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Assunto: Estruturas Isostáticas Momento Fletor e Cortante Prof. Ederaldo Azevedo Aula 6 e-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br

6.1 Generalidades As forças são classificadas em: externas e internas. Todos os corpos rígidos, ao serem submetidos a forças externas: ativas (cargas) e reativas (reações de apoio), apresentam mudança da forma geométrica (deformações). No momento em que um corpo deforma, entra em estado de tensão. Tensão é o estado que a matéria assume decorrente de uma deformação.

6.1 Generalidades As forças se transmitem internamente de um ponto a outro em um determinado elemento estrutural, por meio das tensões. A capacidade de transmissão de cargas está associada às tensões admissíveis dos materiais de que são compostos os elementos estruturais. Isso significa que, dependendo do material de que é constituído determinado elemento estrutural, maior ou menor será a sua capacidade de transmissão de cargas.

6.2 Esforços Internos As Forças internas são os esforços originados das tensões desenvolvidas pelos materiais que constituem os corpos rígidos. As Forças internas são responsáveis por manterem unidos os vários pontos materiais que constituem um corpo rígido. Determinar os esforços internos implica, determinar o estado de tensão a que o elemento está submetido.

6.2 Esforços Internos Para evidenciar as forças internas é necessário separar o elemento estrutural em análise em duas partes, através de um plano de corte imaginário. Este procedimento é conhecido como método dos cortes ou método das seções. Neste estudo, serão abordados os esforços internos associados ao estado simples e duplo de tensão. Esforço cortante Q, Esforços normais N e Momento Fletor M

6.2.1 Determinação dos Esforços Internos A Determinação dos esforços internos independe das características dos materiais. Os Esforços Internos depende somente da forma geométrica e dos esforços externos ativos e reativos e portanto é um problema que pode ser resolvido pela mecânica estática. A determinação dos esforços internos é de fundamental importância para o dimensionamento correto dos elementos estruturais.

6.2.1 Determinação dos Esforços Internos Por exemplo: de posse do valor do Momento fletor máximo de uma viga, o profissional calculista terá condições de estimar as dimensões desta. De acordo com a Primeira Lei de Newton, para que uma estrutura esteja estável, ou seja, em equilíbrio é necessário que o somatório de todas as forças externas e o somatório de todos os momentos de força que atuam no sistema sejam iguais a zero. (Fx=0) (Fy=0) (M=0)

6.2.1 Determinação dos Esforços Internos Sendo o sistema carregado por uma carga vertical uniformemente distribuída, cada apoio é responsável pela absorção de 50% da carga vertical aplicada, ou seja, cada apoio tem que resistir a 50% do peso da trave(vão).

6.2.1 Determinação dos Esforços Internos Já a carga horizontal deverá ser absorvida em uma das vinculações(apoio) do sistema. Assim, podemos afirmar que o sistema apresenta um equilíbrio global. Agora separando parte do sistema(fig. a seguir), é possível observar que o somatório das forças atuantes é diferente de zero, o que indica que a parte do sistema em análise não está em equilíbrio.

6.2.1 Determinação dos Esforços Internos Se o sistema (como um todo) está estável, como pode parte dele não estar em equilíbrio? È que na realidade o sistema não pode ser analisado em partes separadas, pois o elemento estrutural é um conjunto monolítico, em que cada parte tem responsabilidade com outra parte. A parcela de carga ativa que falta para estabelecer o equilíbrio é fornecida pela parte suprimida da parte em análise em

Analisando a figura acima, concluimos que os equilibrios vertical e horizontal estão garantidos. E, Q é o esforço interno que garante o equilibrio vertical do elemento em análise; Q é o esforço cortante. O esforço cortante é responsável pela transmissão de cargas oriundas das tensões de corte. Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 6.2.1 Determinação dos Esforços Internos

6.2.1 Determinação dos Esforços Internos N é o esforço normal(perpendicular) horizontal, responsável pela transmissão de cargas oriundas das tensões de tração ou compressão. Uma viga ao ser submetido a deformações curvas(fig. abaixo), o elemento entra em estado de tensão de flexão, em que existe uma variação de um: Estado máximo de tensão de flexão, em que existe uma variação de um: Estado máximo de tensão de compressão até um: Estado máximo de tensão de tração, passando por uma linha neutra.

6.2.1 Determinação dos Esforços Internos

6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas Conceito de viga: é um elemento estrutural, cuja forma geométrica é a de uma barra prismática(prisma) longa, em que dimensão e comprimento são bem maiores que as dimensões da seção.

Para dimensionar a seção de uma viga, é necessário, portanto determinar os esforços cortantes e os momentos fletores decorrentes das tensões a que a viga está submetida. Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas Estruturalmente, a principal função das vigas é absorver as cargas verticais e transmiti-las horizontalmente até os pontos de apoio, geralmente pilares. Geralmente, as vigas por estarem submetidas a esforços verticais, desenvolvem somente tensões de flexão e tensões de corte, que dão origem aos esforços cortante e aos momentos fletores.

Por convenção, os sentidos arbitrados das reações e momentos nos diagramas abaixo serão utilizados para cálculo dos esforços internos em todos os problemas apresentados daqui em diante. Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas Como já vimos as forças internas aparecem aos pares com sentidos opostos. Deste modo a parte esquerda da seção age sobre a parte direita, da mesma forma que a direita age sobre a esquerda. Assim, o sentido das forças será definido quando o elemento estrutural fica a esquerda da seção ou quando fica a direita da seção.

6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas

6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas Se analisarmos direito os diagramas de corpo livre dos dois segmentos, verifica-se que os esforços internos que surgem no ponto seccionado têm o mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários, condição necessária para satisfazer a Terceira lei de Newton e manter o equilíbrio interno. Segundo a terceira lei de newton, para cada força aplicada a um corpo esse tende a devolver uma outra força de mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário/ toda ação provém uma reação.

6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas Para determinação dos esforços cortante e momento fletores adotaremos(esforços internos) o mesmo sistema de referencia que adotamos para calculo de reação de apoio, ou seja: Sentido horário = (+) Força para cima = (+) ; força para baixo =( -) Força seta para direita =( +); força seta para esquerda = (-)

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. A partir do modelo estrutural, verificam-se as cargas ativas atuantes, traça-se o diagrama de corpo livre e calculam-se as reações de apoio por meio das equações de equilíbrio já estudadas no capítulo anterior. Assim considerando o até agora estudado segue exercício resolvido. Exercício clássico: 1) Determinar os esforços internos(momento fletor e Cortante) da viga isostática abaixo:

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Resolução: as reações de apoio já foram determinadas em exercício anterior e é o seguinte: RH=0; RV1=qL/2 ; RV2=qL/2

No modelo deste exercício existe apenas um trecho. Portanto ele será seccionado apenas uma vez. Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Determinado o equilíbrio externo do elemento, o próximo passo é verificar os trechos de continuidade de carga. Onde houver descontinuidade no carregamento ativo significa que existem trechos que se comportam de forma diferente. Sendo assim é necessário que cada trecho seja analisado individualmente. Para proceder à analise dos esforços internos, é necessário dividir a viga em trechos de continuidade e verificar as forças atuantes em cada trecho.

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Escolhido o ponto do trecho a ser seccionado, traça-se o diagrama de corpo livre de um dos segmentos A-S1 ou B- S1, com todas as forças externas envolvidas e com os respectivos esforços internos que surgem no ponto seccionado.

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Analise dos esforços internos a partir do segmento esquerdo A-S1. Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 N + 0 =0 N=0 (esforço normal) Fy = 0 ql/2 qx - Q = 0 Q= ql/2-qx(esforço cortante) MS1 = 0 - M + (N x 0) + (Qx 0) - (q.x.x/2) + (ql/2.x) = 0 - M - qx²/2 + qxl/2=0 - M= +qx²/2-qxl/2 - M= +qx²/2-qxl/2 (x -1) M= -qx²/2+qxl/2 (momento fletor)

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Análise dos resultados: O esforço normal é nulo, e isso é porque não existem forças externas horizontais ou diagonais atuando na viga; O resultado obtido para o esforço cortante é uma equação de 1º grau do tipo: Y= ax + b, equação geral da reta, donde: y= Q; a= q; b= ql/2; O resultado obtido para o momento fletor é uma equação de 2º grau do tipo: Y= ax² + bx + c, equação da curva, donde: Y= M; a= q; b= ql; c= constante;

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Análise dos resultados: Como os valores de Q e M são obtidos em forma de equação, é possível determinar o valor dos esforços internos em qualquer ponto da viga, transformando as equações em funções de x, onde x é uma variável contida no intervalo fechado ( 0 a L) que representa o tamanho da viga. Assim, para a equação do cortante, Q(x) = -qx + ql/2 (0;L) Δx 0 a L (substituindo valores como:) x=0 Q= ql/2 x=l/2 Q=zero(na metade da viga esforço cortante é zero); x=l Q= -ql/2

Para facilitar a visualização das deformações provocadas pelos esforços internos atuantes nos elementos estruturais, é possível traçar gráficos a partir dos valores obtidos por meio das funções; Esses gráficos são chamados de diagrama dos esforços internos. Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Análise dos resultados: Para a equação do momento fletor, M(x)= -qx²/2 + qxl/2 (0;L) Δx 0 a L (substituindo valores como:) x=0 M=zero x=l/2 M=qL²/8 x=l M=zero.

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Diagrama dos esforços internos: O diagrama dos esforços internos é representado no plano cartesiano. Para cada tipo de esforço é traçado um diagrama.

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Nota: 1. O eixo das abscissas(x) representa o eixo geométrico da viga; 2. O eixo das ordenadas(y) representa os esforços internos; 3. Observe que o valor do momento é máximo, no ponto em que o esforço cortante é nulo. Essa é uma características das vigas simplesmente apoiada; 4. Em muitos países, incluindo o Brasil, o gráfico usado para traçar o diagrama do momento fletor é traçado com eixo das ordenadas apontado para baixo, porque, dessa forma, a representação gráfica apresenta uma grande semelhança com as deformações causadas pelos momentos fletores.

Nota: 1. O gráfico do diagrama do momento fletor já está representado com o eixo das ordenadas apontando para baixo; 2. Os resultados obtidos nessa análise são exatamente os mesmos da análise anterior. 6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas.

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Exercício Resolvido 01: Considerando o modelo estrutural com suas cargas ativas e reativas, determinar: a)os esforços internos(cortante e momento fletor); b)traçar os diagramas dos esforços internos.

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Resolução:

+ Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Resolução: ESFORÇOS INTERNOS ATUANTES NO TRECHO 1 ( 0;5) zero DCL - SEGMENTO ESQUERDO q= 1,8 KN/m Q1 M1 N1 3.375 kn x S1 Sistema de Referência (SR) + + - -

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Equações de Equilíbrio (EE) cortante) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 N1 + 0 =0 N1=0 (ESFORÇO NORMAL) Fy = 0 3,375 1,800.X Q1 = 0 Q1= -1,800.X + 3,375(esforço MS1 = 0 - M1 - (1,8.x.x/2) + (3,375.X) = 0 fletor) M1= -0,9 X² + 3,375.X M1= -0,9 X² + 3,375.X (momento

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. ESFORÇOS INTERNOS ATUANTES NO TRECHO 2 ( 5;7,5), em função da descontinuidade da viga a partir do ponto 5m as equações são diferentes. Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 N2 + 0 =0 N2=0 (ESFORÇO NORMAL) Fy = 0-1,800.x + Q2 = 0 Q2= -1,800.X (esforço cortante) MS2 = 0 +(1,800.x.x/2) + M2 = 0 M2= -900 X² M2= -0,9 X² (momento fletor)

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Traçar o diagrama de esforços internos. P/ Trecho 1 que possuem equações definidas para intervalo: (0;5) Δx 0 a 5 X=0 substituindo na equação(q1= -1,800.X + 3,375), Q=3,375 e na equação M1= -0,9 X² + 3,375.X e M1=0 X=5 substituindo na equação(q1= -1,800.X + 3,375), Q= -5,625 e na equação M1= -0,9 X² + 3,375.X e M1=-5,625. Obs.: é possível observar que os valores, em determinado momento, passam de positivos a negativos. Isso indica que existe um ponto da viga em que o esforço cortante é nulo e que o momento fletor é máximo. Para saber qual é esse ponto, é necessário igualar a equação que determina o esforço cortante a zero.

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Logo: igualando Q1= -1800.X + 3,375 a zero temos: -1,800.X + 3,375=0-1,800.X= - 3,375 X=3,375/1,800 X= 1,875m Logo na posição X=1,875m o esforço cortante é zero e o momento fletor é máximo. E o valor do Mf em 1,875 m é: M1= -0,9 X² + 3,375.X M= -0,9.1,875² + 3,375.1,875 = - 3,164+ 6.328 Mf = 3,164 KNm

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. E o valor do Mf no ponto 5,00 é: M1= -0,9 X² + 3,375.X M = -0,9.5² + 3,375.5 Mf= - 22,5 + 16,87 Mf=-5,63 KNm é momento fletor máximo da viga.

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. E Para saber em que ponto o momento fletor é zero para o trecho 1, é necessário igualar a equação que determina o momento fletor a zero. Logo: igualando M1= -0,9 X² + 3,375.X a zero temos: -0,9 X² + 3,375.X =0-0,9 X² + 3,375X=0 X(-0,9X + 3,375)=0 X= 0-0,9X=-3,375 X= 3,75 m Logo na posição X=3,75m o momento fletor é zero.

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. a 2,5 P/ Trecho 2 que possuem equações definidas para intervalo: (5;7,5) Δx 0 X=0 substituindo na equação(q2= -1,800.X), Q=0 e na equação M2= -0,9 X² e M1=0 X=2,5 substituindo na equação(q2= -1,800.X), Q=4,5 e na equação M2= -0,9 X² e M1=- 5,625

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Assim fazendo o diagrama temos:

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Exercício resolvido: Considerando o modelo estrutural, determinar: a) Os esforços internos(cortante, normal e momento fletor) para as seções transversais S1, S2 e S3.

6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas isostáticas. Resolução:

Seção S1 DCL - SEGMENTO ESQUERDO Resolução: A 12,5 kn 1,0 m S1 Q1 N1 Escolhemos a parte esquerda da viga, devido ao menor número de forças externas aplicadas. Equações de Equilíbrio (EE) M1 Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Os sinais positivos de N1 e M1 indicam que os esforços solicitantes Fx = 0 N1=0 Fy = 0 12,5 Q1 = 0 Q1= 12,5 kn Ms1 = 0 (N1 x 0) + (12,5x 0) - M1 + Q1.x1= 0 - M1 + Q1=0 M1=Q1 M1=12,5 kn.m

Seção S2 Escolheremos, de novo, a parte esquerda devido ao menor número de forças externas aplicadas. Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 N2=0 Fy = 0 12,5 5 Q2 = 0 Q2= 7,5 kn Ma = 0 (N2 x 0) + (12,5x 0) - M2 + Q2 x 3 + 1,5x5= 0 0 + 0 - M2 + 3Q2 + 7,5=0 - M2 + 3x7,5 + 7,5=0 M2=30 kn.m

Seção S3 Neste caso será mais cômodo trabalhar com a parte direita da viga: Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 N3=0 Fy = 0 Q3 15+17,5 = 0 Q3= - 2,5 kn Mb = 0 (N3 x 0) + (17,5x 0) + M3 - Q3x2,5 +15x2= 0 0 + 0 - M3 -(-2,5.Q3) + 30=0 - M3 + 2,5.Q3 + 30=0 - M3 + 2,5x2,5+ 30=0 - M3 + 6,25+30=0 - M3= - 36,25 kn.m M3= 36,25 kn.m

Exercício: Determinar as expressões de força cortante(q) e momento fletor(m), e construir os respectivos diagramas na viga com cargas concentradas abaixo.

Exercício: Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 N1=0 Fy = 0 12,5 Q1 = 0 Q1= 12,5 kn Ms1 = 0 - M1 + Q1.x= 0 - M1 + Q1X=0 M1=Q1X M1=12,5X

Exercício: Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 N2=0 Fy = 0 12,5 5 Q2 = 0 Q2= 7,5 kn Ma = 0 - M2 + Q2 X + 1,5x5= 0 - M2 + Q2X + 7,5=0 - M2 + 7,5X + 7,5=0 M2= 7,5X + 7,5

Exercício: Equações de Equilíbrio (EE) Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Fx = 0 N3=0 Fy = 0 Q3 15+17,5 = 0 Q3= - 2,5 kn Mb = 0 + M3 - Q3X +15x2= 0 - M3 -(-X.Q3) + 30=0 - M3 + Q3X + 30=0 - M3 + 2,5X+ 30=0 - M3 + 2,5X+30=0 M3= 2,5X + 30