Introdução à matemática nanceira

Introdução à matemática nanceira Estela Mara de Oliveira 1 e Sônia Regina Leite Garcia (Orientadora) 2 1 Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP), Brazil estelaime@hotmailcom 2 Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP), Brazil sonia@imeuspbr 1 Introdução Saiba que são suas decisões e não suas condições que determinam seu destino Anthony Robbins do livro Desperte o gigante interior Neste trabalho vamos discutir alguns pontos de matemática nanceira, tais como a diferença entre juros simples e juros compostos (inclusive contínuos), descontos e uxo de caixa Em particular, apresentamos aqui dicas de como fazer um uxo de caixa para uma pessoa física Foram consultados [5], [1], [2], [3] e [4] 2 Juros Denição 1 Juro É o ganho que obtemos ao fazermos uma aplicação de modo produtivo, e seu cálculo é feito através da diferença entre o valor futuro e o valor presente do capital aplicado Valor presente = capital inicial (quantia que será aplicada) Valor futuro = valor a ser resgatado após o período de tempo em que o valor presente foi aplicado (chamado período da aplicação) Denição 2 Taxa de Juros É a relação entre juros e capital aplicado numa unidade de tempo (por exemplo, num dia, ou num mês, ou num ano) Exemplo 1 Se ao aplicarmos uma quantia x por um ano obtivermos 0, 12x de juros após esse período de tempo, a taxa de juros correspondente por ano é de (0, 12x)/x = 0, 12 = 12/100, ou seja, é de 12% ao ano Denição 3 Regime de Juros Simples É o regime em que o ganho (juros) que obtemos sobre um capital inicial (V P) aplicado num determinado período de tempo xado com uma taxa de juros também xada é capitalizado (isto é, incorporado ao capital inicial) ao nal do referido período de tempo No regime de juros simples, se i é a taxa de juros por unidade de tempo (por exemplo, por dia, ou por mês, ou por ano) e t é o número de unidades de tempo que durou a aplicação, então: J = V Pit (Juros) V F = V P + J (Valor Final) Exemplo 2 Aplicou-se R$ 200, 00 a juros simples por um período de 3 meses, com taxa de juros de 2% as mês Qual o valor que foi resgatado no nal do período de aplicação? Solução: V P = 200, 00 Período de aplicação = t = 3 meses Taxa de juros = i = 2% ao mês 2% = 2/100 = 0, 02 J = V Pti J = 200, 00 3 0, 02 = 12, 00 V F = V P + J V F = 200 + 12 = 212, 00 3 Juros compostos Em certas aplicações, como por exemplo, na caderneta de poupança, os juros não são calculados da forma anterior Nesse caso, há uma frequência de conversão (capitalização dos juros), no caso, mensal, predeterminada, que independe do período total de aplicação do capital inicial Nesse caso, diz-se que o período de conversão é de um mês Denição 4 Frequência de Conversão Os juros de uma aplicação podem ser capitalizados (incorporados ao capital) anualmente, semestralmente, mensalmente, diariamente, etc Nesse caso diz-se que o período de conversão é de um ano, um semestre, um mês ou um dia respectivamente, e que a frequência de conversão é anual, semestral, mensal ou diária respectivamente Assim, o período de conversão, é o período de tempo necessário para que o dinheiro aplicado seja corrigido conforme a taxa de juros estipulada Exemplo 3 Exemplo Hipotético Suponha que você zesse uma aplicação de R$ 150, 00 numa caderneta de poupança por 3 meses, e que a frequência de conversão fosse anual Então ao 243

resgatar o valor em três meses, não receberia nenhuma correção sobre o valor aplicado, enquanto que se resgatasse após um ano, receberia o valor corrigido Denição 5 Regime de Juros Compostos É o regime em que o ganho que se tem sobre um capital investido por um determinado período de tempo é incorporado ao capital ao nal de cada período de conversão, de forma que os juros ao - nal do período de conversão seguinte incidem não só sobre o capital inicial, mas também sobre os juros anteriores que foram capitalizados Resulta que o crescimento do ganho é obtido como uma sequência geométrica, isto é, o valor atual depende do valor anterior corrigido pelo juros Se V P é o valor do capital inicial aplicado em regime de juros compostos, i é a taxa de juros por período de conversão e V F n é o valor futuro depois de n períodos de conversão, então V F 1 = V P (1 + i) V F 2 = V F 1 (1 + i) = V P (1 + i) 2 V F 3 = V F 2 (1 + i) = V P (1 + i) 3 V F = V F n = V P (1 + i) n Exemplo 4 Qual o valor futuro da aplicação de R$ 280, 00 durante 4 meses a taxa de 3% ao mês: a em regime de juros simples? b em regime de juros compostos com frequência de conversão mensal? a Em regime de juros simples: V F = V P(1 + in) V F = 280, 00 (1 + 0, 03 4) = 313, 60 b Em regime de juros composto com frequência de conversão mensal: V F = V P(1 + i) n V F = 280, 00 (1 + 0, 03) 4 = 315, 14 Exemplo 5 Um investimento de R$ 200, 00 foi feito em uma caderneta de poupança onde a taxa de juros é de (aproximadamente) 0, 5% ao mês Qual o valor futuro apos 7 meses de aplicação? V F = V P(1 + i) n V F = 200, 00 (1 + 0, 005) 7 = 208, 14 Exemplo 6 Suponha que foi feita uma aplicação de R$ 200, 00 na caderneta de poupança no dia 11 de maio de 2008 Responda: a) Qual seria o valor futuro após 2 meses e 20 dias de aplicação à taxa de 0, 5% ao mês se a frequência de conversão fosse anual? b) Qual é o valor futuro após 2 meses e 20 dias de aplicação à taxa de 0, 5% ao mês com a frequência de conversão sendo mensal? c) Qual seria o valor futuro após 2 meses e 20 dias de aplicação à taxa de 0, 5% ao mês se a frequência de conversão fosse diária? Resposta: a) Como a frequência de conversão é anual o valor futuro (após 2 meses e 20 dias) será de 200, 00 b) Como a frequência é mensal a cada 1 mês completo temos o valor inicial (principal) modicado a juros compostos: V F = 200, 00 (1, 05) 2 = 220, 50 Portanto o valor futuro será de R$ 220, 50 c) Neste caso, como a frequência de conversão é diária e a taxa de juros dada é mensal, convertemos a duração da aplicação (dada em dias) em meses (2 + 2/3) e temos V F = 200, 00 (1, 05) 2+2/3 V F = 220, 50 (1, 05) 2/3 V F = 220, 50 (1, 05) 0,6667 =227, 79 Exemplo 7 Suponha que foi feita uma aplicação de R$ 200, 00 na caderneta de poupança no dia 11 de maio de 2008, e que essa quantia cou aplicada por 3 anos à taxa de 6% ao ano Construir um grá- co do valor futuro em função do tempo no caso da frequência de conversão ser mensal (como é no Brasil) e um gráco do valor futuro em função do tempo se a frequência de conversão fosse anual Observação: São também importantes os conceitos de taxa nominal, taxa efetiva e taxas equivalentes 4 Juros compostos contínuos Para introduzir o conceito de juros compostos contínuos observe a tabela abaixo, onde o capital inicial é V P e a taxa de juros anual é r: 244

A B V F após V F após 1 t ano anos 1 ano 1 V P (1 + r) 1 V P (1 + r) 1t 6 meses 2 V P (1 + r 2 )2 V P (1 + r 2 )2t = 1 2 ano 4 meses 3 V P (1 + r 3 )3 V P (1 + r 3 )3t = 1 3 ano 3 meses 4 V P (1 + r 4 )4 V P (1 + r 4 )4t = 1 4 ano 2 meses 6 V P (1 + r 6 )6 V P (1 + r 6 )6t = 1 6 ano 1 mês 12 V P (1 + r 12 )12 V P (1 + r 12 )12t = 1 12 ano 1 n ano n V P (1 + r n )n V P (1 + r n )nt 0 V P e r V P e rt A: Período de conversão B: Número de períodos de conversão por ano (frequência de conversão por ano) Denição 6 Juros Compostos Contínuos Na situação limite dada na tabela acima, dizemos que o regime é de juros compostos contínuos com taxa de r%, e a fórmula que fornece o valor futuro neste caso é V F = V P e rt (São juros compostos com frequência de conversão innitesimal) Exemplo 8 Que valor deve ser aplicado com taxa de 6, 5% ao ano a juros compostos contínuos para que no nal de 8 anos se resgate R$ 25000, 00? V F = V P e rt 25000, 00 = V P e 0,065 8 V P = 14863, 01 5 Aplicação: comparação de investimentos Vamos vericar agora através de um exemplo que juros compostos contínuos fornecem um valor futuro maior que o mesmo investimento feito a juros compostos discretos Exemplo 9 Quanto a mais você deve receber se investir R$ 1000, 00 por 5 anos com taxa de juros de 8% ao ano a juros compostos contínuos em relação ao mesmo investimento com a mesma taxa e período de aplicação, mas a juros compostos com frequência de conversão trimestral? No caso de juros compostos contínuos: V F = V P e rt V F = 1000, 00 e 0,08 5 = 1491, 82 No caso de juros compostos com frequência de conversão trimestral: n = 20 = no de trimestres, 0, 08/4 = 0, 02 = taxa de juros por trimestre V F = V P (1 + 0, 08/4) n V F = 1000, 00 (1 + 0, 02) 20 V F = 1000, 00 (1, 02) 20 = 1485, 95 Observe que a diferença entre os resultados foi de R$ 5, 87, ou seja, você receberá R$ 5, 87 a mais se investir o valor presente de R$ 1000, 00 a juros compostos contínuos 6 Descontos Denição 7 Desconto (Simples) Denimos desconto (d) como o valor a ser retirado de uma dívida (de valor V P) para que devedor a quite pagando um valor menor (A) Muitas vezes, o desconto é oferecido ao devedor pelo credor para que o devedor pague a dívida antes de seu vencimento, por exemplo Exemplo 10 Quanto foi pago de IPTU cujo valor era de R$ 314, 42, com vencimento em 18/01/2008, se a taxa de desconto simples foi de %10 para quem pagasse antes da data de vencimento: a) no caso de ter sido saldado 2 dias antes do vencimento? b) no caso de ter sido saldado 15 dias antes do vencimento? Em ambos os casos o desconto e o valor pago foi o mesmo: Valor pago: 314, 42 (10% 314, 42) = 282, 98 Desconto: 314, 42 282, 98 = 31, 44 Foi pago de IPTU o valor de R$ 282, 98 e a economia foi de R$ 31, 44 Vamos, analisar dois aspectos do desconto simples: o desconto comercial e o racional Denição 8 Desconto Comercial Simples ou `por fora' Quando um valor V P a ser pago (devido a vencimentos de contas como impostos, cartões de crédito, empréstimos ou compra de algum produto) em uma determinada data, é quitado antes desta data, às vezes ele quitado com um valor A c inferior a V P, isto é, o valor pode receber um desconto d c, conhecido como desconto comercial simples, cujo cálculo é feito através da formula d c = V P it, 245

onde d c é o desconto comercial simples, i é a taxa de desconto comercial simples (por unidade de tempo) e t é periodo que falta para a data de vencimento do título Observação: No caso de desconto comercial simples, o valor A c para quitar a dívida antes do prazo é calculado como A c = V P d c = V P (1 it) Denição 9 Desconto Racional Simples ou `por dentro' O desconto racional simples (ao contrário do desconto comercial simples) é calculado sobre o valor atualizado ou de resgate, isto é, para calcular o desconto usamos a fórmula: d r = A r it, onde d r é o desconto racional simples, i é a taxa de desconto racional simples (por unidade de tempo) e t é o período que falta para a data de vencimento do título e A r é o valor com desconto correspondente Observação: No caso de desconto racional simples, como A r = V P d r, o valor do desconto é dado por d r = V P it 1 + it Exemplo 11 Suponha que eu tenha uma dívida de R$ 20000, 00 para pagar daqui a dois meses Qual é a taxa de desconto que devo ter para, hoje, pagar R$ 18000, 00 pela dívida a) no caso de desconto comercial simples? b) No caso de desconto racional simples? a) no caso de desconto comercial simples: 18000, 00 = 20000, 00(1 2i) 40000, 00i = 2000, 00 i = 005 = 5% A taxa de desconto deve ser de 5% ao mês b) No caso de desconto racional simples: 20000, 00 = 18000, 00 (1 + 2i) 2000, 00 = 36000, 00i i = 00556 = 556% A taxa de desconto deve ser de aproximadamente 5, 56% ao mês 7 Fluxo de caixa Denição 10 Fluxo de caixa Fluxo de caixa (de uma empresa, ou de uma pessoa física) é um diagrama geométrico representando um conjunto de entradas e saidas de valores, dispostos ao longo do tempo Para a construção deste diagrama é necessário um levantamento geral do orçamento da empresa, ou da pessoa física Este orçamento deve conter pagamentos, recebimentos, compras de matérias-prima, compras de materias secundários, salários e outros Abaixo estão apresentado exemplos de orçamento de pessoas físicas, e correspondentes uxos de caixa Exemplo 12 Fluxo de caixa para uma pessoa física com um salário de R$ 1381, 00 1381 152 414 180 207 152 276 30% gastos com prestações (aluguel, por exemplo) e plano de saúde 13% gastos com supermercado (dia 2), 15% gastos com transporte (dia 2), 11% gastos com luz, água, telefones (dias 5 a 10), 20% gastos pessoais (dias 5 a 10), totalizando 89% do salário que, somando com os 11% considerados como entrada (pois são depositados direto na poupança do próprio trabalhador), obtemos então o total de 100% Exemplo 13 Fluxo de caixa para uma pessoa física com um salário de R$ 5000, 00 5000 550 1000 850 850 1000 750 246

20% gastos com prestações (aluguel, por exemplo) e plano de saúde 17% gastos com supermercado (dia 2), 17% gastos com transporte (dias 5 a 10), 20% gastos pessoais (dias 5 a 10), 15% gastos com luz, água, telefones (dias 20 a 25), totalizando 89% do salário usado com despesas que, somando com os 11% depositados na caderneta de poupança, obtemos então o total de 100% Exemplo 14 Fluxo de caixa para uma pessoa física com um salário de R$ 850, 00 850 93,50 212,50 153 127,50 127,50 136 25% gastos com prestações (aluguel, por exemplo) e plano de saúde (dia 2), 18% gastos com supermercado (dia 2), 15% gastos com transporte (dia 2), 15% gastos com luz, água, telefones (dias 5 a 10), 16% gastos pessoais (dias 5 a 10), totalizando 89% do salário usado com despesas que, somando com os 11% depositados na caderneta de poupança, obtemos então o total de 100% [3] Ronald J Harshbager and James J Reynolds, Mathematical applications for the management Life and social sciences, Houghton Miin Company, New York, USA, 2004 [4] J Muccillo Netto, Matemática Aplicada a Finanças (Apostila), São Paulo, 2003 [5] wwwwikipediacombr, ago a out/2008 8 Conclusão Este trabalho foi elaborado visando apresentar pontos da matemática nanceira que possam orientar uma pessoa a fazer negociações Atualmente têm ocorrido grandes facilidades para compra de produtos considerados de alto preço para a classe média da sociedade e também a oferta de empréstimos, e conhecendo como se calcula juros, a população pode analisar qual é a melhor proposta oferecida e se ela cabe em seu orçamento, isto é, se está coerente com seu uxo de caixa Referências [1] Frank Ayres Jr, Matemática Financeira, Mc Graw- Hill, São Paulo, 1971 [2] Dorival Bonora Jr, Matemática nanceira: análise de investimentos, amortização de empréstimos, capitalização, utilização de calculadoras nanceiras, Icone LTDA, São Paulo, 1997 247