Resolução - Lista 3 Cálculo I Exercício 1 página 61: Encontre as funções compostas,,, e determine o domínio de cada uma delas, para cada par de funções e dados: c) = e = + 2 Calculando : = = Encontrando o domínio de : 1 = Não existem restrições para a função =, logo o domínio da função será: = R Calculando : = + 2= +2 + 2 + 2 Encontrando o domínio de : Não existem restrições para a função + 2= +2 + 2 + 2, logo o domínio da função + 2 será: = R Calculando : = +2= Encontrando o domínio da função +2= :
Neste caso existe uma restrição. O denominador da fração deve ser diferente de 0. Logo temos: + 2 0 + 2) 0 Como neste curso estamos interessados em domínios que estejam contidos nos reais, temos que o domínio da função será: = R 0 Calculando : = 1 = 1 +2 Neste caso existe uma restrição. O denominador da fração deve ser diferente de 0. Logo temos: Logo temos que 0. 0 e 0 Portanto o domínio da função será: = R 0 Exercício 2 página 62: Expresse cada uma das funções dadas como composição de duas outras funções. a) =7 Podemos observar que o fator 7 pode ser representado por uma função ficando: =7 A outra parte da função que é a parte que tem o expoente pode ser representada por uma função, onde será: =
Quando fazemos obtemos a função : 7 =7 = Logo as funções que compostas formam são = e =7. b) =cos Podemos observar que pode ser representada por uma função tal que: = A outra parte da função, a parte que tem cosseno, pode ser representada por uma função tal que: =cos Quando fazemos a composição de funções, obtemos a função : =cos = Logo as funções que quando compostas formam são = e =cos c) = Podemos observar que 2 pode ser representada por uma função tal que: = 2 A outra parte da função pode ser representada por uma função tal que: = 1 Quando as funções e são compostas, obtemos a função : = 2= = d) = sin Podemos representar sin por uma função tal que: =sin
Também podemos representar a outra parte da função como uma função, tal que: = Quando compostas as funções e, obtemos a função : =sin= sin= Exercício 3 página 77: Determine a inversa de cada função dada e dê sua expressão como uma função de x. b) = +2 Para encontrar a inversa, devemos isolar. Para facilitar a álgebra, =: = +2 = +2 2= = 2 = 2 Escrevendo a função em termos de x, obtemos: = 2 c) =3+ 2 Novamente, para encontrar a inversa, devemos isolar. Para facilitar a álgebra, =: =3+ 2 3= 2 3 2+ 3 = Escrevendo a função em termos de x, obtemos: = 3 +2 = 2 Exercício 9 página 78: Uma cultura de bactérias cresce segundo a lei =10, onde é o número de bactérias em horas, 0, e e são constantes estritamente positivas. Se após 2 horas o número inicial de bactérias, 0, é duplicado, após 6 horas qual será o número de bactérias?
A função =10 nos diz quantas bactérias existem numa cultura em função do tempo t. Segundo enunciado, e são constantes positivas e o tempo deve ser 0. Para a resolução deste exercício, devemos descobrir os valores das constantes e antes de encontrar o número de bactérias na cultura após 6 horas. Primeiramente, pode-se encontrar quantas bactérias existiam na cultura no instante inicial, tomando como o início =0 e assim encontrando 0: Para =0 horas temos: =10 0=10 0= Portanto a constante é igual ao número inicial de bactérias na cultura. A função pode ser reescrita como: =010 Agora, o enunciado nos diz que a quantidade de bactérias na cultura após 2 horas será o dobro da quantidade inicial, em outras palavras: 2=20 Através dessa informação, conseguimos encontrar o valor da constante fazendo: 2=010 20=010 2=10 Aplicando o logaritmo de base 10 para retirar do expoente: log2=log10 log2=2 = =0,150514997 Obs: Quando omitida a base do logaritmo, normalmente trata-se da base 10. Agora que conhecemos os valores das constantes e, podemos encontrar a quantidade de bactérias na cultura após 6 horas em termos de 0: 6=010,. 6=80 Resposta: Após 6 horas, o número de bactérias é 8 vezes maior do que a quantidade inicial de bactérias. Exercício 10 página 78: Suponha que uma determinada substância radioativa se desintegre de acordo com a função = 2,, onde é a quantidade após anos, é a quantidade inicial e é o tempo decorrido, em anos. Sabemos que a
quantidade da substância está reduzida à metade da quantidade inicial. Quanto tempo já passou? Segundo o enunciado, a função = 2, representa a quantidade de uma substância radioativa que varia com o tempo. O enunciado nos diz que a quantidade de substância se reduziu pela metade, portanto: = = 2, = 2, =2, 2 =2, Por propriedade de exponenciais, sabemos que =2, logo podemos fazer: 2 =2, Utilizando a propriedade de potências de mesma base, podemos igualar os expoentes: 1= 0,05 =20 anos Resposta: O tempo necessário para que a massa da substância radioativa diminua pela metade é de 20 anos.