MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA (PIBID) Sequências Autores: Caio Cézar Cavalcante Edvan Pontes de Oliveira COORDENADORES: Giselle Costa, Fernando Guedes e Mercia Pontes SUPERVISORA: Vilka Lorena Silva de Oliveira Nogueira ESCOLA ESTADUAL NESTOR LIMA - NATAL/RN Agosto de 2014
Sumário 1 INTRODUÇÃO 5 2 CONCEITUAÇÃO 7 2.1 Sequências............................. 8 2.2 Exercícios............................. 9 2.3 Progressão Aritmética...................... 9 2.4 Exercícios............................. 10 2.5 Progressão Geométrica...................... 13 2.6 Exercícios............................. 14 3
Capítulo 1 INTRODUÇÃO Nesta atividade apresentaremos as sequências numéricas de um modo geral, introduzindo com os conceitos de conjuntos e função, definindo sucintamente. Abordaremos dois assuntos clássicos do Ensino Médio envolvendo sequências: Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas, cada tema vem com vários exercícios propostos para os discentes. Para as resoluções dos problemas, mostraremos as fórmulas implicitamente, para que o aluno tenha uma ideia intuitiva nas soluções dos problemas. 5
Capítulo 2 CONCEITUAÇÃO Uma Sequência é um conjunto organizado por objetos de mesma natureza (meses do ano, dias da semana, séries do Ensino Básico e etc). Considere os conjunto A e B das fases da lua: A = {cheia, nova, crescente, minguante} e B = {nova, crescente, cheia, minguante}. Qual é a diferença desses conjuntos? Os conjuntos são o mesmos, entretanto, os elementos do conjunto B está em ordem. Ao invés de representarmos o conjunto entre chaves, representaremos entre parênteses, pois estamos considerando a ordem desses elementos. Desse modo a sequências das fases da lua fica representada da seguinte maneira: B = (nova, crescente, cheia, minguante) O primeiro elemento é associado a nova, o segundo elemento é associado a crescente, o terceiro elemento é associado a cheia e o quarto elemento é associado a minguante. Sendo assim, podemos definir: Sequência finita é toda função de domínio A = {1, 2, 3,..., n}, A N, e contradomínio B, sendo B um conjunto qualquer não-vazio. Uma sequência pode ter infinitos elementos, por exemplo, o conjunto dos números pares (2, 4, 6,..., 2n,...), ou também o conjunto dos número primos (2, 3, 5, 7, 11,...). Sequência infinita é toda função de domínio N = {1, 2, 3,..., n,...}, e contradomínio B, sendo B um conjunto qualquer não-vazio 7
2.1 Sequências Nomenclatura. I. Cada elemento de uma sequência é denominado termo da sequência. II. O termo de uma sequência que ocupa a posição de número n é indicado pelo símbolo a n. No exemplo das fases da lua ficaria: a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = nova crescente cheia minguante Toda sequência finita ou infinita de elementos, obedece uma lei de formação, permitindo encontrar qualquer elemento de qualquer posição de certo conjunto. O termo geral da lei de formação da sequência é indicado por a n. Exemplos de sequência: a n = (10, 100, 1.000, 10.000, 100.000) b n = (1, 2, 4, 8, 16, 32,...) c n = (1, 8, 27, 64, 125, 216,...) d n = (2, 10, 12, 16, 17, 18,...) e n = (A, C, E, G, I, K,..., Y ) f n = ( 1 4, 1 2, 3 4, 1, 5 4, 3 2,...) g n = (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) h n = ( 2, 3 3, 4 4, 5 5, 6 6, 7 7,...) i n = (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,...) j n = ( 8 7, 3 7, 2 7, 7 7, 12 7,...)
2.2 Exercícios 1. Vimos vários exemplos de sequências, algumas tem um número finito, e outras não. Dentre elas, quais tem infinitos termos? 2. Escreva uma sequência finita com uma propriedade diferente daquelas já apresentadas. 3. Em cada item diga o próximo termo das seguintes sequências: a) (1000, 500, 250,...) b) (4, 7, 10, 13, 4, 7, 10, 13, 4,...) c) (1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31,...) 4. Se hoje é quarta-feira, então em que dia da semana será daqui a 100 dias? 2.3 Progressão Aritmética A progressão aritmética é uma sequência na qual a diferença entre um termo e o seu antecessor é sempre uma constante. Essa constante é chamada de razão da P.A, representaremos algebricamente pela letra r. De modo geral: a 2 a 1 = r a 3 a 2 = r a 4 a 3 = r a n a n 1 = r Para avançar até o segundo termo somamos r, para avançar até o terceiro termo somamos 2r, até o quarto termo somamos 3r, e assim por diante. Exemplo 1. Qual é a razão da P.A onde a 12 = 38 e a 4 = 14?
Solução. Para avançar do quarto termo até o décimo segundo somamos 8r, ou seja, a 12 = a 4 + 8r. Logo, 38 = 14 + 8r 8r = 24 r = 3. Exemplo 2. Determine o centésimo termo da P.A ( 7, 2, 3, 8, 13,...) e o termo geral dessa sequência, ou seja, uma fórmula que gera o valor de qualquer posição. Solução. A razão da P.A é 5, pois a 2 a 1 = 5. a 2 = 2 = 7 + 1 5 a 3 = 3 = 7 + 2 5 a 4 = 8 = 7 + 3 5 a 5 = 13 = 7 + 4 5 Veja que, para avançar do primeiro ao segundo termo somamos uma razão, até o terceiro: duas razões, até o quarto: três razões, e assim sucessivamente. Então para avançar até o centésimo termo somamos noventa e nove razões: a 100 = 7 + 99 5 = 488 Exemplo 3. Determine a soma dos 100 primeiros termos da P.A (1, 3, 5, 7, 9,...) Solução. a 100 = 1 + 99 2 a 100 = 199. Veja que na soma 1 + 3 + 5 + 7 +... + 193 + 195 + 197 + 199, se somarmos o primeiro termo com o último obtemos 1 + 199 = 200, o segundo com penúltimo obtemos 3 + 197 = 200, o terceiro com anti-penúltimo obtemos 5 + 195 = 200 e assim por diante. Ao somarmos aos pares obtemos sempre o valor 200, como são 100 termos, serão 50 parcelas iguais a 200. Logo, 1 + 3 + 5 +... + 199 = 50 200 = 10.000 2.4 Exercícios 1. Calcule o trigésimo termo de cada progressão: a) ( 8 3, 14 5,...) b) ( 2, 2 2 1, 3 2 2,...)
2. Pedro é um maratonista amador e esteve se preparando desde janeiro de 2013 para a Volta da Pampulha em Minas Gerais. Ele, inicialmente, percorreu 1000 metros, em seguida mensalmente, aumentou seu percurso em 100 metros. Quantos metros Pedro percorreu no mês de dezembro de 2013? 3. Em relação a questão anterior. Considerando o aumento constante em metros, qual mês e ano em que Pedro percorreu 3.300 metros. 4. A Copa do Mundo Fifa, mais conhecida como Copa do Mundo é um torneio internacional de futebol realizada em 4 em 4 anos que teve início em 1930, porém não houve o torneio em 1942 e 1946, devido a Segunda Guerra Mundial. Quantas edições do torneio aconteceram até hoje (último torneio realizado em 2014)? 5. Alex, Bruna, Carla, Daniel e Eduardo são irmãos. A seqüência dos nomes está colocada de acordo com a idade. Eduardo é o mais velho. A idade de Alex é igual a razão da P.A. Sabendo-se que os cinco irmãos somam 60 anos, qual a idade de Bruna e a idade de Eduardo? 6. É possível que o lado, diagonal e área de um quadrado sejam nessa ordem termos de uma Progressão Aritmética? Qual seria sua razão? 7. Formam-se n quadrados com palitos, conforme a figura: Qual é o número de palitos usados para construir n quadrados? 8. Determine a soma 1 + 2 + 3 + 4 +... + 98 + 99 + 100
9. (FGV-SP) Um atleta corre sempre 500 metros a mais que no dia anterior. Sabendo-se que ao final de quinze dias ele correu um total de 67.500 metros. Quantos metros ele percorreu no terceiro dia? 10. (UFRN 2012) Uma pilha de latas de leite está exposta num supermercado, em forma de pirâmide de base triangular, como mostra a Figura abaixo. Para montar uma pirâmide semelhante, um promotor de vendas usou 5 caixas contendo 24 latas em cada uma. Cada lata mede 15cm de altura. Observe que, do topo para a base da pirâmide, a quantidade de latas é 1, 3, 6 e assim sucessivamente. a) Essa sequência é uma progressão aritmética? Justifique b) Determine a altura da pirâmide formada pelo promotor de vendas.
2.5 Progressão Geométrica A Progressão geométrica é uma sequência na qual o quociente entre um termo e o seu antecessor é sempre uma constante. Essa constante é chamada de razão da P.G, representaremos algebricamente pela letra q. De modo geral: a n a n 1 Para avançar do primeiro termo até o segundo, multiplicamos por q; para avançar até o terceiro termo, multiplicamos por q 2 ; para avançar até o quarto termo, multiplicamos por q 3, e assim sucessivamente. = q Exemplo 4. Determine todos os temos da P.G (a 1, a 2, 12, a 4, a 5, 96) Solução. Para avançar do terceiro termo até o sexto, multiplicamos q 3. Logo, a 6 = a 3 q 3, 96 = 12 q 3 q 3 = 96 12 q3 = 8 q = 2. Portanto, os termos da P.G são (3, 6, 12, 24, 48, 96). Exemplo 5. Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de segunda a sábado nas duas semanas que antecedem o Natal. O patrão ofereceu R$ 0, 50 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A moça recusou o trabalho. Se ela tivesse aceito a oferta, quanto receberia no 12 a dia? Quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho? Solução. No primeiro dia receberia d 1 = 0, 50; no segundo dia d 2 = 0, 50 2; no terceiro dia d 3 = 0, 50 2 2, e assim por diante. Daí, para avançar até d 12, multiplicamos por 2 11. Logo, d 12 = 0, 50 2 11 = 1.024, 00. Para saber quanto a balconista recebeu pelos 12 dias de trabalho, devemos ter S = d 1 +d 2 +...+d 12 = 0, 50+0, 50 2 1 +...+0, 50 2 11, multiplicando S por 2 (valor da razão), obtemos: 2S = 0, 50 2 1 +... + 0, 50 2 11 + 0, 50 2 12, daí subtraímos S de 2S, Então: 2S S = 0, 50 2 1 +...+0, 50 2 11 +0, 50 2 12 0, 50 0, 50 2 1... 0, 50 2 11. Logo, S = 0, 50 (2 12 1). O salário da balconista que iria receber é: R$ 0, 50 (2 12 1) = R$ 2.047, 50
2.6 Exercícios 1. Determine o montante após aplicar R$ 100,00 a juros composto a uma taxa de 10% ao mês, durante 3 meses. 2. Determine a soma 1 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +... + 2 32 3. Se a população de certa cidade hoje é 500 mil habitantes e cresce 3% ao ano, calcule o número de habitantes daqui a 10 anos. 4. Suponha que você receba duas proposta A e B de emprego temporário durante um mês (30 dias), sendo que na proposta A você ganhe no primeiro dia apenas R$ 0, 01, no segundo dia apenas R$ 0, 02, no terceiro R$ 0, 04, e assim sucessivamente, sempre dobrando o valor em relação ao anterior. Na proposta B, no primeiro dia de trabalho você ganhe R$ 10, 00, no segundo ganhe mais R$ 20, 00, no terceiro R$ 30, 00 e assim por diante aumentando em R$ 10, 00 em R$ 10, 00 todos os dias. Qual proposta oferece o melhor salário? 5. No grande jardim de Clara, existem aproximadamente 100.000 girassóis. Essas plantas foram atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com algumas observações realizadas, duas plantas adoeceram na primeira semana; outras seis, na segunda semana; mais dezoito, na terceira semana, e assim por diante. Até que após a nona semana, toda a praga praticamente foi extinta no local. Qual é o número de girassóis que sobreviveram? 6. Marcos, Lucas, Laura, Fernanda e Tiago são irmãos. A sequência dos noes está colocada de acordo com a idade. Tiago, o mais velho, faz a seguinte observação. - Que interessante! Neste ano, as idades de meus dois irmãos e a minha em anos, formam uma progressão geométrica. Então Fernanda prossegue: - Se você considerasse também as idades de Laura e a minha, nossas idades formariam uma progressão aritmética. Sabendo-se que os cinco irmãos somam 50 anos, qual a idade do Lucas?
Referências Bibliográficas [1] BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática: Ensino Médio. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2004. [2] LIMA, Elon Lages. CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. WAG- NER, Eduardo. MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, volume 2. 6 a Ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. [3] MORGADO, Augusto César. WAGNER, Eduardo. Zani, Sheila C. Progressões e Matemática Financeira. 5 a Ed. Rio de Janeiro: SBM,2001. [4] PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática. volume 2. 1 a Ed. São Paulo: Moderna, 1995. 15