PASCAL (1623-1662) iii

O aumeno do conhecimeno é como uma esera dilaandose no espaço: quano maior a nossa compreensão (simbolizada pelo volume da esera), maior o nosso conaco com o desconhecido (a superície da esera) PSC (1623-1662) iii

GDECIMENTOS Queria em primeiro lugar agradecer a orienação do Proessor rmando eião, sem a qual a concreização dese rabalho não eria sido possível Os ensinamenos e conselhos oram deerminanes em diversas ases da realização da ese gradeço ambém ao Proessor Guilherme Pereira a disponibilidade, o acompanhameno e sugesões ao longo do desenvolvimeno dese rabalho gradeço ao Deparameno de Produção e Sisemas e, em paricular, aos meus colegas do grupo de Opimização e Invesigação Operacional pelo apoio gradeço aos meus pais e irmãos pela coniança que deposiaram em min o Daniel, agradeço a sua paciência e palavras de esímulo, principalmene nas ases mais críicas, em que o meu pessimismo vinha ao de cima Quano à Ema, ela em sido em odos os momenos uma one de moivação e alegria v

ESUMO O presene rabalho incide sobre um sisema que é designado na lieraura anglo-saxónica por Mainenance Floa Sysem Um Mainenance Floa Sysem ípico é consiuído por uma esação de rabalho, um cenro de manuenção e um conjuno de equipamenos de reserva disponíveis para subsiuir os equipamenos avariados esação de rabalho é consiuída por um conjuno de equipamenos acivos e idênicos e, no cenro de reparação, um número limiado de equipas de manuenção esá disponível para eecuar as reparações aos equipamenos avariados Nese rabalho considera-se que as equipas de manuenção, para além das reparações, ambém eecuam revisões periódicas aos equipamenos Um modelo maemáico oi desenvolvido para permiir enconrar a melhor combinação dos rês parâmeros: o número de equipamenos de reserva,, o número de equipas de manuenção no cenro de manuenção, e o inervalo de empo enre duas revisões consecuivas, T esraégia seguida para consruir o modelo envolveu: o desenvolvimeno de equações dierenciais, de orma a deerminar as probabilidades de esado do sisema; a deinição de um ciclo de operação e deerminação da sua duração; a ideniicação e deerminação dos cusos incorridos num ciclo; e a uilização de uma meodologia de pesquisa para deerminar a combinação dos parâmeros que minimiza o cuso oal de manuenção de um deerminado sisema O modelo desenvolvido permie enconrar a combinação ópima dos parâmeros com base nos cusos de manuenção do sisema No enano, ambém oram deerminadas expressões para ouras medidas de desempenho, ais como: a probabilidade de ocorrer ila de espera, vii

o comprimeno médio da ila de espera, o número médio de equipamenos em ala na esação de rabalho, ec viii

BSTCT The sysem ha has been analysed in his work is called Mainenance Floa Sysem ypical Mainenance Floa Sysem consiss o hree componens: an operaion worksaion, a repair cenre, and a se o sandby loa unis in invenory which mus be available or replacing unis sen or repair The worksaion is composed by a se o idenical unis and, in he repair cenre, a ixed number o crews are available o perorm repair acions In his work, i is considered ha crews perorm boh repairs and overhauls a regular ime inervals mahemaical model has been consruced o ind ou he bes combinaion o hree parameers: he number o sandby unis,, he number o mainenance crews in he mainenance cenre, and he ime beween overhauls, T The sraegy ollowed o consruc he model involved: he developmen o dierenial equaions in order o deermine sysem sae probabiliies; he deiniion o an operaing cycle; he calculaion o he cycle duraion and respecive oal mainenance sysem cos incurred; and he uilizaion o a search mehod o ind ou he combinaion o parameers ha minimizes he oal cos o a speciic sysem The model developed allows o ind ou he opimal combinaion o he sysem parameers based on he mainenance sysem cos Expressions or oher sysem perormance measures have also been derived, such as he probabiliy o waiing in he queue, he average queue lengh, he average number o down equipmens, ec ix

ÍNDICE GDECIMENTOSV ESUMOVII BSTCT IX ÍNDICE XI ÍNDICE DE FIGUSXV ÍNDICE DE TBES XVII CP 1 INTODUÇÃO1 11 ÂMBITO1 12 DESCIÇÃO DO SISTEM 3 13 OBJECTIVO6 14 METODOOGI E OGNIZÇÃO D DISSETÇÃO7 CP 2 CONCEITOS E FUNDMENTOS 11 21 POCESSOS ESTOCÁSTICOS 11 211 Processos enováveis12 212 Os Processos de Markov13 213 Processo de Poisson e a Disribuição Exponencial Negaiva14 214 Disribuição Exponencial Negaiva e a Disribuição Gamma15 22 TEOI DS FIS DE ESPE16 221 Deinições16 222 Noação 18 223 Medidas de Desempenho 19 224 Formula de ile20 23 FIBIIDDE 21 231 Inrodução21 232 Fiabilidade de Componenes23 233 Fiabilidade de Sisemas24 234 Modelação da Fiabilidade de Sisemas29 235 nálise dos Dados de Falha de Sisemas37 236 Função de isco e Taxa de varias 39 24 MNUTENÇÃO 40 241 Tipos de Manuenção40 242 s Medidas de Desempenho 43 243 Os Cusos de Manuenção 44 CP 3 POÍTICS E MODEOS DE MNUTENÇÃO 47 31 MODEOS DE MNUTENÇÃO PEVENTIV 49 311 Inrodução49 312 Subsiuição Baseada na Idade dos Sisemas51 313 Subsiuição em Inervalos de Tempo Fixos53 314 Subsiuição após N evisões 55 xi

315 Subsiuição em Inervalos de Tempo Fixos ou após N Falhas 57 316 Subsiuição após N Falhas e evisões em Inervalos de Tempo de Operação Consanes 58 317 Subsiuição Dependene do Tempo de eparação 58 318 Subsiuição Dependene dos Cusos de Manuenção 59 319 Vários Criérios de Decisão 59 32 POÍTICS DE EPÇÃO 60 33 MODEOS DE INSPECÇÃO 61 331 Inrodução 61 332 Modelos de Inspecção para Prognósico de Falha 61 333 Modelos de Inspecção para Deecção de Falhas 63 334 Modelos de Inspecção para Prognósico e Deecção de Falhas 64 34 MODEOS QUE POCUM COODEN MNUTENÇÃO DE VÁIOS EQUIPMENTOS 65 35 MODEOS DE MNUTENÇÃO P M EQUIPMENTOS CTIVOS E IDÊNTICOS 67 36 SISTEMS DE INVENTÁIO MUTI-ESCÃO DE ITENS DE ESEV 71 CP 4 MODEÇÃO DO SISTEM 75 41 NOTÇÕES 75 42 TX DE VIS 76 421 O Processo de Falha dos Equipamenos civos 76 422 Melhoria Originada na Taxa de varias devido à ealização de evisões Periódicas 77 43 POBBIIDDES DE ESTDO 79 431 Inrodução 79 432 Suposições 82 433 s Equações Dierenciais 86 434 Deerminação da Fracção de Equipamenos que variam quano guardam por uma evisão 93 CP 5 O CUSTO DE MNUTENÇÃO DO SISTEM 99 51 NOTÇÕES 99 52 DUÇÃO DO CICO 101 521 Siuação em que < 102 522 Siuação em que 105 523 Deerminação dos Tempos de Subsiuição 108 524 Probabilidade de Falha de um Equipameno civo à Espera de uma evisão 115 53 O MODEO DE CUSTOS 117 CP 6 OUTS MEDIDS DE DESEMPENHO DO SISTEM 121 61 POBBIIDDE DE OCOE FI DE ESPE 122 62 COMPIMENTO MÉDIO D FI DE ESPE 122 63 POBBIIDDE DE NÃO HVE CPCIDDE DE SUBSTITUIÇÃO 122 64 INCPCIDDE MÉDI DE SUBSTITUIÇÃO 123 65 NÚMEO MÉDIO DE EQUIPMENTOS VIDOS NÃO SUBSTITUÍDOS 123 66 NÚMEO MÉDIO DE EQUIPMENTOS EM FT 124 67 TX MÉDI DE OCUPÇÃO DE UM POSTO 125 CP 7 NÁISE DE ESUTDOS 129 71 VIDÇÃO DO MODEO 129 72 EFEITO D VIÇÃO DOS PÂMETOS NS MEDIDS DE DESEMPENHO 133 721 O Comprimeno da Fila de Espera e o Número de Máquinas em Fala 133 722 Taxa Média de Ocupação 137 723 O Cuso de Manuenção 139 CP 8 METODOOGI DE PESQUIS D COMBINÇÃO MIS ECONÓMIC DOS PÂMETOS 145 81 CCTEIZÇÃO DO POBEM E ESCOH DO GOITMO 145 82 DPTÇÃO DO GOITMO O POBEM 148 xii

821 s Soluções Vizinhas 148 822 O Criério de Paragem 150 823 Solução Inicial150 824 O lgorimo Modiicado151 83 EXEMPO DE PICÇÃO 153 CP 9 CONCUSÃO E TBHOS FUTUOS 159 BIBIOGFI163 PÊNDICE I171 PÊNDICE II175 PÊNDICE III 179 PÊNDICE IV181 xiii

ÍNDICE DE FIGUS FIGU 1: NÚMEO DE MÁQUINS INOPECIONIS EM CD INSTNTE 6 FIGU 2: DISTIBUIÇÃO GMM16 FIGU 3: CUV D BNHEI P SISTEMS 25 FIGU 4: INTECÇÃO D CG E CPCIDDE 26 FIGU 5: TEMPO ENTE VIS E TEMPO CUMUDO DE FUNCIONMENTO 27 FIGU 6: PEÍODOS T UP E T DOWN 28 FIGU 7: NÁISE DE DDOS DE FH38 FIGU 8: FUNÇÃO DE ISCO E TX DE VIS40 FIGU 9: BNCEMENTO DOS CUSTOS DE MNUTENÇÃO45 FIGU 10: SUBSTITUIÇÃO EM INTEVOS DE OPEÇÃO CONSTNTES50 FIGU 11: SUBSTITUIÇÃO EM INTEVOS DE TEMPO CONSTNTES 50 FIGU 12: DIGM DE ESTDO DE UM SISTEM COM M=2 E =1 79 FIGU 13: SISTEM COM DUS MÁQUINS DE ESEV E CPCIDDE DE MNUTENÇÃO IIMITD 81 FIGU 14: DIMENTO D EVISÃO 83 FIGU 15: EPESENTÇÃO DO SISTEM P <84 FIGU 16: EPESENTÇÃO DO SISTEM P 86 FIGU 17: DIGM DE ESTDOS 86 FIGU 18: NÚMEO DE EQUIPMENTOS VIDOS E COM NECESSIDDE DE EVISÃO N FI DE ESPE P < 93 FIGU 19: NÚMEO DE EQUIPMENTOS VIDOS E COM NECESSIDDE DE EVISÃO N FI DE ESPE P 94 FIGU 20: DUÇÃO DO CICO P < 105 FIGU 21: DUÇÃO DO CICO P 107 FIGU 22: CÁCUO ITETIVO P V=3111 FIGU 23: OS CUSTOS DE MNUTENÇÃO < 118 FIGU 24: OS CUSTOS DE MNUTENÇÃO 119 FIGU 25: O CICO P <126 FIGU 26: O CICO P 127 FIGU 27: GÁFICO Q VESUS T135 FIGU 28: GÁFICO N VESUS T 135 FIGU 29: GÁFICO N VESUS 136 FIGU 30: GÁFICO Q VESUS 136 FIGU 31: GÁFICO Q VESUS 137 FIGU 32: GÁFICO N VESUS 137 FIGU 33: GÁFICO Q VESUS E 138 FIGU 34: GÁFICO Q VESUS T138 FIGU 35: GÁFICO CT VESUS 139 FIGU 36:GÁFICO CT VESUS P 140 FIGU 37:GÁFICO CT VESUS P > 140 FIGU 38:GÁFICO CT VESUS 141 FIGU 39: GÁFICO CT VESUS P <141 FIGU 40: GÁFICO CT VESUS P 141 FIGU 41: GÁFICO CT VESUS E 142 FIGU 42: GÁFICO CT VESUS T142 FIGU 43: GÁFICO CT VESUS E 143 xv

ÍNDICE DE TBES TBE 1: NOTÇÃO P S FIS DE ESPE 19 TBE 2: POBBIIDDES DE ESTDO P T= 132 TBE 3: DDOS DE ENTD DO SISTEM133 TBE 4: CUSTOS DE MNUTENÇÃO 139 TBE 5: MEHOI OIGIND N TX DE VIS VESUS T 152 xvii

CP 1 INTODUÇÃO 11 Âmbio O aumeno da auomação dos processos produivos, com a uilização de robôs, de sisemas auomáicos e de veículos de ranspore, assim como a adopção de novas abordagens ais como o JIT (Jus In Time) e o TQM (Toal Qualiy Managemen) ornaram a iabilidade e a manuenção duas áreas de especial imporância, ano na ase de concepção ou selecção de um equipameno como ao longo de odo o seu ciclo de vida Num passado não muio disane, os cusos de manuenção represenavam uma elevada percenagem dos cusos de operação s acções de manuenção eram essencialmene correcivas e os cusos associados considerados como um mal necessário Hoje em dia, com a inensa pressão compeiiva, as empresas procuram aumenar a sua eiciência e alcançar vanagens compeiivas aravés de odas as ones possíveis, nomeadamene aravés da redução de invenários, da adopção de novos paradigmas de produção, do aumeno da qualidade dos seus produos recorrendo a programas de melhoria conínua e, ambém, do aumeno da eiciência dos seus equipamenos produivos Tornou-se evidene que as paragens e a redução da eiciência dos equipamenos êm um impaco direco na produividade do processo produivo É ainda imporane salienar que o conrolo e opimização da manuenção dos equipamenos é não só imporane do pono de visa dos resulados operacionais dos sisemas, relecindo-se no - 1 -

2 INTODUÇÃO desempenho da organização, como do pono de visa da segurança da implanação e, em ceros casos, do impaco no meio envolvene Conscienes da imporância da manuenção, diversas organizações implemenaram uma abordagem como a Manuenção Produiva Toal (TPM Toal Producive Mainenance), que procura maximizar a eiciência do equipameno aravés do envolvimeno dos operadores e implemenar a manuenção auónoma, e a Manuenção Cenrada na Fiabilidade (CM eliabiliy Cenred Mainenance), que consise numa meodologia para deerminar a manuenção preveniva necessária que maximiza a iabilidade do equipameno ou sisema Qualquer acção de manuenção num processo produivo, seja ela correciva ou preveniva, em como objecivo assegurar o correco uncionameno dos equipamenos e ober a maior disponibilidade possível realização de manuenções prevenivas aumena o conrolo sobre os equipamenos e evia as paragens inesperadas No enano, se as acções de manuenção orem excessivas, o cuso resulane será elevado Sendo assim, quando se procura alcançar a máxima eiciência do equipameno, odos os ipos de acções de manuenção devem ser considerados e os cusos envolvidos devem ser ponderados Esa quesão em vindo a ser invesigada na lieraura por diversos auores Exisem vários modelos que se propõem enconrar a melhor políica de manuenção para deerminados equipamenos, endo em cona a sua iabilidade e os cusos associados às avarias e às acções de manuenção preveniva Exisem ainda modelos que permiem deerminar se é preerível coninuar a rabalhar com um deerminado equipameno ou subsiuí-lo Para sisemas produivos que envolvem vários equipamenos idênicos ou equipamenos cujos componenes ou subconjunos são idênicos, orna-se vanajoso azer uma gesão conjuna dos recursos de manuenção, sejam eles humanos ou maeriais Na indúsria, o recurso a equipamenos de reserva é uma práica correne e permie minimizar os cusos direcos e indirecos originados pela paragem de um deerminado equipameno, garanindo a axa de produção planeada

INTODUÇÃO 3 Com ese propósio, surgem modelos na lieraura para modelar sisemas ormados por um conjuno de equipamenos idênicos em uncionameno paralelo Eses sisemas são designados na lieraura anglo-saxónica por Mainenance Floa Sysem 12 Descrição do Sisema Os Mainenance Floa Sysems são basicamene ormados por uma esação de rabalho, em que um conjuno de equipamenos idênicos e independenes esão a rabalhar; um cenro de manuenção, onde são realizadas operações de manuenção por uma ou mais equipas de manuenção; e equipamenos de reserva que apoiam a esação de rabalho Os equipamenos de reserva subsiuem os equipamenos sujeios a operações de manuenção para assegurar, sempre que possível, a produividade máxima ou normal do sisema Um equipameno cuja manuenção é inalizada no cenro de manuenção é considerado como um equipameno de reserva Esa coniguração pode ser enconrada em diversas implanações abris e represena a coniguração de diversos sisemas de ranspores de mercadorias ou de passageiros (aéreos, rodoviários ou erroviários) O equipameno pode ser o sisema de ranspore ou um dos seus subsisemas Da mesma orma, no caso de uma implanação abril, o esudo pode incidir sobre a máquina ou sobre um dos seus subconjunos Uiliza-se a designação equipameno por esa ser a designação mais abrangene O problema da deerminação do número de equipas de manuenção necessárias para o sisema pode ser resolvido endo em aenção apenas um acor - o número de equipamenos que necessiam de uma reparação num deerminado inervalo de empo Nese caso, as implicações da conraação de mais uma equipa de manuenção eriam de ser ponderadas com base nos cusos acuais do sisema aquisição de um equipameno de reserva ambém pode ser decidido,

4 INTODUÇÃO endo em cona os cusos acuais e ignorando a possibilidade de se alerar o número de equipas de manuenção No enano, para opimizar a eiciência de um sisema é necessário azer uma análise conjuna de odos os acores (ou dos acores principais) que a podem inluenciar complexidade do problema aumena com o número de acores que se consideram no modelo deinição do número mais adequado de equipas de manuenção permie que se diminua o empo de espera pela inervenção, diminuindo o empo de paragem dos equipamenos e eviando que os encargos com a mão de obra se ornem demasiado elevados exisência de equipamenos de reserva ambém permie eviar que se incorram em perdas de produção elevadas devido à paragem dos equipamenos quando ocorrem avarias e assegurar que os compromissos assumidos com os clienes sejam cumpridos Quano mais requenes orem as avarias maior será a necessidade em equipas de manuenção e equipamenos de reserva ocorrência de avarias é nauralmene indesejável e, sempre que or possível e economicamene jusiicado, deve ser eviada Quando não é possível reduzir ou eliminar a sua ocorrência, pode-se enar ideniicar algum sinal (inspecção) que permia deduzir que a alha esará iminene Uma das componenes do cuso associado à alha de um equipameno esá relacionada com a imprevisibilidade da ocorrência da alha O aco de não se saber se e quando a avaria vai ocorrer obriga a maner um invenário de iens de reserva elevado ou incorrer em perdas de produção elevadas devido ao empo de espera para aquisição de iens sobressalenes O empo de paragem inclui, para além do empo de espera e do empo de reparação, o empo desinado à ideniicação da avaria crescena-se ainda, em ceros casos, um cuso associado à evenual desruição ou daniicação, no decorrer da alha, de ouros iens inseridos no sisema e um cuso de perda de qualidade do serviço ou produo anes de ocorrer a avaria

INTODUÇÃO 5 o conrário das acções de manuenção correciva, as acções de manuenção preveniva ou revisões são planeadas permiindo que o empo de paragem seja minimizado O empo de espera para aquisição de sobressalenes e o cuso de posse de invenários podem ser eliminados ou reduzidos Por esas razões, o cuso de eecuar uma revisão é geralmene inerior ao cuso incorrido para realizar uma reparação realização de revisões em inervalos de empo consanes origina geralmene uma diminuição nos cusos de manuenção porque permie eviar a ocorrência de algumas avarias axa de avarias do equipameno diminui, como resulado da subsiuição de componenes com unção de risco crescene e da veriicação dos equipamenos, mudanças de óleo, lubriicação, ec Desa orma, considera-se no presene rabalho a possibilidade de submeer os equipamenos acivos a revisões periódicas s revisões são realizadas no cenro de manuenção, sempre que um equipameno permanece em uncionameno T unidades de empo sem avariar Designa-se por M, o número de equipamenos idênicos e independenes que devem esar a rabalhar em simulâneo para assegurar a capacidade máxima de uncionameno, e designa-se por o número de equipas de manuenção que realizam indiscriminadamene operações de reparação e revisão Para ilusrar o problema que se preende analisar, represena-se na igura 1 um sisema consiuído por um grupo de rês máquinas idênicas Os empos 1 represenam os empos de paragem devido a manuenções prevenivas, os empos 2 represenam os empos de paragem devido a avarias e T represena o inervalo enre revisões

6 INTODUÇÃO 1 máquinas 1 T 1 2 T 1 T T 3 X 2 T M = 3 Figura 1: Número de máquinas inoperacionais em cada insane igura 1 apresena ainda um hisograma que oaliza o número de máquinas inoperacionais em cada insane de empo, somando o número de máquinas avariadas com o número de máquinas em revisão Considerando que exisem máquinas de reserva disponíveis, não haverá máquinas em ala se o número de máquinas avariadas e em revisão or inerior a Caso conrário, o número de máquinas em ala será dado pela dierença enre o número de máquinas avariadas e em revisão e o número de máquinas de reserva 13 Objecivo O objecivo dese rabalho é consruir um modelo que permia deerminar a eiciência do sisema descrio e possibilie poseriormene a deerminação da melhor combinação do número de equipamenos de reserva, do número de equipas de manuenção e do inervalo enre revisões melhor medida de desempenho para um sisema como ese depende essencialmene das paricularidades do sisema que se esiver a analisar Exisem várias medidas de desempenho possíveis, ais como:

INTODUÇÃO 7 o comprimeno médio da ila de espera, o número médio de equipamenos acivos na esação de rabalho, a uilização média dos equipamenos ec No enano, quando se preende decidir sobre a compra e posse de equipamenos ou sobre a conraação de pessoal, a medida de desempenho que mais peso em na omada de decisão é o cuso s ouras medidas de desempenho, ais como as aneriormene ciadas, podem ser uilizadas como resrições do problema, nos casos em que se jusiicar (por exemplo, limiar ao máximo o número de alhas por esas conduzirem a siuações de risco para a segurança e saúde dos operadores ou clienes, ou assegurar que a disponibilidade do sisema se manenha num deerminado nível) ou como mera indicação do que se pode esperar do sisema Tendo sido escolhida a orma de medir a eiciência do sisema, o objecivo do rabalho pode agora ser deinido de uma orma mais precisa: a consrução de um modelo que permia deerminar a coniguração ópima de um deerminado sisema (deerminação dos valores de e ) e a políica ópima de manuenção (deerminação do valor de T) que minimiza o cuso oal de manuenção 14 Meodologia e Organização da Disseração Exisem diversos cusos associados à laboração do sisema de manuenção em análise, mas o cuso de perda de produção é o que raz mais diiculdade na sua deerminação O cuso de perda de produção depende da duração do inervalo de empo durane o qual o serviço deixa de ser assegurado por ala de equipamenos disponíveis Para se poder deerminar esse inervalo de empo, é necessário conhecer o número de equipamenos inoperacionais em cada insane de empo Por esse moivo, o desenvolvimeno dese rabalho decorreu em duas eapas subsequenes primeira eapa consisiu na deerminação das probabilidades de esado do sisema para o esado esacionário e a segunda consisiu no desenvolvimeno de um modelo de cusos baseado nas probabilidades de esado obidas O modelo de cusos desenvolvido permie avaliar em ermos económicos qualquer

8 INTODUÇÃO combinação dos rês parâmeros do modelo: o número de equipamenos de reserva, o número de equipas de manuenção e o inervalo enre revisões T Para permiir enconrar a combinação dos rês parâmeros do modelo que minimiza o cuso oal, procurou-se deinir e implemenar um algorimo de pesquisa O documeno oi esruurado em nove capíulos que seguem um pouco a evolução do rabalho e inicia-se com a deinição do sisema e problema a raar no presene capíulo No capíulo 2 apresenam-se alguns conceios e undamenos O objecivo é inroduzir alguns méodos quaniaivos e conceios necessários para melhor se compreender os modelos de manuenção que se enconram na lieraura, desde os modelos de manuenção individual aé aos modelos que envolvem vários equipamenos em paralelo, como é o caso do sisema que é objeco dese rabalho O capíulo 3 reraa as políicas e modelos de manuenção que se enconram na lieraura, classiicando-os segundo a sua especiicidade No capíulo 4, deine-se uma expressão maemáica que descreve a orma como as manuenções prevenivas periódicas inluenciam a axa de avarias dos equipamenos e apresena-se o modelo desenvolvido para deerminar as probabilidades de esado do sisema No capíulo 5 deine-se um ciclo de operação e deermina-se a sua duração média com o objecivo de deerminar o cuso oal de manuenção do sisema por unidade de empo Os dierenes cusos incorridos no ciclo são ideniicados e as suas expressões são deerminadas No capíulo 6 são deinidas as expressões de várias medidas de desempenho relevanes para o sisema em esudo análise de resulados é eia no capíulo 7 nalisa-se o eeio da aleração do número de equipamenos de reserva, do número de

INTODUÇÃO 9 equipas de manuenção e do inervalo enre revisões, nas várias medidas de desempenho adopadas, incluindo os cusos O capíulo 8 raa da meodologia de pesquisa da solução de menor cuso e o capíulo 9 apresena as conclusões

CP 2 CONCEITOS E FUNDMENTOS Nese capíulo são abordadas as maérias cujo conhecimeno é imprescindível para analisar e propor um modelo para o sisema em esudo, assim como para melhor enender os modelos de manuenção exisenes na lieraura que serão abordados no capíulo a seguir Na primeira secção deinem-se os processos esocásicos endo em visa a modelação do processo de alha dos equipamenos, que é indispensável para se poder deduzir o número de chegadas que ocorrem em cada insane no cenro de manuenção Tendo em cona que o sisema em análise pode ser viso como um sisema de ila de espera em ciclo echado, endo já sido raado como al por diversos auores, apresena-se resumidamene, no secção 2, a eoria relaiva às ilas de espera Na secção seguine inroduzem-se algumas noções de iabilidade, azse nomeadamene a disinção enre sisema reparável e sisema não reparável Na quara e úlima secção classiicam-se os ipos de manuenção e descrevem-se as medidas de desempenho de ais políicas, incluindo os cusos de manuenção 21 Processos Esocásicos O processo esocásico é uma absracção maemáica de um processo cujo desenvolvimeno é governado por leis de probabilidade Do pono de visa maemáico, um processo esocásico é deinido por uma - 11 -

12 CONCEITOS E FUNDMENTOS amília de variáveis aleaórias, {X(), T}, deinidas no conjuno T O conjuno T é por vezes deinido como um espaço de empo, e X() deine o esado do sisema no insane Dependendo da naureza do espaço de empo, o processo é classiicado de processo com parâmero discreo ou com parâmero conínuo; i e, se T é uma sequência de variáveis discreas T= {0, ±1, ±2, } ou T={1,2,}, enão o processo esocásico {X(), T} é chamado de processo com parâmero discreo, se T é um inervalo ou uma combinação algébrica de inervalos, por exemplo, T= {: - < < } ou T={: 0 < < }, enão o processo esocásico {X(), T} é chamado de processo esocásico com parâmero conínuo 211 Processos enováveis Seja N() ( 0) o número de alhas (renovações ou subsiuições) durane o inervalo (0,] Se os empos enre alhas x 1, x 2, orem variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas, o processo esocásico resulane {N(), 0} é chamado processo de renovação, em que F()= P(x k ) (k= 1, 2,) O empo para a alha n é de S n = x 1 x 2 x n, em que S 0 = 0 e n= 1, 2, Uma vez que o número de alhas aé ( 0) é N()= max{n: S n }, vem que P(N() n)= P(S n ) Enão, a probabilidade de o número de alhas aé ser exacamene n é dado por: P(N()= n)= Pr(N() n) Pr(N() n1) (21) = Pr(S n ) Pr(S n1 ) = F (n) ()- F (n1) (), n=0, 1, Enão a unção de renovação M() é deinida como o valor esperado de N() para ixo Iso é, M()= E[N()]= np ( N( ) = n) (22) n = 1

CONCEITOS E FUNDMENTOS 13 = ( N( ) k) = P P( S k ) k= 1 k= 1 = k =1 F ( k ) ( ) ssumindo que F é dierenciável, a axa de renovação pode ser dada por: m()= k =1 ( ) ( k ) (23) Em geral, a axa de renovação varia inicialmene com o empo e ende assimpoicamene para uma consane m=1/e[x] Se o processo de renovação é um Processo de Poisson Homogéneo, os empos enre alhas x 1, x 2,,x n seguem uma disribuição Exponencial Negaiva com média 1/ (>0), ie F()=1-exp(-) O empo para a alha n (S n ) corresponde a soma de n variáveis provenienes de uma disribuição exponencial, sendo a disribuição de Probabilidade F (n) () respeciva uma disribuição Gamma (convolução de n disribuições Exponenciais Negaivas) 212 Os Processos de Markov Um processo esocásico com parâmero discreo {X(), = 0, 1, 2} ou um processo esocásico com parâmero conínuo {X(), >0} é chamado de processo de Markov se, para qualquer conjuno 1 < 2 << n no conjuno ou espaço de empo do processo, a disribuição condicional de X( n ), dados os valores de X( 1 ), X( 2 ), X( 3 ),,X( n-1 ), depende apenas do valor imediaamene anerior, X( n-1 ); iso é, para qualquer número real x 1, x 2,, x n, P(X( n ) x n X( 1 )= x 1,,x( n-1 )=x n-1 ) = P(X( n ) x n X( n-1 )= x n-1 ) (24) Uma cadeia de Markov é descria por uma sequência de variáveis aleaórias discreas, X( n ), em que n oma um valor discreo ou

14 CONCEITOS E FUNDMENTOS conínuo, iso é, uma cadeia de Markov é um processo de Markov com um espaço de esados discreos 213 Processo de Poisson e a Disribuição Exponencial Negaiva disribuição de Poisson descreve siuações em que os aconecimenos ocorrem aleaoriamene e com uma axa consane Esas siuações são descrias por um Processo de Poisson Homogéneo Um Processo de Poisson Homogéneo é um processo esacionário em que a disribuição do número de aconecimenos (independenes enre si) que ocorrem em inervalos de empo ou espaço iguais é a mesma, independenemene de onde (ou quando) se dá o início do inervalo expressão da disribuição de Poisson para um inervalo ( 1, 2 ] é a seguine (de al orma que 2 > 1 0): P ( n 2 e ) = 1 ( 2 1 ) ( ( n! 2 )) 1 n (25) (para n= 0, 1, 2,) designa a axa média de ocorrência do aconecimeno e ( 2-1 ), o número esperado de aconecimenos no inervalo ( 1, 2 ] Num processo de Poisson não Homogéneo, o processo não é esacionário disribuição do número de aconecimenos num inervalo de comprimeno ixo muda em unção do insane em que se inicia o inervalo Os aconecimenos discreos podem ocorrer a uma axa crescene ou decrescene disribuição dos aconecimenos num processo de Poisson não Homogéneo é dada pela seguine expressão: P ( n 2 2 1 e ) = 1 ρ( ) d 2 ( ρ( ) d) 1 n! n (26)

CONCEITOS E FUNDMENTOS 15 Em que 2 ρ ( ) d represena o número médio de aconecimenos no 1 inervalo ( 1, 2 ] Em suma, um processo de Poisson Homogéneo descreve uma sequência de variáveis aleaórias independenes, disribuídas idênica e exponencialmene Um processo de Poisson não Homogéneo é descrio por uma sequência de variáveis aleaórios que não são independenes, nem idenicamene disribuídas 214 Disribuição Exponencial Negaiva e a Disribuição Gamma disribuição Gamma é uma exensão da disribuição Exponencial Negaiva Pode ser derivada considerando o empo para k chegadas sucessivas num processo de Poisson ou, da mesma orma, pela consideração da convolução de ordem k de uma disribuição Exponencial Negaiva disribuição Gamma é a disribuição conínua análoga à disribuição Binomial Negaiva, que pode ser obida pela consideração da soma de k variáveis provenienes de uma disribuição Geomérica Considerando uma disribuição Exponencial Negaiva com parâmero, a disribuição Gamma correspondene é dada por: ( k ) k 1 em que Γ (k ) é a unção Gamma sandard e k ( ) = (27) Γ( k ) Γ k 1 x ( k ) = x e dx 0, deinida para k>0 Depois de inegrada, obém-se Γ ( k ) = ( k 1) Γ ( k 1) (28)

16 CONCEITOS E FUNDMENTOS Para k ineiro, Γ ( k ) = ( k 1)! (29) Para valores ineiros de k, a unção densidade de probabilidade Gamma é ambém conhecida como a unção densidade de probabilidade de Erlang; e, se k=1, a disribuição Gamma corresponde à disribuição Exponencial Negaiva 10 k=1 Exponencial (x) 5 k=2 k=3 0 1 2 3 4 5 Figura 2: Disribuição Gamma 22 Teoria das Filas de Espera 221 Deinições Um sisema de ila de espera pode ser descrio como a chegada de clienes a um sisema para serem aendidos, que esperam pela sua vez quando não exise servidores disponíveis, e que, depois de serem aendidos, deixam o sisema Na maioria dos casos, seis caracerísicas básicas descrevem adequadamene um sisema de ila de espera (Gross & Harris (1998)): 1 o processo de chegada dos clienes; 2 o processo de aendimeno dos clienes;

CONCEITOS E FUNDMENTOS 17 3 a disciplina de ila de espera; 4 a capacidade do sisema; 5 o número de servidores; 6 o número de ases do serviço O processo de chegado dos clienes O processo de chegada é geralmene um processo esocásico, sendo necessário conhecer a disribuição de probalidade que descreve os empos enre chegadas O processo de aendimeno dos clienes O inervalo de empo para aender um cliene é geralmene descrio por uma disribuição de probabilidade Geralmene, os empos de serviço são considerados independenes do processo de chegada e do servidor que execua o serviço, e são idenicamene disribuídos disciplina de ila de espera disciplina de ila de espera reere-se à orma como os clienes são seleccionados para serem aendidos quando se orma a ila de espera disciplina mais comum é: aender em primeiro lugar quem chegou primeiro (FIFO Firs In, irs Ou ) ender em primeiro lugar o úlimo a chegar (IFO - as In, irs Ou ) é ambém uma políica uilizada requenemene em sisemas de invenários (quando as unidades armazenadas não se ornam obsoleas) por ser mais ácil alcançar a úlima unidade