GEOMETRIA MÉTRICA 1- I- PRISMA 1- ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO Considere o prisma: As bases são polígonos congruentes. Os prismas são designados de acordo com o número de lados dos polígonos das bases. BASES triângulos quadriláteros pentágonos hexágonos e assim por diante PRISMA triangular quadrangular pentagonal hexagonal Se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, o prisma é dito reto. Se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases, o prisma é dito oblíquo. O prisma será regular quando for reto e sua base for um polígono regular. - ÁREAS E VOLUMES A Superfície lateral base.1- ÁREA a) Área de uma face lateral É a área de uma das faces laterais que constituem o prisma. b) Área lateral Adicionando todas as áreas das faces laterais, encontramos a área lateral A l do prisma: A l = n. A n = nº de faces laterais
c) Área da base É a área A b da base do prisma. d) Área total É a soma A t de todas as áreas das faces do prisma: A t = A l + A b.- VOLUME O volume V de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura h: V = A b. h - PARALELEPÍPEDO Denomina-se paralelepípedo o prisma no qual as seis faces são paralelogramos. oblíquo reto.1- Paralelepípedo retângulo ou ortoedro a = comprimento b = largura c = altura d = diagonal Diagonal Área total Volume D = a b c A t = (ab + ac + bc) V = abc 4- CUBO Quando as três dimensões são iguais, ou seja a = b = c, o paralelepípedo é denominado cubo. D = a A t = 6a V = a II- PIRÂMIDE 1- Classificação e elementos Uma pirâmide é dita regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base. As pirâmide são classificadas de acordo com o número de lados dos polígonos da base: BASE triângulo quadrilátero pentágono hexágono e assim por diante PIRÂMIDE triangular quadrangular pentagonal hexagonal
Numa pirâmide regular, convém destacar: 1º) 0 polígono da base é regular, de lado l, e, portanto, inscritível numa circunferência de raio OA = R, chamado raio da base. º) 0 ap6tema do polígono regular da base é chamado apótema da base e sua medida será indicada por m. º) As arestas laterais são congruentes e sua medida será indicada por a. 4º) As faces laterais são triângulos isósceles congruentes. 5º) A altura de uma face lateral (é a altura relativa à base de um triângulo isósceles) é chamada apótema da pirâmide e sua medida será indicada por g. - Áreas e volumes A t = A l + A b V = 1.Ab. h - TETRAEDRO - É o sólido que possui, no total, quatro faces. O tetraedro é, pois, uma pirâmide de base triangular. Quando todas as faces do tetraedro são triângulos eqüiláteros, ele se diz regular. Apótema lateral g = a Altura a 6 h Área da base a Ab 4 Área total A a Volume t a V 1 4- Tronco de pirâmide 1- Classificação e elementos - Um cilindro pode ser classificado em: III- CILINDROS
Cilindro oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases. Nesse caso, a secção meridiana é um paralelogramo. Cilindro reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. Nesse caso, a secção meridiana é um retângulo. Num cilindro reto, a geratriz e a altura são iguais(g = h). Se a altura do cilindro for igual ao diâmetro da base, ou seja, h = R, então a secção meridiana é um quadrado e o cilindro é chamado cilindro eqüilátero. - Áreas e Volumes IV- CONE 1- Classificação e Elementos Um cone pode ser classificado em: Cone oblíquo: quando o eixo é oblíquo à base. Cone reto: quando o eixo é perpendicular à base. Cone eqüilátero: quando a secção meridiana for um triângulo eqüilátero, ou seja, g = r.
- Áreas e Volumes - Setor Circular Comprimento do arco de circunferência em graus l =. R. em radianos l =. R 180º Área do setor circular A setor = l.r 4- TRONCO DE CONE V- ESFERA É o conjunto de todos os pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. O conjnto de todos os pontos P do espaço cujas distâncias ao ponto O são iguais a R é denominada superfície esférica de centro O e raio R. 1- FUSO ESFÉRICO É a parte da superfície esférica compreendida entre dois semicírculos máximos com o mesmo diâmetro. A fuso = R A fuso = R 90º
- CUNHA ESFÉRICA É o sólido limitado por dois semicírculos e pela superfície do fuso. V cunha = V cunha = R R 70º VI- POLIEDROS Denomina-se poliedro o sólido limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum.geométrico Ex: Os polígonos são denominados faces do poliedro. Os lados e os vértices dos polígonos denominam-se, respectivamente, arestas e vértices do poliedro. 1- Poliedros Convexos e não-convexos Um poliedro é dito convexo quando o segmento de reta que une dois quaisquer de seus pontos está contido no poliedro. Em caso contrário, é não-convexo. - Relação de Euler Em todo poliedro convexo, vale a relação: V = número de vértices V A + F = A = número de arestas F = número de faces - Propriedade dos poliedros convexos Num poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as faces é dada por: S = (V ) 60º 4- Poliedros regulares ou poliedros de Platão Um poliedro convexo é dito regular quando as suas faces são polígonos regulares e congruentes, e todos os 6angulos poliédricos são congruentes. Há somente cinco poliedros regulares, que são: Poliedro Face V A F Tetraedro Triangular 4 6 4 Hexaedro Quadrangular 8 1 6 Octaedro Triangular 6 1 8 Dodecaedro Pentagonal 0 0 1 Icosaedro Triangular 1 0 0
Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro