Fenômenos de Transporte Aula- Equação da energia para regime permanente Professor: Gustavo Silva 1
Introdução Como já visto, através da equação da continuidade é possível realizar o balanço das vazões em massa entre seções de entrada ou saída de um escoamento em regime permanente. Sabemos que a energia não pode ser criada nem destruída, e sim transformada, assim é possível através da equação da energia fazer o balanço das energias, da mesma forma como é feito para as massas. 2
a) Energia potencial (Ep): Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido É a energia associada à sua posição no campo da gravidade em relação a um determinado plano horizontal de referência. Enegia potencial (Ep) E p = m g z = G z 3
b) Energia cinética (Ec): Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido É associada ao movimento do fluido. Enegia cinética (Ec) m v2 E c = 2 4
c) Energia de pressão (Epr): Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido Corresponde a energia que o fluído possui devido a pressão que atua no escoamento do fluido. de pr = F ds = p A ds = p dv Enegia de pressão (Epr) E pr = p dv 5
Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido d) Energia mecânica total do fluido (E): É a soma de todas as energias mecânicas. Energia mecânica total do fluido (E) E = E p + E c + E pr m v2 E = m g z + + p dv 2 6
Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli admite diversas hipóteses simplificadoras, porém para chegarmos na equação geral da energia é importante compreendermos a equação simplificada. As hipóteses adotadas são: a) regime permanente; b) sem máquina no trecho de escoamento em estudo. Ou seja, não existe fornecimento ou retirada de energia do fluído por meio de bombas ou turbinas; c) sem perda de energia por atrito; d) propriedades uniformes nas seções; e) fluido incompressível; f) sem troca de calor. 7
Equação de Bernoulli Com as hipóteses b, c e f temos que não existe fornecimento ou perda de energia no sistema. Para seção 1 temos: de 1 = dm 1 g z 1 + dm 2 1 v 1 + p 2 1 dv 1 Para seção 2 temos: de 2 = dm 2 g z 2 + dm 2 v 2 2 2 + p 2 dv 2 Como a energia permanece inalterada, temos que: de 1 = de 2 dm 2 g z 2 + dm 2 2 v 2 + p 2 2 dv 2 = dm 1 g z 1 + dm 2 1 v 1 2 + p 1 dv 1 8
Como ρ = dm dv, temos que dv = dm ρ Equação de Bernoulli dm 2 g z 2 + dm 2 v 2 2 2 + p 2 dm ρ 2 = dm 1 g z 1 + dm 2 1 v 1 2 2 + p 1 ρ 1 dm 1 Sabemos que ρ 1 = ρ 2 pois o fluido é incompressível, também sabemos que dm 1 = dm 2 pois se trata de regime permanente. g z 2 + v 2 2 2 + p 2 ρ = g z 1 + v 2 1 2 + p 1 ρ Dividindo a equação por g obtemos a equação de Bernoulli. z 2 + v 2 2 2g + p 2 γ = z 1 + v 2 1 2g + p 1 γ H 2 = H 1 Onde H é a energia total por unidade de peso ou carga total. A unidade de medida de energia é o Joule kg m2 J = N m = s 2 Como H = J, temos que H[m] N 9
Exercício 10
Exercício 11
Exercício 12
Equação da energia e presença de uma máquina Como vimos, uma máquina pode retirar ou fornecer energia ao fluido. É chamando de bomba qualquer máquina que forneça energia e turbina, qualquer máquina que retire energia do sistema. Tínhamos que H 1 = H 2 para casos onde não haviam máquinas. Porém se houver uma bomba entre as seções 1 e 2, então temos que H 1 < H 2 pois a bomba acrescentou energia ao fluido, logo H 1 + H B = H 2, onde H B é denominado de carga manométrica da bomba. Da mesma forma, se houver uma turbina entre as seções 1 e 2 temos que H 1 > H 2, logo H 1 H T = H 2, onde H T é denominado de carga manométrica da turbina. Como queremos uma equação geral, adotaremos H M para carga manométrica da máquina(h M =H B ou H M =-H T ). Acrescentando H M a equação passa a ser: z 1 + v 1 2 2g + p 1 γ + H M = z 2 + v 2 2 2g + p 2 γ 13
Potência da máquina e noção de rendimento Antes de tudo, definiremos potência do fluido. Potência pode ser definida como sendo energia mecânica por unidade de tempo e é representada por N: N= energia mecânica tempo Onde N é a potência do fluido. = energia mecânica peso A potência retirada ou fornecida ao fluido por uma máquina pode ser calculada como: N= H M γq peso tempo = HQ G = HγQ Porém a potência retirada ou fornecida ao fluido não é igual a potência da máquina, isto ocorre devido as perdas que ocorrem principalmente devido a atritos. 14
Potência da máquina e noção de rendimento Para bombas temos: Como a potência da bomba não é igual a potência recebida pelo fluido, temos que o rendimento da bomba é dado por: η B = N N B 15
Potência da máquina e noção de rendimento Para turbinas temos: O rendimento da turbina é dado por: η T = N T N 16
Exercício 17
Equação da energia para fluido real Retirando a hipótese de fluido ideal iremos considerar os atritos internos no escoamento do fluido. Considerando fluido ideal em um sistema sem bomba ou turbina, tínhamos que H 1 = H 2, porém considerando a perda de energia por unidade de peso (H p1,2 ) temos que H 1 = H 2 + H p1,2. Por fim considerando a presença de uma máquina temos: E a potência dissipada: N diss = H p1,2 γq H 1 + H M = H 2 + H p1,2 18
Exercício 19
Exercício 20
Exercício 21
Exercício 22
Equação da energia para diversas entradas e saídas. Até o momento, nos balanços de energia tínhamos apenas umas entrada e uma saída, porém caso tivermos múltiplas entradas e múltiplas saídas não podemos utilizar a equação utilizada até o momento. Mantendo as hipóteses da equação de Bernoulli, temos que a energia que entra no sistema deve ser igual a energia que sai do sistema no mesmo intervalo de tempo: E = e Dividendo a equação por unidade de tempo, temos: E/t = e E s E /t s Energia por unidade de tempo é potência: N = e N ou s γqh = e γqh s 23
Equação da energia para diversas entradas e saídas. No caso de considerarmos a presença de uma máquina e de perdas por atrito, temos: Onde N diss = γqh p γqh + N = e γqh + N diss s 24
Exercício 25
Exercício 26
Exercício 27
Bibliografia Brunetti, Franco, Mecânica dos fluidos, Editora Pearson Prentice Hall, 409 p. : São Paulo il. c2005 28