1. (Uerj 2001) Mostre que, em 1 de outubro de 2000, a razão entre os números de eleitores de A e B era maior que 1. TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES. (Uerj 2001) Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções: A(t) = 2.10 (1,6) B(t) = 4.10 (0,4) Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1 de janeiro de 2000. 2. Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores. 3. Calcule x de modo que se obtenha 10 Ñ = 1 4. (G1) Resolva a equação 2Ñ = 128 5. (Puc-rio 2005) Determine uma das soluções da equação 1
6. (Uerj 2003) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a.bñ, conforme o gráfico a seguir. Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. 7. (Uff 99) Resolva o sistema ý3ñ + 3Ò = 36 þ ÿ3ñ Ò = 243 8. (Uff 2002) a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio: "Como 1/4>1/8 tem-se (1/2) >(1/2) e conclui-se que 2>3." Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão absurda. b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação: 2
9. (Ufsc 96) Determinar o valor de x na equação 5Ñ +5Ñ+5Ñ =775. 10. (Ufsc 99) O valor de x, que satisfaz a equação 2 Ñ - 3.2Ñ = 32, é: 11. (Unb 98) Em um experimento com uma colônia de bactérias, observou-se que havia 5.000 bactérias vinte minutos após o início do experimento e, dez minutos mais tarde, havia 8.500 bactérias. Suponha que a população da colônia cresce exponencialmente, de acordo com a função P(t) = P³eÑ, em que P³ é a população inicial, x é uma constante positiva e P(t) é a população t minutos após o início do experimento. Calcule o valor de P³/100, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 12. (Unesp 96) Os biólogos dizem que há uma alometria entre duas variáveis, x e y, quando é possível determinar duas constantes, c e n, de maneira que y=c.x¾. Nos casos de alometria, pode ser conveniente determinar c e n por meio de dados experimentais. Consideremos uma experiência hipotética na qual se obtiveram os dados da tabela a seguir. Supondo que haja uma relação de alometria entre x e y e considerando log 2=0,301, determine o valor de n. 3
13. (Unesp 99) Duas funções f(t) e g(t) fornecem o número de ratos e o número de habitantes de uma certa cidade em função do tempo t (em anos), respectivamente, num período de 0 a 5 anos. Suponha que no tempo inicial (t = 0) existiam nessa cidade 100 000 ratos e 70 000 habitantes, que o número de ratos dobra a cada ano e que a população humana cresce 2 000 habitantes por ano. Pede-se: a) As expressões matemáticas das funções f(t) e g(t). b) O número de ratos que haverá por habitante, após 5 anos. 14. (Unesp 2003) Resolva as equações exponenciais, determinando os correspondentes valores de x. a) 7Ñ + 7Ñ + 7Ñ = 57 b) (1/3)Ñ + (1/3)Ñ - (1/3)Ñ = -207 15. (Unicamp 2002) Considere a equação 2Ñ + m2 Ñ - 2m - 2 = 0, onde m é um número real. a) Resolva essa equação para m = 1. b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real. 16. (G1) A carga de um elétron é - 0,00000000000000000016C. Escreva esse número em notação científica. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Ufmt 96) Na(s) questão(ões) a seguir julgue os itens e escreva nos parênteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso. 17. Com relação à função f(x) = añ, sendo a e x números reais e 0 < a 1, julgue os itens. ( ) A curva representativa do gráfico de f está toda acima do eixo x, pois f(x) > 0 para todo x. ( ) Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,1). ( ) A função é crescente se 0 < a <1. ( ) Sendo a = 1/2, então f(x) > 2 se x > 1. 4
18. (Uem 2004) Sobre exponenciais, assinale o que for correto. 01) A única solução da equação e Ñ + 1 = 2e Ñ é x = 0. 02) A inequação 3Ñ + 3Ñ - 3Ñ > 33 tem conjunto-solução S = {x Æ R; x > 2}. 04) O sistema exponencial ýeñ - eò = 0 þ ÿe Ñ - e Ò = 0 tem solução S = {(0,0)}. 08) Os gráficos das funções f e g definidas por f(x) = eñ e g(x) = x se interceptam apenas em dois pontos e, assim, a equação f(x) = g(x) não possui solução. 16) (eñ + eò)/(eñ - eò) = eñò apenas quando x = -1. 32) Se as funções exponenciais A(t) = e e B(t) = e descrevem o comportamento de uma colônia de bactérias submetidas às drogas A e B, respectivamente, onde o tempo t é dado em dias, então pode-se afirmar que a droga A é menos eficiente que a droga B, para eliminar a colônia. 5
19. (Uepg 2001) Sobre as funções mostradas a seguir assinale o que for correto. 01) f(x) e g(x) têm as mesmas raízes 02) g(x) é crescente para x > 2 04) h [g (-1)] = 6 08) g(x) > 0 para x < 1 ou x > 3 16) h(x) é crescente somente para x > 2 6
20. (Unb 98) Considere um objeto, a uma temperatura inicial y³, colocado em um meio com temperatura constante T. A taxa de transferência de calor do objeto para o ambiente, ou vice-versa, é proporcional à diferença entre as temperaturas do objeto e do ambiente. Assim é possível concluir que a temperatura y(t) do objeto, no instante t µ 0, é dada por y (t) = (y³ - T) eö + T, em que b > 0 é a constante de proporcionalidade. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. (1) Se a temperatura inicial do objeto é superior à do ambiente, então a função y(t) é decrescente. (2) Se a temperatura inicial do objeto é diferente da do ambiente, então, para algum instante t>0, a constante b é dada por (1/t) Øn{ (y³-t) / [y(t)-t] }. (3) Se a temperatura inicial do objeto é diferente da do ambiente, então, para todo t > 0, tem-se y³ - T > y(t) - T. (4) Se um objeto com uma temperatura inicial de 0 C for colocado em um ambiente à temperatura de 30 C, então o gráfico abaixo representa a função y (t). 7
GABARITO 1. Observe a demonstração a seguir: 2. 6 meses 3. x = 2 4. x = 7 5. x = 1 ou x = -1 6. taxa de inflação = 60% 7. x = 2, y = 3 ou x = 3, y = 2 8. a) José cometeu o erro na última etapa do seu raciocínio, uma vez que a função exponencial dada por f(x) = (1/2)Ñ é decrescente. b) Observe a demonstração a seguir: 8
9. 03 10. 03 11. 17 12. n = 0,398 13. a) f(t) = 100000. 2 e g(t) = 70000 + 2000. t b) 40 ratos por habitante 14. a) x = 3 b) x = - 3 15. a) 1 b) m = 1 ou m 0 16. - 1,6. 10 ª C 17. V V F F 18. itens corretos: 01, 02, 04 e 32 9
itens incorretos: 08 e 16 19. 15 20. V V V V 10