Nº 6 NOV. 008 VOL. 6 ISSN 645-5576 CÁLCULO DE ARMADURAS LONGITUDINAIS DE VIGAS RECTANGULARES DE BETÃO ARMADO SUJEITAS A FLEXÃO SIMPLES PLANA DE ACORDO COM O EUROCÓDIGO E. JÚLIO Profeor Auxiliar DEC FCTUC Coimbra SUMÁRIO Nete artigo apreentam-e expreõe de cálculo de viga de betão armado de ecção rectangular ujeita a flexão plana, eguindo a metodologia propota em 985 por D Arga e Lima et al. ma introduzindo a actualizaçõe neceária para ter em conta a 4 clae de reitência de betão e a diferença na curva parábola-rectângulo coniderada no Eurocódigo (Abril 004) face ao REBAP ABSTRACT (Sumário em Inglê) In thi paper are preented deign expreion for reinforced concrete beam with rectangular cro-ection ubjected to pure bending, following the methodology propoed in 985 by D Arga e Lima et al. but introducing the neceary improvement to take into account the 4 trength clae of concrete and the difference in the parabola-rectangle curve conidered in Eurocode (April 004) relatively to REBAP. Revita Internacional Contrulink; Nº 6 NOV. 008 VOL. 6 5
Cálculo de armadura longitudinai de viga rectangulare de betão armado ujeita a flexão imple plana de acordo com o Eurocódigo. INTRODUÇÃO Em 985 D Arga e Lima et al. publicaram um documento [] de extrema importância para o projectita de etrutura, no qual ão fornecido, na forma de tabela/ábaco e de fórmula implificada, meio de dimenionamento de armadura para Etado Limite Último (ELU) de elemento de betão armado ujeito a flexão, imple e compota, plana e deviada. O valore e a expreõe apreentado ão baeado no critério de dimenionamento contante no Regulamento de Etrutura de Betão Armado e Pré-Eforçado (REBAP) [] de 983, ainda em vigor, e para a clae de betõe e tipo de aço aí definido. Tendo em conideração a iminente ubtituição do regulamento nacionai de dimenionamento de etrutura pelo eurocódigo, que e prevê ter lugar até 00, e atendendo à diferença ignificativa entre ete, torna-e neceário proceder a actualizaçõe do meio de cálculo deenvolvido com bae no primeiro. A ubtituição do REBAP pelo Eurocódigo (EC ) [3] implica reformulaçõe profunda para atender a alguma diferença fundamentai no preupoto de cálculo referindo-e, eguidamente, a mai relevante relativa ao materiai. Como reultado do deenvolvimento regitado na formulação de betõe no último ano, a 9 clae de reitência coniderada no REBAP deram lugar a 4 no EC, paando o máximo valor caracterítico da reitência à compreão de 50 MPa para 90 MPa. Como o betõe de elevada reitência exibem relaçõe tenão-extenão diferente da do betõe corrente, no EC, embora endo apreentado um diagrama parábola-rectângulo emelhante ao do REBAP, é de referir a diferença no valore da extenão última e da extenão de tranição do troço parabólico para o rectangular. De alientar ainda o facto do EC não afectar do coeficiente 0,85 o valor de cálculo da tenão de rotura do betão, f cd, ao contrário do REBAP, onde eta correcção é definida para ter em conta o efeito de diminuição da capacidade reitente ob carga contante. No que repeita ao aço, em ambo o regulamento ão coniderado 3 tipo, embora no cao do REBAP o valore caracterítico da tenão de cedência ejam 35, 400 e 500 MPa e, no cao do EC, ejam 400, 500 e 600 MPa. De alientar ainda uma diferença fundamental na extenão última que, no primeiro cao, é de 0 e que, no egundo, admitindo um diagrama de cálculo elático-perfeitamente plático, não tem ite, o que implica que a rotura eja empre pelo betão. Com o preente artigo, reconhecendo a utilidade da publicação do LNEC [], pretende-e dar um contributo para a ua actualização, nomeadamente definindo o valore ite de α, µ e ω acima do quai a rotura é frágil ou a partir do quai é mai racional armar duplamente uma ecção rectangular de betão armado ujeita a flexão imple plana, de acordo com o EC. Apreentam-e ainda expreõe de cálculo da armadura de tracção e de compreão, em função do valore ite anteriormente referido ou de valore ite definido pelo projectita, contituindo dete modo um meio de cálculo mai flexível do que a fórmula implificada apreentada em [], com a vantagem acrecida do reultado erem mai rigoroo.. DIAGRAMAS PARÁBOLA-RECTÂNGULO DO EC Apreentam-e o diagrama parábola-rectângulo definido no EC para a 4 clae de reitência de betõe de denidade normal. De referir ainda que ão coniderado, na Secção do EC, betõe de denidade reduzida (dede,0 até,0), endo neceário, nete cao, corrigir o correpondente diagrama de cálculo. No preente artigo não ão incluído ete betõe, remetendo-e para [4] o leitore intereado no eu etudo. O diagrama parábola-rectângulo, apreentado no EC para dimenionamento de ecçõe de betão armado para ELU, é definido pela eguinte expreõe: σ c c n c f cd 0 para c c () σ c f cd para c c cu () Revita Internacional Contrulink; Nº 6 NOV. 008 VOL. 6 6
Cálculo de armadura longitudinai de viga rectangulare de betão armado ujeita a flexão imple plana de acordo com o Eurocódigo No Quadro indicam-e o valore caracterítico e de dimenionamento da tenão de rotura à compreão do betão, aim como o valore da extenão de tranição do troço parabólico para o rectangular, c, da extenão última, cu, e do expoente, n, neceário à definição do diagrama parábola-rectângulo, para cada uma da clae de reitência coniderada no EC, o quai ão repreentado na Figura. Quadro Parâmetro da expreão do diagrama parábola-rectângulo do EC Clae /5 a 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/05 fck(mpa) ~50 55 60 70 80 90 fcd(mpa) 8,0~33,3 36,7 40,0 46,7 53,3 60,0 c( ),0,,3,4,5,6 cu( ) 3,5 3,,9,7,6,6 n,75,6,45,4,4 A partir da expreão do diagrama parábola-rectângulo do EC podem deduzir-e a correpondente expreõe da reultante da tenõe,, oma da reultante do troço rectangular (F c ) e parabólico (F c ), e repectiva poição da ua linha de acção. Para ecçõe rectangulare, de largura b, ujeita a flexão plana, aumindo a poição do eixo neutro a uma ditância x da fibra mai comprimida, tem-e: F c f cd cu cu c b x (3) n c fcd b x n + cu (4) c fcd + b x n + cu (5) 0,35% 0,30% 0,5% C/5 C50/60 C55/67 C60/75 C70/85 C80/95 C90/05 0,0% 0,5% 0,0% 0,05% 0,00% 0,0 0,0 0,0 30,0 40,0 50,0 60,0 σ (MPa ( ) Figura Diagrama parábola-rectângulo do EC Revita Internacional Contrulink; Nº 6 NOV. 008 VOL. 6 7
Cálculo de armadura longitudinai de viga rectangulare de betão armado ujeita a flexão imple plana de acordo com o Eurocódigo A extenõe ao nível da linha de acção da reultante F c e F c ão, repectivamente: G G c + cu n + 3 n + 4 c (6) (7) Sendo c a ditância da linha de acção da reultante à fibra mai comprimida, vem: F x c c G x F cu c + F + F c c G x cu (8) Subtituindo (3), (4), (6) e (7) em (8) obtém-e: c c ( n )( n ) + + cu c n + cu x (9) A expreõe (5) e (9) podem er reecrita da eguinte forma: fcd k b x (0) c k x () apreentando-e, no Quadro, o valore do coeficiente k e k, para cada uma da clae de reitência coniderada no EC. Quadro Coeficiente para determinação da reultante do diagrama parábola-rectângulo do EC Clae 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/05 k 0,80 0,74 0,695 0,637 0,599 0,583 k 0,46 0,39 0,377 0,36 0,355 0,353 3. VALORES ADIMENSIONAIS DA ÁREA DE ARMADURA E DO MOMENTO RESISTENTE É habitual utilizar valore adimenionai da área da armadura longitudinal de flexão, A, e do momento reitente, M, de uma ecção tranveral de betão armado, o quai e deignam por, repectivamente, percentagem mecânica de armadura, ω, e momento reitente reduzido, µ, podendo er determinado atravé da eguinte expreõe: ω A f bdf cd () µ M bd fcd (3) Em flexão imple plana, para ecçõe implemente armada, a reultante de tracção na armadura iguala a reultante de compreão no betão pelo que o numerador de () pode er ubtituído pela expreão (0). Revita Internacional Contrulink; Nº 6 NOV. 008 VOL. 6 8
Cálculo de armadura longitudinai de viga rectangulare de betão armado ujeita a flexão imple plana de acordo com o Eurocódigo Sendo ainda α a relação entre a poição do eixo neutro, x, e a altura útil da ecção, d, tem-e: ω k α (4) O momento reitente pode er definido, nete cao, como o binário contituído pela reultante de tracção na armadura e de compreão no betão. Subtituindo o numerador de (3) pelo produto da reultante de compreão no betão, dada por (0), pelo braço do binário, dado pela diferença entre a altura útil da ecção, d, e a ditância da linha de acção da reultante de compreão no betão à fibra mai comprimida, c, dada por (), tem-e: ( α ) µ k α k (5) 4. VALORES LIMITE PARA ARMAR SIMPLESMENTE SECÇÕES RECTANGULARES Uma da ituaçõe ite, coniderada em [], é a fronteira entre rotura frágil e rotura dúctil, ou eja, conite em admitir um diagrama de extenõe na ecção em que a fibra mai comprimida de betão apreenta a extenão última e a armadura de tracção aume a extenão de cedência, endo: α cu + cu (6) Introduzindo (6) em (4) e (5) obtêm-e a correpondente expreõe de cálculo do valore ite da percentagem mecânica de armadura e de momento reitente reduzido, repectivamente: ω k cu + cu (7) µ k cu + k cu cu + cu (8) apreentando-e, no Quadro 3, o valore para cada clae de reitência de betão e tipo de aço. Quadro 3 Valore de α, ω e de µ entre rotura frágil e dúctil Clae 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/05 α 0,668 0,64 0,65 0,608 0,599 0,599 S400 α 0,54 0,475 0,434 0,388 0,359 0,350 α 0,39 0,356 0,33 0,30 0,83 0,76 α 0,67 0,588 0,57 0,554 0,545 0,545 S500 α 0,499 0,436 0,397 0,353 0,36 0,38 α 0,37 0,336 0,3 0,8 0,63 0,57 α 0,573 0,543 0,56 0,509 0,499 0,499 S600 α 0,464 0,403 0,366 0,34 0,99 0,9 α 0,353 0,37 0,93 0,64 0,46 0,40 Outra ituação ite, igualmente coniderada em [], repreenta a fronteira a partir da qual é mai racional armar duplamente a ecção. Para uma ecção implemente armada, tem-e: M A f ( d c) (9) Revita Internacional Contrulink; Nº 6 NOV. 008 VOL. 6 9
Cálculo de armadura longitudinai de viga rectangulare de betão armado ujeita a flexão imple plana de acordo com o Eurocódigo Derivando eta expreão em ordem a A, pode determinar-e o incremento de momento reitente com o aumento de armadura de tracção: dm d [ A f ( d c) ] (0) Subtituindo na expreão anterior c pelo valor dado por (), tem-e: dm d [ A f ( d kx) ] () Atendendo a que: F b x F A f fcd k c () a expreão () pode er reecrita na eguinte forma: dm d A f d k A f f cd k b (3) vindo: dm A f f d k f fcd k b [ d k x] (4) Se o aumento de armadura for ditribuído igualmente pela face traccionada e comprimida da ecção, teme que: M A f ( d a) (5) endo a a ditância da fibra mai comprimida da ecção ao centro de gravidade da armadura de compreão. A partir de (5) pode definir-e: dm f ( d a) (6) Para que eja mai racional armar duplamente a ecção, terá de e verificar a eguinte inequação, obtida de (4) e (6): f De onde vem que: [ d k x] < f ( d a) (7) α 4 k a + d (8) Subtituindo (8) em (4) e (5) vem, repectivamente: ω k k 4 a + d (9) Revita Internacional Contrulink; Nº 6 NOV. 008 VOL. 6 0
Cálculo de armadura longitudinai de viga rectangulare de betão armado ujeita a flexão imple plana de acordo com o Eurocódigo µ k k a a + + d 4 d 4 (30) apreentando-e, no Quadro 4, o valore para cada clae de reitência de betão e trê relaçõe a/d: Quadro 4 Valore de de α, ω e de µ função da eficácia do poicionamento do varõe a/d Clae 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/05 α 0,63 0,670 0,696 0,75 0,740 0,744 0,05 ω 0,5 0,497 0,484 0,46 0,443 0,434 µ 0,377 0,366 0,357 0,34 0,37 0,30 α 0,66 0,70 0,79 0,760 0,775 0,779 0,0 ω 0,535 0,5 0,507 0,484 0,465 0,455 µ 0,388 0,377 0,367 0,35 0,337 0,330 α 0,69 0,734 0,76 0,794 0,80 0,85 0,5 ω 0,560 0,544 0,530 0,506 0,486 0,475 µ 0,399 0,388 0,377 0,36 0,346 0,339 Comparando o valore do Quadro 3 com o do Quadro 4, verifica-e que: (a) para betõe de clae uperior a C50/60, a condicionante é empre o ite entre rotura frágil e dúctil (Quadro 3); (b) para betõe de clae inferior ou igual a C50/60 e aço S500 ou S600, a condicionante é a mema (Quadro 3); (c) para betõe de clae inferior a C50/60 e aço S400, a condicionante ainda é a mema (Quadro 3), para a/d0,5, paando a er a eficácia do poicionamento da armadura (Quadro 4), para a/d0,0 e a/d0,05. 5. EXPRESSÕES DE CÁLCULO DE ARMADURAS PARA SECÇÕES RECTANGULARES É útil, em vária ituaçõe prática, poder determinar-e de forma expedita, ainda que aproximada, a área de armadura de tracção e de compreão, em ter que recorrer a cálculo automático ou a tabela/ábaco. Por ete motivo, ão apreentada em [] fórmula implificada. Sendo µ µ, a ecção erá implemente armada. Subtituindo (4) em (5) vem: k ω ω k µ (3) podendo obter-e a expreão de cálculo da percentagem mecânica de armadura: k k ω 4 µ k k (3) µ > µ Se µ µ, a ecção erá duplamente armada. Admitindo que o acrécimo de momento reduzido,, é coneguido atravé da colocação de uma armadura de compreão e de um acrécimo de igual valor de armadura de tracção, mantendo-e a poição do eixo neutro inalterada relativamente à ituação ite coniderada, da expreão (5) pode obter-e: A µ µ f ω b d f cd a d ( d a) (33) de onde e obtém a expreão de cálculo da percentagem mecânica de armadura de compreão: Revita Internacional Contrulink; Nº 6 NOV. 008 VOL. 6
Cálculo de armadura longitudinai de viga rectangulare de betão armado ujeita a flexão imple plana de acordo com o Eurocódigo µ ω a d µ (34) endo a percentagem mecânica de armadura de tracção dada por: ω ω + ω (35) De notar que a expreõe de cálculo da percentagem mecânica de armadura propota, (3), (34) e (35), além de actualizada de acordo com o EC, apreentam alguma vantagen relativamente à fórmula implificada de [], nomeadamente: a expreão (3), para o cao de ecçõe implemente armada, é exacta; e a expreõe (34) e (35), para ecçõe duplamente armada, permitem ao projectita utilizar o valore ite, dado no Quadro 3 e 4, ou, em alternativa, utilizar valore ite definido pelo próprio. Exemplificando, o projectita pode entender coniderar, em lugar do valor dado por (6), o ite: α cu cu + m (36) endo m um real uperior ou igual a. Nete cao, ubtituindo (36) em (7) e (8), tem-e: ω k cu cu + m (37) µ k cu + m k cu cu cu + m (38) Aim, cao o momento reduzido actuante eja uperior ao valor dado por (38), é igualmente poível utilizar a expreõe (34) e (35) para determinar a armadura de tracção e de compreão, tendo o diagrama de extenõe na rotura ido definido pelo projectita, em função da ductilidade pretendida. 6. CONCLUSÕES A alteraçõe introduzida pelo EC, relativamente ao REBAP, tornam oboleto documento de enorme importância para o projectita de etrutura de betão armado, a meno que eja feito um eforço de actualização e melhoramento dete. Com o preente artigo, pretende-e dar um ingelo contributo no que repeita ao dimenionamento de viga de ecção rectangular ujeita a flexão plana imple, matéria abordada em []. Com a conideração de 4 clae de reitência de betão, o número de ituaçõe a coniderar para a definição de valore ite para armar imple ou duplamente o tipo de viga anteriormente referido, de acordo com o EC, aumentou ubtancialmente, relativamente ao REBAP. Além dio, com a diferente curva parábola-rectângulo, o valore fornecido em [] deixam de er aplicávei. No Quadro 3 e 4 apreentam-e o valore actualizado. Tendo em conta o facto de, actualmente, erem grande a potencialidade da calculadora de bolo, coniderou-e jutificável apreentar a expreão exacta de cálculo da percentagem mecânica de armadura, em lugar de uma fórmula implificada, para o cao de ecçõe implemente armada: expreão (3). Para o cao de ecçõe duplamente armada, coniderou-e mai intereante apreentar a expreõe de cálculo da percentagem mecânica da armadura de tracção e de compreão, (34) e (35), em função do valore ite, podendo er uado o valore tabelado no Quadro 3 e 4 ou utilizado valore ite definido pelo projectita. Revita Internacional Contrulink; Nº 6 NOV. 008 VOL. 6
Cálculo de armadura longitudinai de viga rectangulare de betão armado ujeita a flexão imple plana de acordo com o Eurocódigo 7. REFERÊNCIAS [] D ARGA E LIMA, J., MONTEIRO, V., MUN, M., Betão Armado. Eforço Normai e de Flexão (REBAP 83), Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Liboa, 985. [] REBAP Regulamento de Etrutura de Betão Armado e Pré-Eforçado, Dec.-Lei N.º 349-C/83 de 30 de Julho, 983. [3] EN 99--, Eurocódigo : Projecto de Etrutura de Betão. Parte -: Regra gerai e regra para edifício, CEN, Abril 004 (verão Portuguea). [4] LOURENÇO, J., JÚLIO, E., MARANHA, P., Betõe de Agregado Leve. Guia para a ua Utilização, APEB, 004. EDUARDO NUNO BRITO SANTOS JÚLIO Profeor no DEC FCTUC Vice-Preidente do Conelho de Departamento Vice-Preidente da Comião Científica e Preidente da Coordenação do Metrado em Reabilitação do Epaço Contruído Coordenador do Grupo Structural Concrete do Intitute for Sutainability and Innovation in Structural Engineering (ISISE). Director da revita Contrução Magazine. Epecialita em Etrutura e vogal do Colégio de Engenharia Civil da Ordem do Engenheiro Conultor em reabilitação e reforço etrutural Autor de uma patente e de cento e quarenta publicaçõe tecnico-científica. Revita Internacional Contrulink; Nº 6 NOV. 008 VOL. 6 3