Os Aritmos e os Princípios Fundamentais da Aritmética e da Computabilidade José Carlos Cifuentes / UFPR Alejandro Gustavo Petrovich / UBA EBL 2014
Introdução A teoria dos aritmos é o estudo das estruturas algébricas que surgem de generalizar os fragmentos aditivo e multiplicativo dos números naturais através de suas analogias. Essas estruturas tem um significado relevante para a aritmética, na medida em que permitem estender seus princípios fundamentais, como os de indução e de boa ordem, a situações não-lineares, e também para a computabilidade, pois permitem reinterpretar os processos finitos em que se fundamenta. Neste trabalho, são estudados, em forma especial, os aritmos fatoriais e fracamente fatorias, cuja definição baseia-se numa adaptação, para aritmos, do conhecido teorema fundamental da aritmética. No final, é sugerida uma teoria da recursão sobre aritmos fatoriais.
Analogias em Aritmética A teoria dos números naturais apresenta uma analogia profunda entre os fragmentos aditivo N, +, 0 e multiplicativo N*,, 1, onde N = {0, 1, 2, } e N* = N {0}. Ambos os fragmentos são monóides comutativos satisfazendo as seguintes leis: Lei do Cancelamento: n + k = m + k n = m; n k = m k n = m; e Lei da Trivialidade: n + m = 0 n = m = 0; n m = 1 n = m = 1. Ordem (linear) em N, +, 0 : n m existe k N tal que n + k = m. Ordem (não linear) em N*,, 1 : n m existe k N* tal que n k = m.
O que torna esses fragmentos extremamente interessantes para seu estudo por analogia e sua generalização é o conhecido teorema fundamental da aritmética (TFA) ou propriedade de fatoração única, próprio do fragmento multiplicativo, cuja tradução ao fragmento aditivo é fonte de múltiplas descobertas. O conceito que está por trás, na denominação algébrica, é o de elemento irredutível.
Versão Aditiva do Teorema Fundamental da Aritmética Irredutíveis em N*,, 1 : a 1 é um irredutível multiplicativo se a = x y a = x ou a = y. Os irredutíveis multiplicativos são os números primos (que também são os átomos na ordem dada pela relação ). Irredutíveis em N, +, 0 : a 0 é um irredutível aditivo se a = x + y a = x ou a = y. O único irredutível aditivo é a = 1 (também é o único átomo na ordem ). TFA Multiplicativo: Para todo x N* com x 1 existe um número finito de elementos irredutíveis distintos a 1,..., a m N* e números r 1,, r m ( 1) e são únicos tais que x = a 1 r1 a m rm. TFA Aditivo: Para todo x N com x 0 existe um número m 1 e é único tal que x = m 1 (= 1 + + 1 m vezes).
O Princípio Finitista Arquimediano PFA e os Princípios da Aritmética e da Computabilidade São equivalentes: Versão 1: todo número natural n é soma finita de 1 s, isto é, para todo número natural n, existe um número finito m tal que n = m 1 (o TFA aditivo). Versão 2: para todo número natural n, existe um número finito m tal que n m 1 (= 1 +... + 1 m vezes). Isto é, os números da forma m 1 são cofinais com os naturais (a versão arquimediana). (2 1): considere o conjunto E = {m / n m 1} para n dado. (2) garante que E, logo, pelo princípio da boa ordem existe m 0 = min E. Prova-se que n = m 0 1.
O Significado Computacional e Heurístico do PFA A seguinte é uma interpretação informal desses dois princípios equivalentes: todo número natural é efetivamente finito, ou melhor, computável. Por trás dessa afirmação está implícita a seguinte versão informal e heurística do PFA: entre um número natural e outro há apenas um número finito de números naturais. Essa versão heurística do PFA é tão clara para a matemática como o é, por exemplo, a noção de calculabilidade efetiva em computação, isto é, calculabilidade realizável num número finito de passos, embora não o seja para a epistemologia. A equivalencia entre o PFA e sua versão informal pode ser considerada uma lei natural assim como a tese de Church o é, pois baseia-se em considerações de caráter heurístico.
As Máquinas de Turing e o PFA Segundo Turing, Os números computáveis podem ser descritos de forma breve como os números reais cujas expressões decimais são calculáveis por meios finitos.... De acordo com minha definição, um número é computável se seu decimal pode ser escrito por uma máquina. Nessa descrição que Turing faz de número computável há implícita a suposição de que todo número inteiro natural é computável, bastando, para o caso de um número real, analisar sua parte decimal. Essa suposição é equivalente ao PFA, e é refletida na forma de representar números naturais não nulos: de fato, os números naturais com os que uma máquina de Turing trabalha são as cadeias da forma 111...1 ou m 1, e supor que eles são todos os números naturais é o PFA. Mais ainda, a instrução dada uma entrada n, escreva 111...1 é a mais elementar no funcionamento de uma máquina de Turing e está na base da definição de função computável.
Bertrand Russell sobre o PFA Quais são os números que podem ser alcançados, dados os termos 0 e sucessor? [...] Alcançamos 1, como o sucessor de 0; 2, como o sucessor de 1; 3, como o sucessor de 2; e assim por diante. É esse e assim por diante que desejamos substituir por algo menos vago e indefinido. Poderíamos ser tentados a dizer que e assim por diante significa que o processo de avançar para o sucessor pode ser repetido qualquer número finito de vezes ; mas o problema em que estamos envolvidos é o de definir número finito, e portanto não devemos usar essa noção em nossa definição. Ela não deve presumir que sabemos o que é número finito. (Introdução à Filosofia Matemática, Zahar, 2007, p. 39, grifo do autor) É preciso observar que estamos tratando aqui do tipo de matéria que não admite prova precisa, a saber, a comparação de uma ideia relativamente vaga com outra relativamente precisa. A noção de aqueles termos que podem ser alcançados a partir de 0 por passos sucessivos de um para o seguinte é vaga, embora pareça transmitir um significado definido; por outro lado, a posteridade de 0 é uma noção precisa e explícita, exatamente onde a outra ideia é nebulosa. Ela pode ser tomada como expressando o que tínhamos em mente quando falamos dos termos que podem ser alcançados a partir de 0 por passos sucessivos. (p. 40-41, grifos do autor)
O PFA e o Princípio de Indução Finita O PFA é equivalente ao princípio de indução finita, que é um dos axiomas fundamentais do sistema axiomático de Peano para os números naturais. Numa direção: supondo o PFA tomamos A N com as hipóteses do princípio de indução finita. Para provarmos que N A tomamos n N. Se n = 0, então, n A. Se n 0 então, pelo PFA, n = m 1. Por outro lado, como 0 A, pela hipótese de indução temos que 1 A, assim também prova-se que 1 + 1 A. Finalmente, depois de um número finito de passos, concluímos que n A. É importante reconhecer o uso explícito da versão heurística do PFA na prova anterior.
Axiomas de Peano Reformulados A equivalencia anterior motiva obter um sistema de axiomas para os números naturais equivalente ao de Peano de modo que o PFA substitua o axioma de indução finita. No sistema N, +, 0, os axiomas de Peano são equivalentes aos seguintes: Axioma 1: A operação + é comutativa e associativa e 0 é elemento neutro. Axioma 2: A lei do cancelamento. Axioma 3: A lei da trivialidade. Axioma 4: O PFA aditivo: para todo n N existe um número m 0 e é único tal que n = m 1 (este não é de 1ª ordem).
Generalização Algébrica: Primeiros Passos na Teoria dos Aritmos Um aritmo é uma estrutura da forma A,, e onde A é um conjunto não vazio, é uma operação binária em A e e A satisfazendo os seguintes axiomas (os três primeiros axiomas de Peano reformulados): A,, e é um monóide comutativo, isto é, a operação é associativa e comutativa, e e é elemento neutro para essa operação; Axioma de Cancelamento: xz = yz x = y; Axioma de Trivialidade: xy = e x = y = e. Às vezes será conveniente usar a notação aditiva para um aritmo; nesse caso, seu elemento neutro será denotado por 0. N, +, 0 e N*,, 1 são aritmos. {e} também é um aritmo. Na teoria dos aritmos serão destacados os que chamaremos de aritmos fatoriais, que satisfazem o axioma 4 em sua versão abstrata geral, a qual, como veremos, corresponderá ao teorema fundamental da aritmética.
Ordem num Aritmo Em todo aritmo A,, e é possível definirmos uma ordem parcial compatível com a operação da seguinte maneira: x y existe z A tal que xz = y. Em N*,, 1 essa relação de ordem corresponde à relação de divisibilidade usual em N*. Um aritmo cuja ordem é linear será chamado de aritmo linear. N, +, 0 é um aritmo linear com a ordem usual de N. Prova-se que em qualquer aritmo: e = min A e se A {e} não existe máximo em A pois para x A com x e temos e < x < x 2 < < x n < x n+1 < sendo A, portanto, infinito.
Exemplos de Aritmos O único grupo G,, e que é um aritmo é o grupo trivial G = {e}. Para cada a N define-se N a = {n N / n a} {0}, então, N a, +, 0 é um aritmo a respeito da soma usual de N. Nos aritmos N a, +, 0, para a 2, a ordem resultante não é a herdada de N, mais ainda, não é uma ordem linear pois, por exemplo, a e a + 1 não são comparáveis já que 1 N a. Se A,, e e B,, e são aritmos, então, A B,, (e, e) é um aritmo com a operação (a, b) (c, d) = (ac, bd). Em particular, N N, +, (0, 0) é um aritmo.
Aritmos em Aneis A partir de qualquer anel comutativo com unidade R é possível construir um aritmo da seguinte maneira: consideremos o monóide comutativo R*,, 1 e definamos a relação de equivalência x y se e só se x e y são associados, isto é, x = uy para u U(R), então, o quociente R*/ é um aritmo a respeito da operação [x][y] = [xy] e em que [1] é o elemento neutro. Se D é um domínio de integridade e D* = D {0}, então, A[D] = (D* U (D)) {1} é um aritmo a respeito do produto de D. Se D é um corpo, A[D] = {1}, e se D = Z, então, A[D] = Z* { 1}. Se D é um domínio de valorização discreta, então, a valorização v : D* N é um homomorfismo de monóides pois satisfaz v(xy) = v(x) + v(y) e v(u) = 0 se e só se u U(D), em particular, v(1) = 0. Portanto, A[D] = {x R* / v(x) > 0} {1} é um aritmo a respeito do produto de D.
Aritmos e Cones Positivos Uma classe importante de aritmos que, na realidade, constitui uma caracterização deles, são os cones positivos de grupos abelianos parcialmente ordenados. Desse ponto de vista, a teoria dos aritmos pode ser interpretada como uma teoria intrínseca dessa classe. Um grupo abeliano parcialmente ordenado é uma estrutura G, +, 0, onde G, +, 0 é um grupo abeliano (apresentado aditivamente) e é uma ordem parcial em G compatível com a operação +. A ordem pode ser substituida pelo subconjunto P = {x G / x 0} de G, chamado de cone positivo de G, que pode ser caracterizado pelas seguintes propriedades: 1. P + P P; e 2. P P = {0}; Se G é um grupo abeliano parcialmente ordenado, então, o cone positivo P, +, 0 de G é um aritmo. O cone positivo P de G é dito denso em G se P P = G. Todo aritmo A é cone positivo denso de um grupo abeliano parcialmente ordenado G(A) (o grupo de Grothendieck do monóide A). A demonstração desse fato generaliza o método de construção do grupo aditivo Z a partir do aritmo aditivo N (Z = G(N)).
O Grupo de Grothendieck Para todo aritmo A, definimos em A A a seguinte relação: (x, y) (z, w) xw = yz. Prova-se que é uma relação de equivalência. Podemos definir, então, o conjunto quociente G(A) = A A /. Nesse quociente, denotamos com x, y a classe de equivalência do par (x, y). Em G(A) define-se a seguinte operação: e a seguinte ordem: x, y z, w = xz, yw x, y z, w xw yz. Como exemplos temos os seguintes: 1) G(N*) = Q +, e 2) se D é um domínio, então, G(A[D]) é um subgrupo do grupo multiplicativo do corpo de quocientes Q(D)*; mais especificamente: se D é um corpo, G(A[D]) = {1}, e se D não é um corpo, G(A[D]) = Q(D)*.
Equivalência Categorial entre a Categoria dos Aritmos e a dos Grupos Abelianos Parcialmente Ordenados com Cone Denso Se A,, e e B,, e são aritmos e f : A B é uma função, então, f é um homomorfismo de aritmos se para todo x, y A, f(xy) = f(x)f(y). É imediato da definição que f(e) = e. Seja f : A B um homomorfismo de aritmos, então, a função G(f) : G(A) G(B) definida por G(f)( x, y ) = f(x), f(y) está bem definida e é um homomorfismos de grupos abelianos parcialmente ordenados, mais ainda, G é um funtor covariante entre as respectivas categorias. Prova-se que o funtor G é uma equivalência categorial entre a categoria dos aritmos e a categoria dos grupos abelianos parcialmente ordenados com cone denso, isto é: G é pleno: para cada homomorfismo h : G(A) G(B) existe um homomorfismo f : A B tal que G(f) = h. G é fiel: se G(f) = G(g), então, f = g. G é denso: todo grupo abeliano parcialmente ordenado com cone denso é da forma G(A) para algum aritmo A.
Noções da Álgebra dos Aritmos Seja a um elemento de A com a e. Então, a é um átomo se e x a x = e ou x = a; a é um elemento irredutível se a = xy a = x ou a = y; a é um elemento primo se a xy a x ou a y. Prova-se que em todo aritmo: a é irredutível a é um átomo; a é primo a é irredutível; se a ordem de A é linear, então, a é irredutível a é primo. No aritmo N*,, 1, átomos, elementos irredutíveis e elementos primos coincidem e são os conhecidos números primos, embora esse fato não é consequência (óbvia) dos axiomas que definem os aritmos. Nos aritmos da forma N a, +, 0, os átomos (ou irredutíveis) são a, a + 1,, a + (a 1). Se a 2 eles não são elementos primos: por exemplo, a não é primo pois a (a + 1) + (a + 1) e a a + 1. Em todo aritmo linear só há um átomo quando ele existe. No aritmo linear N, +, 0, o único átomo é 1.
O Teorema Fundamental da Aritmética (TFA) nos Aritmos: os Aritmos Fatoriais Para todo x A com x e existe um número finito de elementos irredutíveis a 1,..., a m A e são únicos tal que x = a 1 a m. Em forma mais compacta: Para todo x A com x e existe um número finito de elementos irredutíveis distintos a 1,..., a k A e números inteiros r 1,, r k ( 1) e são únicos tais que x = a 1 r1 a k rk. Em notação aditiva adota a seguinte forma: Para todo x A com x 0 existe um número finito de elementos irredutíveis distintos a 1,..., a k A e números inteiros r 1,, r k ( 1) e são únicos tais que x = r 1 a 1 + + r k a k. No caso linear, quando a é o único átomo de A, adota a seguinte forma: Para todo x A existe um único m 0 tal que x = a m. Um aritmo que satisfaz o teorema fundamental da aritmética será chamado de aritmo fatorial (todo aritmo fatorial é atômico). N, +, 0 e N*,, 1 são aritmos fatoriais.
Aritmos Fracamente Fatoriais Nem sempre é satisfeito o TFA num aritmo. Em N a, +, 0, com a 2, temos que o elemento a(a + 1) pode ser decomposto de duas formas diferentes como soma de irredutíveis (ou átomos): a + + a (a + 1 vezes) e (a + 1) + + (a + 1) (a vezes). Um aritmo que admite decomposição em produto de irredutíveis, porém não necessariamente de forma única, será chamado de aritmo fracamente fatorial ou w-fatorial. Demonstrar que um aritmo é fatorial ou w-fatorial não é trivial, especialmente nos casos mais conhecidos. Por exemplo, no caso N, +, 0 se requer, como vimos, o princípio de indução finita. Por outro lado, apesar de que em N*,, 1 também é satisfeito o TFA, as demonstrações conhecidas usam, além da estrutura multiplicativa, também a estrutura aditiva de N. Demonstra-se que os aritmos N a, +, 0, para a 2, são w-fatoriais porém não fatoriais. Se A é fatorial, todo irredutível é primo, e se A é w-factorial e todo irredutível é primo, então, A é fatorial.
Monóides Gaussianos e Aritmos (Fracamente) Fatoriais Um monóide gaussiano é a parte multiplicativa R*,, 1 de um anel (comutativo com unidade) de fatoração não necessariamente única (Jacobson). Nesse caso, a construção feita anteriormente do aritmo R*/ nos fornece exemplos de aritmos fracamente fatoriais, se a fatoração de R não é única, e fatoriais, se é única. Por outro lado, se D é um domínio fatorial, o aritmo A[D] é w-fatorial que não é fatorial.
O Princípio de Indução em Aritmos: Versões Linear e Não Linear Seja A um aritmo linear atômico e a seu único átomo, diremos que A é indutivo se satisfaz a seguinte versão (linear) do princípio de indução finita: Seja B A tal que i) e B; e ii) ( x)(x B xa B); então, B = A. Com essa definição demonstra-se, como no caso de N, +, 0, o seguinte: Se A é um aritmo linear atômico (com átomo a), então, A é w-fatorial se e só se A é indutivo. O mais interessante é que existe uma versão não linear do princípio de indução finita na teoria dos aritmos. Vejamos: Seja A um aritmo atômico (não necessariamente linear), diremos que A é indutivo (usando a mesma denominação que no caso linear) se satisfaz a seguinte versão não linear do princípio de indução finita: Seja B A tal que i) e B; e ii) ( x)( a)(x B a é átomo de A xa B); então, B = A. Prova-se que: Se A é um aritmo atômico, então, A é w-fatorial A é indutivo.
Um exemplo interessante de aritmo onde é válido o princípio de indução não-linear é o aritmo fatorial N N, +, (0, 0), aritmo que tem dois átomos (1, 0) e (0, 1). Nesse aritmo, todo elemento admite a seguinte decomposição única como soma de irredutíveis (átomos): (m, n) = m (1, 0) + n (0, 1). O princípio de indução não-linear, adaptado a esse aritmo, expressa o seguinte: Se B N N é tal que: (0, 0) B; e ( m)( n)((m, n) B (m + 1, n) B (m, n + 1) B); então, B = N N.
O Princípio da Boa Ordem Não-Linear Qual é o análogo não-linear do princípio da boa ordem de N, +, 0 e qual sua relação com o princípio de indução não-linear? Prova-se o seguinte: seja (E, ) um conjunto parcialmente ordenado, então, são equivalentes: a) Todo subconjunto não vazio de E tem elemento minimal. b) Toda cadeia não vazia em E tem elemento mínimo. c) Não existe em E uma sequência decrescente infinita x 1 > x 2 > > x n > x n+1 > Denominaremos princípio de boa ordem não-linear qualquer uma das afirmações equivalentes anteriores, e um conjunto parcialmente ordenado que satisfaça esse princípio será chamado de conjunto parcialmente bem ordenado. A condição (c) é chamada também de condição de cadeia descendente (dcc). Observa-se que se um conjunto é parcialmente bem ordenado, não necessariamente sua ordem é linear.
Resultados Principais Denotando com F, wf, PBO, e I as condições de um aritmo ser, respectivamente, fatorial, w-fatorial, parcialmente bem ordenado e indutivo, provam-se as seguintes relações: F PBO wf I; PBO F; wf PBO; PBO + (irredutíveis = primos) F; wf + (irredutíveis = primos) F; e wf + (número finito de átomos) PBO. Da última resulta que N a, +, 0, a 2, é PBO.
Propriedades Especiais dos Aritmos Fatoriais: Valorizações Para qualquer aritmo A destacam-se os epimorfismos f : A N cuja existência nem sempre está garantida. Esses epimorfismos serão chamados de valorizações em A, pois satisfazem v(xy) = v(x) + v(y) e v(e) = 0, próprias de uma valorização. Nos aritmos fatoriais é possível definirmos certas valorizações que chamaremos de valorizações p-ádicas. Se A é um aritmo fatorial e p um elemento irredutível (átomo) de A, definimos v p : A N mediante v p (e) = 0 e, se x e, v p (x) = o expoente de p na fatoração única de x como produto de irredutíveis. Por outro lado, num aritmo fatorial existem valorizações que não são p-ádicas, por exemplo a soma v p + v q para p e q irredutíveis.
Aritmos Livres Além disso, podem-se caracterizar os aritmos fatoriais como sendo justamente os aritmos livres. Seja F um aritmo e B F, diremos que F é livre sobre B se para qualquer aritmo A, toda função f : B A pode ser estendida em forma única a um homomorfismo f ^ : F A, isto é, f ^ B = f. Diremos que F é um aritmo livre se existe tal subconjunto B. Prova-se, então, que se A é un arirmo, então, A é livre A é fatorial. Também, é possível caracterizar o grupo de automorfismos de um aritmo fatorial: se A é un aritmo fatorial e C é o conjunto de seus elementos irredutíveis, então, se S(C) denota o grupo de permutações de C, temos que Aut(A) S(C).
Um Teorema de Representação para Aritmos Fatoriais Seja {A i } i I uma família de aritmos, então, o produto direto i I A i da família é um aritmo com a seguinte operação: para (x i ), (y i ) i I A i, (x i )(y i ) = (x i y i ), sendo (x i ), com x i = e para todo i, o elemento neutro. Analogamente, define-se a soma direta da família como i I A i = {(x i ) i I A i / x i = e para quase todo i (isto é, para todo i a menos de um número finito)}, sendo a operação a mesma que a do produto direto. Se A i = A para todo i, denotamos com A I = i I A i e com A (I) = i I A i. O resultado mais importante neste contexto é o seguinte. Se A é um aritmo fatorial e {a i } i I é a coleção dos elementos irredutíveis de A, então, A N (I). Como consequência dele temos que: 1) N* N ( ) ; 2) se A é fatorial, então, G(A) Z (I) ; 2) G(N*) Z ( ).
Rumo a uma Teoria da Recursão sobre Aritmos Fatoriais Um primeiro passo nessa direção é definirmos o conceito de função recursiva primitiva sobre um aritmo fatorial A,, e. Funções iniciais: a) Z(x) = e para todo x (que generaliza a função zero ); b) para cada átomo a, S a (x) = xa para todo x (que generaliza a função sucessor ); c) P mk (x 1,..., x m ) = x k para todo x 1,..., x m (as funções projeção). Operações básicas: Composição: se g é uma função de k variáveis e h 1, h k são funções de m variáveis previamente definidas, então, a seguinte função é considerada definida por composição: f(x 1,..., x m ) = g(h 1 (x 1,..., x m ),..., h k (x 1,..., x m )). Recursão primitiva (como ilustração vejamos as funções de uma variável): se h é uma função de 3 variáveis previamente definida, então, a seguinte função é considerada definida por recursão primitiva: f(e) = d ( A); e f(xa) = h(f(x), x, a), para todo x e para todo átomo a. Observa-se que o domínio da função f é todo o aritmo A por ser fatorial.
Com isso, podemos definir a classe de funções totais f : A n A recursivas primitivas sobre A como as que são iniciais ou obtidas das iniciais por um número finito de aplicações das operações básicas. A partir daí, é possível formular uma série de problemas, especialmente relacionados com generalizações das máquinas de Turing e os teoremas de Tarski e Gödel no contexto dos aritmos fatoriais. Referência Cifuentes, J. C. O Princípio Finitista Arquimediano e os Fundamentos da Aritmética: uma introdução à teoria dos aritmos. CLE-prints, v. 12, n. 1, p. 1-16, 2012. Site: www.cle.unicamp.br/eprints.