Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 14 17 de junho de 2011 Aula 14 Pré-Cálculo 1
Funções da forma x elevado a menos n Aula 14 Pré-Cálculo 2
Funções da forma x elevado a menos n y = f (x) = x n = 1 x n, com n N e x 0 (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Aula 14 Pré-Cálculo 3
Funções da forma x elevado a menos n y = f (x) = x n = 1 x n, com n N e x 0 (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Aula 14 Pré-Cálculo 4
Funções da forma x elevado a menos n y = f (x) = x n = 1 x n, com n N e x 0 (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Aula 14 Pré-Cálculo 5
Funções da forma x elevado a menos n y = f (x) = x n = 1 x n, com n N e x 0 (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Aula 14 Pré-Cálculo 6
Funções da forma x elevado a menos n y = f (x) = x n = 1 x n, com n N e x 0 (1) f é uma função par se n é um número par e f é uma função ímpar se n é um número ímpar. (2) f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). (3) Se 0 < x < 1, então 1 x n < 1 x n+1. (4) Se 1 < x, então 1 x n+1 < 1 x n. Aula 14 Pré-Cálculo 7
Funções da forma x elevado a menos n Aula 14 Pré-Cálculo 8
Funções da forma x elevado a menos n Aula 14 Pré-Cálculo 9
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Aula 14 Pré-Cálculo 10
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p > 0, q > 0 e q é par, então, por definição, x p/q = q x p para todo x 0. (2) Se p > 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, x p/q = q x p para todo x R. Aula 14 Pré-Cálculo 11
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p > 0, q > 0 e q é par, então, por definição, x p/q = q x p para todo x 0. (2) Se p > 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, x p/q = q x p para todo x R. Aula 14 Pré-Cálculo 12
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p > 0, q > 0 e q é par, então, por definição, x p/q = q x p para todo x 0. (2) Se p > 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, x p/q = q x p para todo x R. Aula 14 Pré-Cálculo 13
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p < 0, q > 0 e q é par, então, por definição, para todo x > 0. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p (2) Se p < 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, para todo x R {0}. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p Aula 14 Pré-Cálculo 14
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p < 0, q > 0 e q é par, então, por definição, para todo x > 0. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p (2) Se p < 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, para todo x R {0}. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p Aula 14 Pré-Cálculo 15
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) y = f (x) = x p/q, com p Z, q N e p/q fração irredutível (1) Se p < 0, q > 0 e q é par, então, por definição, para todo x > 0. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p (2) Se p < 0, q > 0 e q é ímpar, então, por definição, para todo x R {0}. x p/q = 1 x p/q = 1 q x p Aula 14 Pré-Cálculo 16
Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 17
Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 18
Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 19
Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 20
Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 21
Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 22
Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 23
Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 24
Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 25
Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 26
Exemplos x 5/3 = 3 x 5, x R. x 3/8 = 8 x 3, x 0. x 5/4 = 1 x 5/4 = 4 1, x > 0. x 5 x 2/3 = 1 x 2/3 = 3 1, x 0. x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 27
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 28
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 29
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 30
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 31
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 32
Funções da forma x elevado a p/q (fração irredutível) Por que a definição exige que a fração p/q seja irredutível? 3/2 = 6/4 mas 2 x 3 está definida para x 0 enquanto que 4 x 6 está definida para x R. Aula 14 Pré-Cálculo 33
E potências irracionais? Aula 14 Pré-Cálculo 34
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 35
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 36
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 37
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 38
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 39
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 40
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 41
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 42
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 43
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 44
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 45
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 46
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 47
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 48
Como calcular 3 2? Resposta: use aproximações racionais (cada vez melhores) de 2! Aproximação de 2 Aproximação de 3 2 1.4 3 1.4 = 3 7 5 = 4.6555367217460790... 1.41 3 1.41 = 3 141 100 = 4.7069650017165727... 1.414 3 1.414 = 3 707 500 = 4.7276950352685357... 1.4142 3 1.4142 = 3 7071 5000 = 4.7287339301711910... 1.41421 3 1.41421 = 3 141421 100000 = 4.7287858809086143... Aula 14 Pré-Cálculo 49
Transformações de Funções Aula 14 Pré-Cálculo 50
Transformações de funções Objetivo: dado o gráfico de uma função y = f (x) e uma constante c, obter os gráficos das funções y = f (x + c), y = f (x) + c, y = c f (x), y = f (c x), y = f ( x ) e y = f (x). Aula 14 Pré-Cálculo 51
Transformações de funções Objetivo: dado o gráfico de uma função y = f (x) e uma constante c, obter os gráficos das funções y = f (x + c), y = f (x) + c, y = c f (x), y = f (c x), y = f ( x ) e y = f (x). Aula 14 Pré-Cálculo 52
Transformações de funções Objetivo: dado o gráfico de uma função y = f (x) e uma constante c, obter os gráficos das funções y = f (x + c), y = f (x) + c, y = c f (x), y = f (c x), y = f ( x ) e y = f (x). Aula 14 Pré-Cálculo 53
Caso g(x) = f (x + c) Aula 14 Pré-Cálculo 54
Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 55
Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 56
Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 57
Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 58
Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 59
Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 60
Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 61
Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 62
Transformações de funções: g(x) = f (x + c) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 5, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x + 5)? x domínio de g x + c domínio de f 1 x + c 3 1 c x 3 c x [1 c, 3 c] x [ 4, 2]. Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 3, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x + c) = f (x 3)? x domínio de g x [1 c, 3 c] x [4, 6]. Aula 14 Pré-Cálculo 63
Transformações de funções: g(x) = f (x + c) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 64
Transformações de funções: g(x) = f (x + c) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 65
Moral Somar uma constante c a variável independente x de uma função f tem o efeito geométrico de transladar horizontalmente para a direita (quando c < 0) ou para a esquerda (quando c > 0) o gráfico de f. Aula 14 Pré-Cálculo 66
Caso g(x) = f (x) + c Aula 14 Pré-Cálculo 67
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 1, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x) + 1? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 68
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 1, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x) + 1? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 69
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 1, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x) + 1? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 70
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 1, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x) + 1? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 71
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 72
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 73
Moral Somar uma constante c a uma função f tem o efeito geométrico de transladar verticalmente para cima (quando c > 0) ou verticalmente para baixo (quando c < 0) o gráfico de f. Aula 14 Pré-Cálculo 74
Caso g(x) = f (c x) Aula 14 Pré-Cálculo 75
Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 76
Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 77
Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 78
Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 79
Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 80
Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 81
Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 82
Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 83
Transformações de funções: g(x) = f (c x) Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 0.4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (0.4 x)? x domínio de g c x domínio de f 2 c x 4 (c > 0) 2/c x 4/c x [2/c, 4/c] x [5, 10]. Se f está definida no intervalo [2, 4] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c x) = f (4 x)? x domínio de g (c > 0) x [2/c, 4/c] x [1/2, 1]. Aula 14 Pré-Cálculo 84
Transformações de funções: g(x) = f (c x) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 85
Transformações de funções: g(x) = f (c x) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 86
Moral Multiplicar a variável independente de uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para 0 < c < 1) ou comprimir (para c > 1) horizontalmente o gráfico de f. Aula 14 Pré-Cálculo 87
Caso g(x) = c f (x) Aula 14 Pré-Cálculo 88
Transformações de funções: g(x) = c f (x) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 2, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = 2 f (x)? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 89
Transformações de funções: g(x) = c f (x) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 2, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = 2 f (x)? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 90
Transformações de funções: g(x) = c f (x) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 2, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = 2 f (x)? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 91
Transformações de funções: g(x) = c f (x) Se f está definida no intervalo [1, 3] e c = 2, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = 2 f (x)? x domínio de g x domínio de f x [1, 3]. Aula 14 Pré-Cálculo 92
Transformações de funções: g(x) = c f (x) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 93
Transformações de funções: g(x) = c f (x) (Ir para o GeoGebra) Aula 14 Pré-Cálculo 94
Moral Multiplicar uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para c > 1) ou comprimir (para 0 < c < 1) verticalmente o gráfico de f. Aula 14 Pré-Cálculo 95
Caso g(x) = f (x) Aula 14 Pré-Cálculo 96
Transformações de funções: g(x) = f (x) Multiplicar uma função f por 1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo-x o gráfico de f. M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Aula 14 Pré-Cálculo 97
Caso g(x) = f ( x) Aula 14 Pré-Cálculo 98
Transformações de funções: g(x) = f ( x) Multiplicar a variável independente x de uma função f por 1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo-y o gráfico de f. M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Aula 14 Pré-Cálculo 99
Caso g(x) = f (x) Aula 14 Pré-Cálculo 100
Transformações de funções: g(x) = f (x) g(x) = f (x) = { +f (x), se f (x) 0, f (x), se f (x) < 0. f (x) = x 2 1 g(x) = f (x) = x 2 1 Aula 14 Pré-Cálculo 101
Transformações de funções: g(x) = f (x) g(x) = f (x) = { +f (x), se f (x) 0, f (x), se f (x) < 0. f (x) = x 2 1 g(x) = f (x) = x 2 1 Aula 14 Pré-Cálculo 102
Transformações de funções: g(x) = f (x) g(x) = f (x) = { +f (x), se f (x) 0, f (x), se f (x) < 0. f (x) = x 2 1 g(x) = f (x) = x 2 1 Aula 14 Pré-Cálculo 103
Transformações de funções: g(x) = f (x) g(x) = f (x) = { +f (x), se f (x) 0, f (x), se f (x) < 0. f (x) = x 2 1 g(x) = f (x) = x 2 1 Aula 14 Pré-Cálculo 104
Transformações de funções: g(x) = f (x) g(x) = f (x) = { +f (x), se f (x) 0, f (x), se f (x) < 0. f (x) = x 2 1 g(x) = f (x) = x 2 1 Aula 14 Pré-Cálculo 105
Caso g(x) = f ( x ) Aula 14 Pré-Cálculo 106
Transformações de funções: g(x) = f ( x ) g(x) = f ( x ) = { f (+x), se x 0, f ( x), se x < 0. f (x) = x 3 3 x 2 + 2 x + 1 g(x) = f ( x ) = x 3 3 x 2 + 2 x + 1 Aula 14 Pré-Cálculo 107
Transformações de funções: g(x) = f ( x ) g(x) = f ( x ) = { f (+x), se x 0, f ( x), se x < 0. f (x) = x 3 3 x 2 + 2 x + 1 g(x) = f ( x ) = x 3 3 x 2 + 2 x + 1 Aula 14 Pré-Cálculo 108
Transformações de funções: g(x) = f ( x ) g(x) = f ( x ) = { f (+x), se x 0, f ( x), se x < 0. f (x) = x 3 3 x 2 + 2 x + 1 g(x) = f ( x ) = x 3 3 x 2 + 2 x + 1 Aula 14 Pré-Cálculo 109
Transformações de funções: g(x) = f ( x ) g(x) = f ( x ) = { f (+x), se x 0, f ( x), se x < 0. f (x) = x 3 3 x 2 + 2 x + 1 g(x) = f ( x ) = x 3 3 x 2 + 2 x + 1 Aula 14 Pré-Cálculo 110
Transformações de funções: g(x) = f ( x ) g(x) = f ( x ) = { f (+x), se x 0, f ( x), se x < 0. f (x) = x 3 3 x 2 + 2 x + 1 g(x) = f ( x ) = x 3 3 x 2 + 2 x + 1 Aula 14 Pré-Cálculo 111
Exercício resolvido Aula 14 Pré-Cálculo 112
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 113
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 114
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 115
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 116
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 117
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 118
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 119
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 120
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x 2) = x 2 y = h(x) = g(x) = x 2 y = l(x) = h(x) + 4 = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 121
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 122
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 123
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 124
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 125
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 126
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 127
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 128
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 129
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 x 2 y = f (x) = x y = g(x) = f (x) = x y = h(x) = g(x) + 4 = 4 x y = l(x) = h(x 2) = 4 x 2 Aula 14 Pré-Cálculo 130