MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOS Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo
Programa do curso: Semana Conteúdo 1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares de regressão. Correlação amostral. 2 Regressão linear simples: hipóteses do modelo, estimação de parâmetros, propriedades e inferência dos estimadores. 3 Análise de variância (ANOVA) em regressão. Intervalos de confiança e de previsão. Análise dos resíduos. 4 Diagnósticos e reparação de problemas em regressão. Transformações. 5 Regressão linear forma matricial: estimação dos parâmetros, inferência dos estimadores, intervalos de confiança. 6 Prova 7 Princípios de regressão linear múltipla. Diagnósticos e reparação dos problemas em regressão linear múltipla. Multicolinearidade e seus efeitos. 8 Seleção de variáveis. Modelos polinomiais. Modelos com variáveis qualitativas. 9 Introdução ao projeto de experimentos: estratégia de experimentação, princípios básicos e aplicações típicas. Experimentos inteiramente casualizados. Análise de variância. 10 Experimentos fatoriais com dois ou mais fatores. 11 Experimentos fatoriais 2 k. Pontos centrais. 12 Experimentos em blocos casualizados. Blocagem em experimentos 2 k. 13 Prova 14 Experimentos fatoriais fracionados. 15 Experimentos com fatores quantitativos. Metodologia de superfície de resposta. 16 Otimização de produtos e processos. Projetos robustos.
EXPERIMENTOS DE MISTURA (FATORES QUANTITATIVOS) Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo
Introdução: Nos experimentos para construção de superfícies de resposta estudados anteriormente, os níveis de cada um dos fatores eram independentes dos níveis dos demais fatores. Nos experimentos de mistura, os fatores são os componentes das misturas. Assim, seus níveis não são independentes. Exemplo: Seja x 1, x 2,, x p a proporção dos p componentes de uma mistura 0 x i 1, i =1,,p e x 1 + x 2 + + x p =1 p =2 p =3
Princípios: Para o caso com 2 componentes (p=2), o espaço de mistura é o segmento de reta que x 1 + x 2 = 1, sendo os componentes limitados entre 0 e 1. Para o caso com 3 componentes (p=3), o espaço de mistura é um triângulo em que os vértices correspondem às misturas puras (misturas que são 100% de um único componente). Uma forma alternativa de representar esse caso é utilizar o diagrama de coordenadas trilinear: x 1 = 50% x 2 = 0% x 3 = 50% x 1 = 1/3 x 2 = 1/3 x 3 = 1/3 x 1 = 0% x 2 = 20% x 3 = 80% x 1 = 80% x 2 = 20% x 3 = 0 x 1 = 80% x 2 = 0 x 3 = 20% Nestes casos, utiliza-se experimentos simplex no estudo dos efeitos da mistura dos componentes em uma variável resposta.
Experimento Simplex Treliçado: Um experimento simplex treliçado {p,m} é composto por p componentes em que suas proporções são de m+1 valores igualmente espaçados entre 0 e 1, ou seja, x i = 0, 1/m, 2/m,, 1 para i =1,,p. Exemplos: x i = 0, ½, 1 para i =1, 2, 3 {3,2} (x 1, x 2, x 3 )=(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (½, ½,0), (½,0, ½), (0, ½, ½) x i = 0, ⅓,⅔, 1 para i =1, 2, 3 {3,3} (x 1, x 2, x 3 )=(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (⅓, ⅔,0), (⅓,0, ⅔), (0, ⅓, ⅔),, (⅓, ⅓, ⅓)
Experimento Simplex Centróide: A grande limitação do simplex treliçado é que o número de coletas (N) rapidamente se torna muito grande, visto que, em geral, Exemplo: Para {3,3}, ou seja, m=3 e p=3 N = 5! / 3! 2! = 10 Assim, de forma alternativa foi proposto o experimento simplex centróide em que na mistura de p componentes faz-se 2 p -1 coletas que correspondem às p permutações de (1,0,0,,0), permutações de (½,½,0,,0), permutações de (⅓,⅓,⅓,0,,0),, e todos os centróides ( 1 / p, 1 / p,, 1 / p ). Exemplos:
Modelos ajustados: Os modelos ajustados, nos casos de mistura, são diferentes dos ajustados na metodologia de superfícies de resposta pois agora temos a restrição. Modelos comumente utilizados: OBS: Não há b 0 Modelos de ordem superior (ex: cúbicos) são empregados nos casos de mistura pois a região experimental é frequentemente toda a região de operação sendo, portanto, grande e demandando modelos mais elaborados.
Exemplo: Montou-se um experimento simplex treliçado {3,2} para avaliar o efeito da mistura de 3 componentes [polietileno (x 1 ), poliestireno (x 2 ) e polipropileno (x 3 )] no alongamento de fibras sintetizadas que serão utilizadas em tecidos. Os dados obtidos foram: Resultados: Estatística de regressão Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores R múltiplo 0,9989 Interseção 0 #N/D #N/D #N/D #N/D #N/D R-Quadrado 0,9977 x1: polietileno 11,7 0,603692343 19,38073283 1,19802E-08 10,33435305 13,06564695 R-quadrado ajustado 0,8854 x2: poliestireno 9,4 0,603692343 15,57084518 8,15245E-08 8,034353046 10,76564695 Erro padrão 0,8537 x3: polipropileno 16,4 0,603692343 27,16615541 6,01284E-10 15,03435305 17,76564695 Observações 15 x1. x2 19 2,608249022 7,284580512 4,64066E-05 13,0997308 24,9002692 x1. x3 11,4 2,608249022 4,370748307 0,001795132 5,499730804 17,3002692 x2. x3-9,6 2,608249022-3,680630154 0,005070512-15,5002692-3,699730804
Exemplo: Interpretação: ^ ^ ^ Como b 3 > b 2 > b 1, poderia se concluir que o componente polipropileno faz com que as fibras tenham valores de alongamento superiores; ^ ^ ^ ^ Entretanto, como b 1,2 e b 1,3 são positivos (e b 1,2 > b 3 ), a mistura dos componentes 1 e 2 ou 1 e 3 resultariam em valores de alongamento superiores do que é esperado das misturas puras. Solução ótima (alongamento máximo): x 1 = 29,39% x 2 = 0% x 3 = 70,61% Resposta prevista = 17,38
PROJETO E ANÁLISE DE EXPERIMENTOS FECHAMENTO Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo
Otimização de produtos, processos e sistemas: Criação de superfícies de resposta para otimização de produtos: Técnicas de modelagem computacional e otimização para: Previsão de qualidade (quality prediction) e das saídas (superfícies de resposta) Seleção de atributos para identificação dos fatores de risco e quantificação de seus impactos nas variáveis resposta Otimização do produto Requisitos: - Dureza - Elasticidade - Resistência à tensão Fatores controláveis: - Composição do produto
Otimização de produtos, processos e sistemas: Processo de modelagem e otimização: MAPEAMENTO DO PROBLEMA CRIAÇÃO DAS SUPERFÍCIES DE RESPOSTA OTIMIZAÇÃO OBJETIVO: obter a composição de matérias-primas para obter um produto de mínimo custo e que atenda os requisitos técnicos. PRODUTO: borracha para fabricação de pneus (aeronáuticos) Requisitos: - Dureza - Elasticidade - Resistência à tensão Fatores controláveis: - Composição do produto
Otimização de produtos, processos e sistemas: Processo de modelagem e otimização: MAPEAMENTO DO PROBLEMA CRIAÇÃO DAS SUPERFÍCIES DE RESPOSTA OTIMIZAÇÃO x 1 (1,0,0) x 2 (0,1,0) x 3 (0,0,1) x 1 : Borracha bruta (B) x 2 : Petróleo (P) x 3 : Carbono negro (C)
Otimização de produtos, processos e sistemas: Processo de modelagem e otimização: MAPEAMENTO DO PROBLEMA CRIAÇÃO DAS SUPERFÍCIES DE RESPOSTA OTIMIZAÇÃO
Otimização de produtos, processos e sistemas: Processo de modelagem e otimização: MAPEAMENTO DO PROBLEMA VARIÁVEIS DE DECISÃO: B: quantidade de borracha (kg) P: quantidade de petróleo (kg) C: quantidade de carbono negro (kg) FUNÇÃO OBJETIVO: MINIMIZAR CUSTO = $4*B + $1*P + $7*C RESTRIÇÕES: Dureza = 34+0,10*B+0,06*P - 0,3*C + 0,001*B*P + 0,005*P 2 + 0,001*C 2 Elasticidade = 17 + 0,35*B -0,04*P 0,002*B 2 Resistência a tensão = 12,50 0,10*P 0,001*P 2 25 Dureza 35 Elasticidade 16 Resistência a tensão 12 B + P + C = 100 B 0 P 0 C 0 CRIAÇÃO DAS SUPERFÍCIES DE RESPOSTA OTIMIZAÇÃO SOLUÇÃO ÓTIMA: VARIÁVEIS DE DECISÃO Quantidade BORRACHA BRUTA (B) 70,56 PETRÓLEO (P) 4,77 CARBONO NEGRO (C) 24,67 CUSTO (R$/100 Kg) 459,70 REQUISITO Valor DUREZA 35,00 ELASTICIDADE 31,55 RESISTÊNCIA A TENSÃO 12,00
Exame Final: 1. Projeto piloto: Fatorial 2 k-p para identificar fatores singnificativos Fatorial 2 k para identificar se está próximo do ótimo Identificar caminho para melhoria (método do gradiente) 2. Experimentos ao longo do caminho de maior inclinação para identificar a região do ótimo. 3. Experimento composto central: Criação da superfície de resposta (polinômio ordem 2) 4. Determinar a solução ótima Prazo de entrega: 1/7/11 às 12h