Matemática Matrizes Eduardo
Definição Tabela de números dispostos em linhas e colunas. Representação ou Ordem da Matriz Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, dizemos que A tem ordem m por n e escrevemos que a ordem de A é A m x n ou
Ordem da Matriz Exemplo: A 3 x 2-1 2 = 0 1 3 0 Exemplo: Calcule a quantidade de elementos de cada matriz. 12 elementos a)a 3 x 4 b)(a 3 x 3)² c)(a 3 x 4)² 9 elementos 0 (zero) elementos, pois a matriz A não está definida.
Forma Genérica a11 K a1 n = M O M am 1 a L mn A m x n A 3 x 2 a a 11 12 = a21 a22 a a 31 32
Lei de Formação de Matriz Aula 51 Página 97
Matrizes Especiais Matriz Quadrada Quando o número de linhas da matriz A for igual ao número de colunas de A, ou seja, A m x n onde m = n, podemos dizer simplesmente matriz A de ordem n. Exemplo A 2-1 = 7 0
Matriz Retangular Quando o número de linhas da matriz A for diferente do número de colunas de A, ou seja, toda matriz A m x n onde m n. Exemplo A 5 9 11-7 = 4-1 0 2 Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( F ) (UFPR) Como todo quadrado é um retângulo, toda matriz quadrada é uma matriz retangular. ( V ) Nenhuma matriz retangular possui determinante.
Igualdade de Matriz Determine a, b e c. 2a a 2 a + b b c = 6 9 7 0
Igualdade de Matriz Aula 51 Página 97
Igualdade de Matriz 2 Exemplo: (UDESC) Sendo a matriz igual à matriz identidade de ordem 2, o valor de 2.x é: a) 4 b) 6 c) 4 d) 8 e) - 8 2 x -6x+9 0 x -3x+4 1 Resolução: 2 x -6x+9 0 1 0 = 2 x -3x+4 1 0 1 x² - 6x + 9 = 1 x² - 3x + 4 = 0 x² - 6x + 8 = 0 x 1 = 1 e x 2 = 4 x 1 = 2 e x 2 = 4 Gabarito: d 2. x = 2(4) = 8
Matriz Nula Quando aij = 0, i e j. O m x n Exemplo O 0 0 0 = 0 0 0 Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( ) (UFSC) Só existe matriz nula se ela for quadrada. F
Matriz Oposta Matriz oposta de uma matriz A = (aij)m x n é a matriz B = (bij)m x n tal que bij = - aij. 2-1 = -7 5-2 1 Exemplo A B = - A = 7-5 Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) A oposta de uma matriz nula, é sempre uma matriz nula.
Matriz Diagonal Exemplo A 2 0 = 0-3 Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. 0 0 0 ( V ) A matriz A = 0 0 0 é diagonal. 0 0 0 ( F ) Toda matriz nula é diagonal.
Matriz Unidade (Identidade) É a matriz diagonal de ordem n na qual satisfaz aij = 0, se i j e aij = 1, se i = j 1 0 Exemplo A = 0 1
Matriz Transposta A t É a matriz cujas linhas são as colunas da matriz A, t escritas na mesma ordem, e as colunas de A, são as linhas de A. 0 1 0-2 5 = Exemplo A A t = 1 3 8-2 3 5 8 Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) Se a matriz A é de ordem 2 x 3, então A t é de ordem 3 x 2. ( F ) A transposta de uma matriz nula é ela mesma.
Matriz Simétrica Quando os elementos de uma matriz quadrada que ocupam posições simétricas em relação a diagonal principal são iguais A = A t. Exemplo A 4 8-7 = 8 1 3-7 3-2
Matriz Triangular Matriz quadrada, na qual os elementos situados acima (triangular inferior) ou abaixo (triangular superior) da diagonal principal são todos nulos. 2 0 0 2 6-7 Exemplo A = 2-3 0 Exemplo A = 0-3 11 5 4 1 0 0 1 Triangular inferior Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. 2 0 0 ( V ) A matriz A = 0 3 0 é dita só triangular. 0 0 1 Triangular superior
Matriz Singular Uma matriz quadrada é dita singular quando não admitir inversa, ou seja, seu determinante é nulo. 2 6 Exemplo A = 1 3 Matriz Inversível Uma matriz quadrada é dita inversível ou regular, quando admite inversa, ou seja, seu determinante é diferente de zero. 5-1 2 Exemplo A = 1 0 1 0 3-2
Operações com Matrizes Traço da Matriz Quadrada Soma dos elementos da sua diagonal principal. Exemplo: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( ) Tr (A) = Tr (A t ). V
Operações com Matrizes Adição de Matriz Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn é definida por A + B = C = (cij)mxn, então temos cij = aij + bij.
Adição de Matriz Aula 51 Página 97
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Adição de Matriz Exemplo: (UDESC) Sejam X e Y matrizes de ordem 2x2 tais que 3 4 1 2 X+Y= ex-y= 2 1 6 11 Logo, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8
Adição de Matriz Exemplo: Logo, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 Resolução: + 3 4 X+Y= 2 1 1 2 X-Y= 6 11 4 6 2X = 8 12 2 3 X= 4 6 2 + 6 = 8 Gabarito: e
Multiplicação de um Número Real por Uma Matriz O produto de um escalar α por uma matriz A, é a matriz obtida multiplicando cada elemento de A pelo escalar α. Exemplo: Calcule: 2 3 4 6 2 = 1 5 2 10
Multiplicação de Matrizes Condição para Multiplicação! A 3x2 xb 2x5 = C 3x5 A 1x3 xb 2x1 Não Existe! A 4x3 xb 3x2! = C 4x2
Multiplicação de Matrizes Sejam A e B duas matrizes. Assinale verdadeiro ou falso. ( F ) Se existe o produto de A por B, então, existe o produto de B por A. ( ) Existe o produto da matriz A pela sua transposta. V ( F ) Se A e B são matrizes quadradas, então, existo o produto AB.
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Multiplicação de Matrizes Exemplo: Resolva a equação matricial Resolução: 2x + 6y 8 = x + 4y 2 + 2x + 6y = 8 x + 4y = 2. (- 2) 2x + 6y = 8-2x - 8y = - 4-2y = 4 y = - 2 2 6 x 8. = 1 4 y 2 2x + 6(- 2) = 8 2x = 20 x = 10 S = {(10, -2)}
(UDESC 2014) Se A T e A -1 representam, respectivamente, a transposta e a 2 3 inversa da matriz A=, então o determinante da 4 8 matriz B = A T - 2A -1 é igual a: Transposta Inversa Troca Linha por Coluna Diagonal Principal - Posição Diagonal Secundária - Sinal Divide todos pelo Determinante B) -83/2
Propriedades Associativa (A. B). C = A. (B. C) (A. B). C A. (C. B) Distributiva A. (B + C) = A. B + A. C A. (B + C) A. B + C. A
Propriedades Potência A 2 = A. A (A deve ser uma matriz quadrada) A 3 = A. A. A A 0 = I
Propriedades Comutativa A. B B. A
Elemento Neutro A. I = A Desigualdade de Produtos Notáveis (A + B)² A² + 2. A. B + B² (a + b)² = a² + 2. a. b + b² (A + B)² = (A + B). (A + B) = A² + A.B + B.A + B²
Propriedades Associativa (A + B) + C = A + (B + C) (Válido na soma)
Propriedades Transposta (A t ) t = A (nº de transposta for par è A) (A t ) t ) t = A t (nº de transposta for ímpar è A t ) (A + B) t = A t + B t (A. B) t = B t. A t