5. apacitância apítulo 5 5. apacitância (baseado no Halliday, 4 a edição) A Utilização dos apacitores omo podemos armazenar energia? a. Mecânica: esticando uma corda de um arco, distendendo uma mola, comprimindo um gás, levantando um livro, etc. b. Elétrica: no campo elétrico no interior de um capacitor, no campo magnético em um solenóide, etc. Ex.: 1) durante o processo de carga, o capacitor de uma bateria portátil de uma máuina fotográfica, acumula carga com lentidão, criando assim um campo elétrico, nesse período de tempo. A manutenção do campo e de sua energia ocorre até o momento em ue acontece a rápida liberação da energia durante a curta duração do flash. ) aplicação de capacitores transmissores e receptores de rádio e TV, bancos de memórias dos computadores, etc. apacitância onceito: propriedade dos capacitores e depende da sua geometria e do material isolante do ual é construído. [ristóvão R M Rincoski] p. 1
5. apacitância apítulo 5 apacitores ( condensadores antigo) a) Apresentam grande variedade de tamanho e forma. b) Elementos básicos: dois condutores (placas ou armaduras) separadas por um material isolante (dielétrico). c) Símbolo: usado para ualuer geometria. Inicialmente trataremos genericamente o isolante entre as placas do capacitor: a) uando o capacitor é carregado, suas placas aduirem cargas iguais e de sinais opostos, e chamamos de carga do capacitor. = = b) as placas condutoras constituem superfícies euipotenciais (V i = V f para todos os pares de pontos (i, f) sobre a mesma placa). c) entre as placas temos ΔV (d. d. p.) e representaremos por V por motivos históricos. [ristóvão R M Rincoski] p.
5. apacitância apítulo 5 A, d,v e A d V cargas das armaduras superior e inferior. área das armaduras. distância entre as armaduras. d. d. p. entre as armaduras A, omo a carga é proporcional ao potencial V, α V = V onde é uma constante de proporcionalidade cujo valor depende da geometria entre as placas (apacitância). Unidade (): a) [] = [] / [V] no S. I. / V recebe o nome de farad (F). b) Valor unitário 1 1 F = 1 V omo o farad é uma unidade muito grande, usamos geralmente, os múltiplos do farad: 1μ F (1 6 F), 1 pf (1 1 F), etc. [ristóvão R M Rincoski] p. 3
5. apacitância apítulo 5 arregando um apacitor Ex.: colocando-o num circuito elétrico. Alguns onceitos Necessários: 1) ircuito elétrico: caminho através do ual uma corrente elétrica pode fluir. ) orrente elétrica: 1. movimento de cargas em um condutor. movimento ordenado de cargas num condutor. Sentidos: real convencional portadores de cargas negativos. portadores de cargas positivos. 3) Bateria: dispositivo ue mantém a d. d. p. fixa entre seus terminais, devido (provavelmente) às reações uímicas internas. Terminais: positivo terminal de potencial mais alto. negativo terminal de potencial mais baixo. Símbolo: 4) Terminais: pontos nos uais a corrente elétrica pode entrar ou sair de uma bateria. [ristóvão R M Rincoski] p. 4
5. apacitância apítulo 5 h l h l S V S bateria diagrama esuemático circuito O capacitor: 1) Inicialmente descarregado até ue a chave S seja fechada. ) Fechando o circuito (fechando S), a corrente flui do potencial mais alto para h e da placa l para o potencial mais baixo da bateria (corrente convencional) regime transiente. 3) O fluxo de cargas cria uma carga em h e em l e uma d. d. p. V entre as placas (a mesma ue a bateria). [ristóvão R M Rincoski] p. 5
5. apacitância apítulo 5 4) Assim ue V é estabelecido entre as placas, a corrente cessa e o capacitor fica completamente carregado com carga e d. d. p. V regime estático/estacionário. carga do capacitor V d. d. p. do capacitor V regime estático/estacionário i regime transiente corrente no circuito t W trabalho da bateria t Ver circuito R i W t t álculo da apacitância Para calcularmos a capacitância de capacitores com várias geometrias diferentes, temos ue adotar um plano geral de solução. [ristóvão R M Rincoski] p. 6
5. apacitância apítulo 5 Plano Geral de Solução: 1. Supomos uma carga entre as placas do capacitor (regime estático/estacionário estabelecido).. alculamos o campo elétrico E entre as placas do capacitor, em termos da carga, usando a Lei de Gauss. ε ΔV E d A = 3. onhecendo o campo elétrico, calculamos a d. d. p. V entre as placas usando = V = E d s 4. om e V, calculamos a capacitância de i f = V Para simplificar o cálculo de E e V, vamos fazer algumas suposições: Suposições a) álculo do campo elétrico E usando a Lei de Gauss ε E d A = onde é a carga líuida no interior da superfície gaussiana. [ristóvão R M Rincoski] p. 7
5. apacitância apítulo 5 A superfície gaussiana é hipotética e por isto, podemos escolhê-la da maneira ue melhor nos convier, então: Em todos os casos consideraremos ue superfície gaussiana é tal ue uando E passar através dela, terá um módulo constante e ue seja paralelo ao vetor de área. 1(θ = ) E // d A ε E da cos θ = ε E da =,, e como E = te em da ε E A s. g. = b) álculo da diferença de potencial V Relacionamos a d. d. p. entre as placas com o campo elétrico com ΔV = V f = E d s i omo a integral é calculada sobre uma trajetória e o seu resultado independe da escolha da trajetória, então escolhemos: A integral é calculada ao longo de uma trajetória ue comece sobre a placa positiva e termine sobre a negativa, acompanhando sempre as linhas de campo. [ristóvão R M Rincoski] p. 8
5. apacitância apítulo 5 E // d s ΔV = V = i f 1(θ = ) E ds cosθ V = i f E ds,, e como i e f V = E ds Aplicações para Alguns asos Especiais 1 o aso) Um apacitor de Placas Paralelas d superfície gaussiana i f d s da E a) onsideraremos ue: as placas são muito grandes e próximas para podermos ignorar os efeitos de distorção do campo elétrico na borda (vamos ignorar os efeitos de borda) b) Vamos, então, adotar E = te (uniforme) através de todo o volume entre as placas. 1 o ) O regime estático/estacionário já está estabelecido, portanto = = [ristóvão R M Rincoski] p. 9
5. apacitância apítulo 5 o ) A superfície gaussiana engloba a carga positiva E As. g. = As. g. = A E = = te ε A ε como, então. 3 o ) álculo da d. d. p. V = E ds = E ds = E d, então V = E d. 4 o ) álculo da capacitância = V, = ( E d) e = d ue explicitamente independe da carga. ε A = ε Obs.: 1) a capacitância só depende de fatores geométricos (A, d). A d ) o cálculo acima sugere porue escrevemos 1/(4π ε ) na Lei de oulomb, se não tivéssemos, a capacitância cima, ue é mais usada, não teria esta forma simples. 3) o resultado acima, nos permite expressar ε (permissividade elétrica do vácuo) de forma mais apropriada (para problemas com capacitor) ε ε = 8,85 1 = 8,85 1 1 1 F / m = 8,85 / N m pf / m problemas com capacitor. problemas com a Lei de oulomb. [ristóvão R M Rincoski] p. 1
5. apacitância apítulo 5 o aso) Um apacitor ilíndrico superfície gaussiana a) Seção transversal de um capacitor cilíndrico de comprimento L, formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b. a b b) onsideramos L >> b para desprezar distorções, do campo elétrico ue ocorre nas extremidades (efeito de borda). r a b raio do cilindro condutor interno. raio do cilindro condutor externo. carga da armadura interna. carga da armadura externa. 1 o ) O regime estático/estacionário já está estabelecido, portanto = = o ) A superfície gaussiana engloba a carga positiva ε E As. g. As. g. = (π r) L E = ε π r L = como, então. 3 o ) álculo da d. d. p.: = b dr V E ds =. π ε L a r [ristóvão R M Rincoski] p. 11
5. apacitância apítulo 5 dx = ln x x omo a integral é tabelada. V = π ε ln L b a 4 o ) álculo da capacitância b = V = ln π ε L a carga., ue, novamente, explicitamente independe da = π ε L ln( b / a) Obs.: depende, somente de fatores geométricos L, a e b. 3 o aso) Um apacitor Esférico Usando a mesma figura anterior, como sendo um corte transversal de um capacitor esférico ue consiste de duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b. 1 o ) O regime estático/estacionário já está estabelecido, portanto = = [ristóvão R M Rincoski] p. 1
5. apacitância apítulo 5 o ) A superfície gaussiana engloba a carga positiva 1 ε E As. g. As. g. = 4π r E = 4π ε r = como, então. 3 o ) álculo da d. d. p.: = b dr V E ds =. a 4π ε r 4 o ) álculo da capacitância ab = V = 4π ε b a carga. m u u du = m 1, ue, novamente, explicitamente independe da m 1 A integral é da como. V = 1 4π ε 1 a 1 = b 4 = 4π ε 1 π ε ab b a b a ab 4 o aso) Um Esfera Isolada Podemos atribuir uma capacitância a um único condutor esférico isolado, de raio a, supondo ue a placa ue falta é um condutor de raio esférico de raio infinito. [ristóvão R M Rincoski] p. 13
5. apacitância apítulo 5 Motivo: as linhas de campo partem da superfície de um condutor carregado e isolado e devem terminar em algum lugar. Podemos reescrever o resultado anterior e fazer b : ab b = 4π ε = 4π ε b a b 1 a a / b = 4π ε Obs.: genericamente, em todos os casos pode ser escrita como L = ε a apacitores em Série e Paralelo Problema central: encontrar o capacitor euivalente. apacitor Euivalente onceitos: 1) um único capacitor ue tem a mesma capacitância ue a combinação real de capacitores. ) capacitor ue sob a mesma d..d. p. da bateria apresenta a mesma carga ue a combinação de capacitores. 1) apacitores em Paralelo [ristóvão R M Rincoski] p. 14
5. apacitância apítulo 5 1 3 Três capacitores ( 1,, e 3 ) ligados em paralelo e a uma bateria B: a) Os terminais da bateria estão ligados por fios condutores diretamente às placas dos 3 capacitores. b) omo a bateria mantém a mesma d. d. p. V entre os terminais, ela aplica a mesma d. d. p. V através de cada capacitor. V Dizemos ue numa combinação de capacitores: estão ligados em paralelo, uando uma d. d. p. aplicada através da combinação resulta na mesma d. d. p. através de cada capacitor. B V e. = V V e. B e. e. = ircuito euivalente: e. a) A bateria euivalente deve fornecer ao circuito euivalente uma d. d. p. igual à do circuito ue está substituindo (V e. = V). b) A carga elétrica euivalente fornecida ao capacitor euivalente é igual à carga fornecida pela bateria B aos capacitores em paralelo ( e. = ). c) O capacitor euivalente: é euivalente (capacitância euivalente às anteriores) de tal forma ue mantenha a d. d. p. ou a carga elétrica total armazenada na associação. [ristóvão R M Rincoski] p. 15
5. apacitância apítulo 5 1 o ) A d. d. p. na combinação V = V = V = = L V e. = 1 V3 o ) A carga elétrica na combinação e. = = 1 3 L = V 3 o ) Da lei básica sobre capacitância : e. = e. Ve. 1 1 1 3 = 3 V3, = V, = V,, L. Da euação para carga N e. Ve. = V = 1 V1 V 3 V3 L, e. = 1 3 L ou e. = i = 1 i ) apacitores em Série 1 3 V B V e. = V e. = e. V e. B e. Três capacitores ( 1, e 3 ) ligados em série e, a uma bateria B, ue mantém a d. d. p. V entre os seus terminais: [ristóvão R M Rincoski] p. 16
5. apacitância apítulo 5 As d. d. p.(s) através dos capacitores 1, e 3 são V 1, V e V 3. Dizemos ue numa combinação de capacitores: estão ligados em série, uando a d. d. p. aplicada através da combinação é a soma das d. d. p.(s) através de cada capacitor. 1 o ) A d. d. p. na combinação V = V V L V e. = 1 V3 o ) A carga elétrica na combinação e. ompreendendo o ue acontece com as cargas: = = 1 = = 3 = L a) Inicialmente a parte tracejada em vermelho do circuito, está flutuando (eletricamente isolada do circuito) e não contém carga líuida. b) Exceto numa ruptura, não devemos ter corrente fluindo por este ponto, mesmo com a bateria ligada. c) Ao ligarmos a bateria, esta produz uma separação de cargas com uma carga movendo-se para a esuerda e uma carga para a direita (a carga líuida continua sendo zero) carga induzida é ue se movimenta na parte tracejada. = V 3 o ) Da lei básica sobre capacitância : e. = e. Ve. 1 1 1 3 = 3 V3, = V, = V,, L. e. e. = = 1 1 3 3 L 1 1 1 1 1, = L ou N = i = 1 e. 1 3 e. 1 i [ristóvão R M Rincoski] p. 17
5. apacitância apítulo 5 Armazenamento de Energia num ampo Elétrico Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor bateria. Existe Energia Armazenada? Para responder esta uestão, devemos começar com um capacitor descarregado. a) um agente externo começa a retirar elétrons de uma placa, transferindo-os um a um, para a outra placa. b) o campo elétrico se estabelece entre as placas e este, tende a se opor a uma transferência adicional de carga. i f E B c) enuanto a carga se acumula sobre as placas do capacitor, o agente externo terá ue aumentar a uantidade de trabalho cada vez mais. Agente externo: a bateria, realiza trabalho às custas de sua energia uímica. [ristóvão R M Rincoski] p. 18
5. apacitância apítulo 5 d) o trabalho necessário para carregar um capacitor, fica armazenado sob a forma de energia potencial elétrica U, no campo elétrico entre as placas, podendo ser liberada para o circuito, descarregando o capacitor. V = te Wif Δ V = V =,, Wif = V, dw = ( dv dv ), dw = V d, como f 1 V ( ) =, Wif = d Wif ( f i ) ou = usando i ΔU = W if 1 f i = ( ) ΔU = U = ou ΔU = U = 1 V Obs.: estas euações para energia potencial são totalmente gerais, valendo para ualuer geometria de capacitor. 1 a Resposta (justificativa para U estar armazenado em E) Problema: considere capacitores de placas paralelas, 1 e, idênticos, exceto ue d 1 = d. Onde idênticos, significa A 1 = A = A, 1 = = e ε 1 = ε = ε. Analisando a) O volume entre as placas será o dobro V ol.1 = V ol., V ol.1 = A d 1 e V ol. = A d b) Da capacitância do capacitor de placas paralelas A A A 1 = ε, 1 = ε, = ε e 1 =. d d d 1 [ristóvão R M Rincoski] p. 19
5. apacitância apítulo 5 c) A Lei de Gauss simplificada de = ε, como,, então. E As. g. 1 = A1 = A E1 = E d) A energia potencial elétrica de U =, U1 =, U = e U1 = U. 1 onclusão: dois capacitores com a mesma carga e o mesmo campo elétrico, auele cujo volume entre as placas é o dobro do outro, tem o dobro de energia armazenada. a Resposta (justificativa para U estar armazenado em E) Problema: densidade de energia, visto a seguir. Densidade de Energia Num capacitor de placas paralelas, desprezando-se as distorções do campo elétrico, nas bordas, temos E = uniforme (te) em todos os pontos entre as placas e a densidade de energia também é constante. Densidade de energia: energia por unidade de volume (u E ).. u def E = U Vol. [ristóvão R M Rincoski] p.
5. apacitância apítulo 5 Aplicando para o capacitor de placas paralelas: U 1 V A u E = =, como = ε ev = E d Ad Ad d u E 1 = ε E Obs.: 1) embora este seja o resultado para o capacitor de placas paralelas, ele é geral, e vale para ualuer fonte do campo elétrico. ) se existe campo elétrico no espaço, podemos considerá-lo como portador da energia potencial, cuja densidade é dada pela expressão acima. apacitor com um Dielétrico Dielétrico: material isolante tal como óleo mineral ou plástico. Preenchendo todo o espaço entre as placas de um capacitor, com um dielétrico, o ue acontece com a sua capacitância? Michael Faraday (1837) foi o primeiro a investigar a troca de dielétricos em capacitores. Usando aparatos simples, percebeu ue a capacitância aumentava de um fator κ (kapa) ue denominou de constante dielétrica do material introduzido. [ristóvão R M Rincoski] p. 1
5. apacitância apítulo 5 Um dos efeitos de introduzir um dielétrico é o de limitar a d. d. p. máxima a V máx.. Se V > V máx. o dielétrico se romperá, originando um caminho condutor entre as placas do capacitor. Rigidez Dielétrica: intensidade máxima do campo elétrico ue o dielétrico pode suportar sem sofre ruptura. Ex.: rigidez dielétrica do ar E ar = 3 1 6 V/m. Podemos escrever a capacitância na forma genérica = L. ε omo = κ e pode ser dado da forma acima = κ ε L, então ε = κ ε ε κ ε L permissividade do meio dielétrico. constante dielétrica do dielétrico. permissividade elétrica do vácuo. fator de forma, possui dimensão de comprimento Ex.: L = A / d para o capacitor de placas paralelas. L = 4π a b / (b - a) para o capacitor esférico. De acordo com Faraday, para um capacitor com um dielétrico preenchendo completamente o espaço entre as placas κ ε = κ = L ar [ristóvão R M Rincoski] p.
5. apacitância apítulo 5 ar capacitância do ar entre as placas = ε L. Experiências de Faraday 1 a ) Experiência de Faraday (V = te). B V = te κ B A bateria garante V = te, uando a lâmina dielétrica é inserida entre as placas, a carga aumenta de um fator κ, e a carga adicional é liberada para as placas pela bateria. omo = e κ então α (a carga é proporcional à capacitância). κ = a ) Experiência de Faraday ( = te). V = te κ V [ristóvão R M Rincoski] p. 3
5. apacitância apítulo 5 omo não há bateria, = te, uando a lâmina dielétrica é inserida entre as placas, a d. d. p. V entre as placas diminui de um fator κ. V 1 omo = κ e V = então V α (a d. d. p. é inversamente proporcional à capacitância). κ As duas conclusões de Faraday, mostradas acima, são consistentes com o aumento da capacitância causado pelo dielétrico, e compatíveis com = V. Numa região completamente ocupada por um dielétrico, todas as euações ue contêm a constante de permissividade ε, devem ser modificadas, substituindo-se a constante por κ ε. Isto é consistente com a modificação da permissividade (ver p. ). Exemplos: 1) arga puntiforme no interior de um dielétrico, o campo elétrico fica 1 1 E = = 4π ε r 4π κ ε r ) ondutor plano carregado e isolado em um dielétrico σ σ E = = ε κ ε Obs.: em ambos os casos, o efeito do dielétrico é enfrauecer o campo elétrico E =. κ E [ristóvão R M Rincoski] p. 4
5. apacitância apítulo 5 Dielétricos: Uma Visão Atômica O ue acontece, em termos atômicos e moleculares, uando colocamos um dielétrico em um campo elétrico? 1) Dielétricos Polares E Alguns dielétricos possuem momento de dipolo permanente (Ex.: H O), sendo chamados de dielétricos polares. Os dipolos tendem a se alinhar com o campo externo. Obs.: devido às moléculas estarem em constante agitação térmica, o alinhamento com o campo elétrico externo não é perfeito, mas melhora com a intensidade do campo, ou uando a temperatura diminui. ) Dielétricos Não-Polares Se as moléculas (átomos) não possuem dipolos elétricos permanentes, elas acabam aduirindo p, por indução, uando colocadas em um campo elétrico externo. [ristóvão R M Rincoski] p. 5
5. apacitância apítulo 5 E Provocamos uma separação de cargas com uma deformação da molécula, uando aplicamos um campo elétrico externo os centros de carga ficam separados (p induzido). O efeito final é um acúmulo de cargas positivas à direita e negativas à esuerda. O dielétrico como um todo permanece eletricamente neutro e dentro do dielétrico não há excesso de cargas em ualuer elemento do volume. arga Superficial Induzida As cargas superficiais induzidas aparecem de tal maneira ue o campo elétrico, criado por elas, E, tende a se opor a E. E E E E = E E ' em módulo, E = E E '. O papel do dielétrico é enfrauecer o campo E. [ristóvão R M Rincoski] p. 6
5. apacitância apítulo 5 Esta carga superficial induzida é a explicação do fato ue uma barra com cargas atrairá peuenos pedaços de material não condutor (ex.: barra de plástico atritada com lã, atraindo peuenos pedaços de papel). Dielétricos e a Lei de Gauss Antes: uando discutimos a Lei de Gauss, consideramos cargas no vácuo. Agora: vamos generalizar para ualuer dielétrico. superfície gaussiana d ε E da (a) κ (b) E dielétrico 1 o. Dois capacitores de placas paralelas, (a) e (b), de armadura de área A e separação d. Um com dielétrico ar/vácuo (sem dielétrico) (ε ) e outro com dielétrico κ. o. Suponhamos ue a carga elétrica seja a mesma para ambos. 3 o. Aplicando a Lei de Gauss para o capacitor (a) [ristóvão R M Rincoski] p. 7
5. apacitância apítulo 5 s. g., onde s. g. e. ε A ε E d A = ε E A = A = A E = Onde ε E campo elétrico no espaço vazio entre as placas do capacitor (a). 4 o. Lei de Gauss para o capacitor com dielétrico (b). E d A = ε E ' A s. g. = ' E ' = ε ', e. Onde carga livre nas placas do capacitor (a). carga superficial induzida no dielétrico de (b). carga líuida no capacitor (b). 5 o. omo o efeito do dielétrico é enfrauecer o campo Este resultado deve ser compatível com o do item 4 o = ' Que é a carga líuida no interior da superfície gaussiana. κ A E ' = E κ = 1 Obs.: esta euação mostra corretamente ue o módulo de, da carga superficial induzida, é menor ue auela da carga livre, e é igual a zero se nenhum dielétrico está presente (κ = 1 para o vácuo) κ ε A [ristóvão R M Rincoski] p. 8
5. apacitância apítulo 5 Usando a carga líuida calcula no item 5 o ε κ E d A = ou ε κ E d A =. Obs.: embora esta euação tenha sido deduzida para o capacitor de placas paralelas, ela é válida em geral forma generalizada da Lei de Gauss. Nota: 1) A integral de fluxo contém κ E e não E. ) O vetor κ ε E é chamado de vetor deslocamento elétrico D. D = κ ε E e D d A =. 3) Apenas a carga livre (a carga original uando o capacitor não possui dielétrico κ) é considerada envolvida pela superfície gaussiana. A carga induzida superficial,, é ignorada, pois ela está embutida em κ. [ristóvão R M Rincoski] p. 9
5. apacitância apítulo 5 Lista de Exercícios omplementar 5 E) pág. 17 6E) pág. 18 8E) pág. 18 11E) pág. 18 17E) pág. 19 3P) pág. 19 6P) pág. 19 9P) pág. 19 31P) pág. 11 61P) pág. 111 63P) pág. 111 64P) pág. 111 [ristóvão R M Rincoski] p. 3