ 1000,00 e a taxa de juros é corresponde a 5% ao mês. Sabemos calcular 5% de R$ 1000,00? Claro! Portanto, a cada mês que passar, haverá um acréscimo sobre o valor inicial de R$50,00. Podemos, então, montar nossa progressão: 1 mês (R$1000,00 ; R$ 1050,00 ; 1100,00 ; 1150,00 ; 1200...) + R$50,00 Podemos, a partir do conteúdo já visto, descobrir uma fórmula para calcularmos os juros após um período de tempo longo? Vamos tentar! Sabemos que os juros são calculados a partir da taxa de juros aplicada sobre o capital da seguinte forma: No entanto, sabemos que a taxa de juros, I, relaciona-se com o tempo e teriamos a resposta para a nossa conta em função do tempo. Por isso, podemos multiplicar pela variável tempo, T, para obtermos o valor após um certo tempo. Com isso, nossa equação fica: CONSEGUIMOS!! Com essa equação, podemos calcular os juros acumulados após um determinado período de tempo. Para descobrirmos o Montante, basta somarmos os Juros ao Capital da seguinte forma: 5
Com o conteúdo visto até agora, podemos colocá-los em prática nos exemplos a seguir: Exemplo: 1) Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Quanto pagaremos de Juros? Exercícios de Sala 1) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 1.200,00 no sistema de capitalização simples, quitando-o em uma única parcela, após 4 meses, no valor de R$ 1.260,00. A que taxa anual de correção este empréstimo foi concedido? a) 5% a.a b) 29% a.a c) 12% a.a d) 15% a.a e) 18% a.a 2) Uma quantia de R$ 8.000,00 aplicada durante um ano e meio, a uma taxa de juros simples de 2,5% a.m, renderá no final da aplicação um montante de: a) R$ 3.600,00 b) R$ 10.400,00 c) R$ 12.900,00 d) R$ 10.700,00 e) R$ 11.600,00 6
3) Juros Compostos O regime de juros compostos é o mais usado no dia-a-dia e no sistema financeiro. Os juros gerados a cada período são incorporados ao capital para o cálculo dos juros do período seguinte, ou seja: a taxa de juros é aplicada sobre o montante, lembrando que. Por exemplo: Temos um capital de R$ 5.000,00 e uma taxa de juros de 5% a.m (ao mês). No primeiro mês teremos um juros (J) de: Logo, nosso montante após 1 mês é: No segundo mês de aplicação, a taxa de juros será aplicada sobre o novo montante, de R$ 5.250,00, calculado anteriormente, sendo esse valor o nosso novo capital. Assim sendo, temos que no segundo mês os juros serão de: Com isso, temos que o montante do segundo mês é igual a: Com isso, podemos obter a seguinte progressão: X (1,05)² (R$ 5.000,00 ; R$ 5.250,00 ; R$ 5.512,50 ;...) X 1,05 X 1,05 7
A fórmula matemática que nos auxilia no calculo do novo montante após um determinado tempo t é a seguinte:, sendo C o capital inicial, I a taxa de juros e t o tempo corrido. Observação: Devemos prestar atenção às unidades utilizadas, pois elas devem ser sempre correspondentes. Caso a taxa de juros seja ao mês, o tempo deverá ser em meses, por exemplo. Para sabermos quanto de juros foi agregado ao valor inicial, devemos realizar a seguinte operação:, sendo M o montante calculado e C o capital investido inicialmente. Tendo em vista que já discutimos os conceitos fundamentais, podemos aplicá-los abaixo. Exemplo 1) Calcule o montante de um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. Dado: Exercícios de Sala 1) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,7% a.m (ao mês), quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido nesse período? 8
Exercícios de casa 1) Dadas as expressões, assinale a alternativa que corresponde à solução de cada uma delas I) 20% de 500 II) 30% de 20% de 500 III) Um desconto de 25% sobre R$80,00 IV) Um acréscimo de 15% sobre R$80,00 V) (30%)² VI) a) 120; 30; R$60,00; R$90,00; 15%;100% b) 150; 45; R$50,00; R$92,00; 12%;14% c) 100; 30; R$60,00; R$92,00; 8%;14% d) 100; 30; R$60,00; R$92,00; 9%;140% e) 100; 60; R$50,00; R$92,00; 10%;140% 2) O gráfico ao lado representa a taxa percentual de desemprego nas regiões metropolitanas no mês de março/2010. Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250.000,o número de desempregados em março de 2010,nessa região, foi de: a) 24.500 b) 25.000 c) 220.500 d) 223.000 e) 227.500 3) Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir. Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estava com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dl. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa 30% e na segunda etapa em 10%. Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria de: a) Hipoglicemia b) Normal c) Pré-diabetes d) Diabetes melito e) Hiperglicemia 9
4) No mundial de 2007, o americano Bernard Lagat, usando pela primeira vez uma sapatilha 34% mais leve do que a média, conquistou o ouro na corrida de 1.500 metros com um tempo de 3,58 minutos. No ano anterior, em 2006, ele havia ganhado medalha de ouro com um tempo de 3,65 minutos nos mesmos 1.500 metros. a) 1,05% b) 2,00% c) 4,11% d) 4,19% e) 7,00% Sendo assim, a velocidade média do atleta aumentou em aproximadamente: 5) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro: Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é: a) a poupança, pois totalizará um montante de R$502,80 b) a poupança, pois totalizará um montante de R$500,56 c) o CDB, pois totalizará um montante de R$504,38 d) o CDB, pois totalizará um montante de R$504,21 e) o CDB, pois totalizará um montante de R$500,87 6) Qual o montante que uma pessoa pode regastar, depois de ter aplicado um capital de R$ 15.000,00, por um período de um ano, se a taxa de juros simples foi de 1,5% ao mês? a. R$ 2.700,00 b. R$ 15.700,00 c. R$ 17.700,00 d. R$ 17.000,00 e. R$ 16.700,00 7) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa de 2,0% ao mês num regime de juros compostos. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão: Dado: (1,02)²=1,0404 a) R$98,00 b) R$101,00 c) R$110,00 d) R$114,00 e) R$121,00 1.d 2.a 3. d 4.b 5. d 6. c 7. b 10
Raciocínio Lógico Matemático Assunto: Frações e suas operações Definição de fração: Uma fração envolve a ideia de dividir algo em partes. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas partes, conforme o interesse: Dada uma fração qualquer ; é dito o numerador (a parte) e é dito o denominador (o todo) Ex.: Roberto comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberto teria comido três partes dela. Frações equivalentes: São frações que, embora escritas aparentemente diferentes, equivalem a uma mesma parte do todo. Ex.: é equivalente a. Utilizando o mesmo exemplo anterior do chocolate de Roberto: Simplificação de frações: Uma fração equivalente pode ser reduzida dividindo-se o numerador e o denominador por um mesmo fator comum. Quando essa divisão não for mais possível, temos uma fração dita irredutível. Ex.:Como visto é equivalente a, concluímos isso dividindo o numerador e o denominador da fração por 2 e obtendo então a fração irredutível. Operações com frações: Como dito, frações são relações da parte (numerador) com o todo (denominador). Dessa forma, podemos efetuar as 4 operações básicas seguindo algumas regras: Soma e subtração: 1) As frações possuem o mesmo denominador Neste caso, conserva-se o denominador e efetuase a operação no numerador. 1) Na multiplicação Multiplicação e divisão: Multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. 2) As frações possuem denominadores diferentes Neste caso, antes de efetuar a operação no numerador, devemos expressar as frações em um denominador comum (MMC). 2) Na divisão Devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. 11
Exercícios de Casa 1) Calcule, detalhando as etapas de cálculos e tornando as frações irredutíveis (quando possíveis), as seguintes operações: a) b) c) d) e) f) 2) Calcule, detalhando cada uma das etapas de cálculo, as seguintes expressões: a) b) c) d) 3) O salário de João Carlos é de R$1.800,00 por mês. Gasta com aluguel, com alimentação da família e com despesas diversas. O que sobra de seu salário, ele aplica na poupança. Qual é o valor do depósito mensal que João Carlos realiza? 4) No Brasil, os trabalhadores recebem dois salários mínimos em dezembro: o salário normal e o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os dois salários serão iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário corresponderá a essa fração do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é R$1.296,00 e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai receber de 13º salário? a) R$200,00 b) R$210,00 c) R$220,00 d) R$230,00 e) R$240,00 a) R$722,00 b) R$741,00 c) R$756,00 d) R$775,00 e) R$796,00 12
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