PROGREÃO ARITMÉTICA (PA) DEFINIÇÃO: Uma seqüência (a 1, a, a 3, a 4, a 5,..., a n ) de números reais, com a 1 =primeiro termo, a =segundo termo, a 3 =terceiro termo, assim sucessivamente até o último termo a n, é uma progressão aritmética (PA), se a diferença entre um termo qualquer a partir do segundo, pelo seu antecessor imediato, produzir um resultado (resto) constante real, denominado razão ( r ) da progressão. r = a - a 1 r = a 3 - a r = a 4 - a 3 r = a n - a n-1 EXERCÍCIO REOLVIDO 01. Verificar se a seqüência (, 4, 6, 8, 10) é uma progressão aritmética (PA) de razão. Resolução r = a - a 1 = 4 = r = a 3 - a = 6 4 = r = a 4 - a 3 = 8 6 = r = a 5 - a 4 = 10 8 = A constante, obtida pela diferença, conforme mostra quadro, define a seqüência como uma progressão aritmética (PA) de razão. FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( r ) Generalizando para termo de ordem n (n = ao número de termos da progressão), temos a fórmula geral: Podemos ter um termo de ordem n relacionado com qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso a fórmula do termo geral abrangente, é: Por exemplo: a n = a k + ( n-k )r 01. Na seqüência (10, 6,,...), calcular o décimo termos. Resolução: a 10 = a 1 + (10-1)r a 10 = 10 + 9(-4) a 10 = 10-36 a 10 = -6 r=a -a 1 =6-10 = -4 PROGREÃO ARITMÉTICA COM TRÊ TERMO Forma simplificada para a representação de uma progressão aritmética com três termos em duas variáveis. ( x - r, x, x + r ) OMA DO TERMO DE UMA PROGREÃO ARITMÉTICA endo (a 1, a, a 3, a 4, a 5,..., a n ) uma progressão aritmética e n a soma desses termos, n = a 1 + a + a 3 + a 4 +a 5 +... +a n. egue a fórmula para o somatório de qualquer progressão aritmética. r = a n+1 - a n Para todo o n pertencente aos naturais positivos (a 1+ a n) n = n n é igual ao número de termos somados. a n é o último termo. CLAIFICAÇÃO DE UMA PROGREÃO ARITMÉTICA eja r a razão de uma progressão aritmética (PA), temos que: 1 PA estritamente crescente r > 0 PA estritamente decrescente r < 0 3 PA constante r = 0 TERMO GERAL DE UMA PROGREÃO ARITMÉTICA (PA) A definição de progressão aritmética (PA), sugere que: a = a 1 + 1r a 3 = a 1 + r a 4 = a 1 + 3r a 5 = a 1 + 4r a 6 = a 1 + 5r e assim sucessivamente EXERCÍCIO REOLVIDO 01. Calcular a soma dos 0 primeiros termos de progressão aritmética (, 5, 8,...). Resolução: I) Dados para cálculo da soma: a 1 =, n=0 e a 0 não foi fornecido, deverá ser calculado, veja item II. II) Pela fórmula do termo geral, a 0 = a 1 + ( 0-1 )r a 0 = + 19x3 a 0 = + 57 a 0 = 59 r=a -a 1 =5-=3 II) A soma dos 0 primeiros termos, 0. Atualizada 05/05/008 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 1
(a 1+ a n) n = n ( + 59) 0 = 0 =61 10 0 = 610 0 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37 06. Determine o sexto termo de uma seqüência em que a 1 = e a 10 =47. TETE 01. Complete as seqüências a seguir, mantendo a formação lógica. a) (, 4, 6, 8, a 5, a 6, a 7, a 8 ) b) ( 35, 30, 5, 0, a 5, a 6, a 7, a 8 ) 07.(UFRJ-NCE) Uma prova de 50 questões objetivas foi elaborada de tal modo que o nível de dificuldade é crescente; assim, cada questão vale pontos a mais que a questão anterior. e o valor da primeira questão é 1, o número máximo de pontos que se pode obter nessa prova é: a) 1 300; b) 1 35; c) 475; d) 500; e) 55. c) ( 8, 8, 8, 8, a 5, a 6, a 7, a 8 ) 08. Quantos números pares existem entre 43 e 535? 0. Determine os seis primeiros termos da seqüência definidos pela lei de formação a n = 1+ n, com n pertencente aos números naturais diferentes de zero. 09. Calcule a soma dos 0 primeiros termos múltiplos de 3 positivos. 03. Determine o 0º termo da seqüência (6, 31, 36, 41,...). 04. Anos bissextos são os múltiplos de 4 que não são múltiplos de 100 e, além desses, os múltiplos de 400. Quantos anos bissextos há no conjunto {015, 018, 00, 100, 400}? a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 05.(NC.UFPR) Em uma progressão aritmética, o 11º termo excede o º em 7. abendo-se que o 5º termo é 14, então o 1º é: 10.(Unifor-CE) Em um restaurante, os preços de três pratos estão em progressão aritmética de razão R$ 1,00. e o primeiro e o segundo prato custam juntos R$ 4,00, então o segundo e terceiro prato custam juntos: a) R$ 54,00 b) R$ 60,00 c) R$ 66,00 d) R$ 68,00 e) R$ 70,00 11. Determinar x tal que x-3, x+1, 3x+1, sejam três termos de uma progressão aritmética. a) 33 Atualizada 05/05/008 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
1. A seqüência: 3y; y+1; 5 é uma progressão aritmética. Determine a razão. 13. abendo que a seqüência (1-3x, x-, x+1,...) é uma PA, então o 10º termo da PA (5-3x, x+7,...), é: 19. Num programa de condicionamento físico uma pessoa começa correndo 300 metros num dia, 400 metros no dia seguinte, 500 metros no próximo dia e assim sucessivamente até chegar aos dois quilômetros por dia. A partir de que dia ela estará correndo dois quilômentros por dia? 0. Determine o sexto termo de uma seqüência em que a 1 = e a 10 = 47. 14. Em uma progressão aritmética em que a 4 =1 e a 9 =7. Calcular a 5. 15. Numa progressão aritmética com 51 termos, o 6 o é. A soma dos termos dessa progressão é: a) 13 d) 104 b) 5 e) 11 c) 10 16. A respeito das sucessões A e B, podemos afirmar que: A -8, -6, -4,... B 17, 14, 11... a) elas não tem termos iguais. b) o 10º termo de A e de B são iguais. c) elas tem cinco termos iguais. d) o 6º termo de A e de B são iguais. e) elas tem sete termos iguais. 17.(UFRJ-NCE) eja f uma função definida no conjunto dos números naturais tal que f(n+)=f(n)+3, para todo n N (N=naturais). abendo-se que f(0)=10 e f(1)=5, os valores de f(0) e f(41), são respectivamente: a) 40 e 65; b) 1 e 65; c) 40 e 6; d) 1 e 4; e) 65 e 40. 18. O termo geral de uma progressão aritmética é dado por a n = 3n+7, n natural positivo. Calcule o valor de a 1 e r. 1.(UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em geral, mas a sua caracterização exata é a seguinte: são anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa regra são os anos divisíveis por 400, que também são bissextos. Assim, o número de anos bissextos entre 1895 e 10 é: a) 50 b) 47 c) 48 d) 49 e) 51. (FCC) Assinale a opção que apresenta corretamente o oitavo termo de uma PA onde a 5 = 6 e a 17 = 30. a) 10 b) 1 c) 14 d) 16 e) 18 3. (AFA) e a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (PA) é dada pela fórmula 3n + n n =, então a soma do quarto com o sexto termo dessa PA é a) 5 b) 8 c) 31 d) 34 4. (EXPCEX) Numa modalidade de corrida, ganha a equipe que percorre uma determinada distância em menor tempo, revezando seus atletas a cada 800 metros. A equipe Verde utilizou a tática de organizar seus atletas na ordem crescente de suas velocidades. abe-se que o atleta menos veloz dessa equipe gastou 5 minutos no revezamento e que a diferença de tempo entre dois atletas Atualizada 05/05/008 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3
consecutivos foi sempre de 30 segundos. abendo que a equipe Verde realizou a prova em 6 minutos, a distância total percorrida foi de a) 4000 metros. b) 4160 metros. c) 6400 metros. d) 10400 metros. e) 0800 metros. 5. Numa progressão aritmética com 51 termos, o 6 o é. A soma dos termos dessa progressão é: a) 13 b) 104 c) 5 d) 11 e) 10 6.(FAE-PR) Um maratonista inicia um treinamento para uma prova de 50 km, 40 semanas antes de sua realização. Na primeira semana de treinamento ele percorre 30 km. Na segunda semana ele percorre ½ km a mais que na semana anterior e assim sucessivamente. O maratonista: a) percorrerá 50 km no treino da 37ª semana; b) percorrerá 50 km no treino da 38ª semana; c) percorrerá 50 km no treino da 39ª semana; d) percorrerá 50 km no treino da 40ª semana; e) percorrerá 50 km no treino da semana da maratona. 7.(FAE-PR) Em um plano especial de consórcio, uma pessoa pagará 50 prestações, cujos valores estão em progressão aritmética totalizando R$ 11.15,00. Concluída a metade do prazo do plano, o total pago é de R$ 4.000,00. Com base nessas informações, qual o valor da primeira prestação? a) R$ 97,50 b) R$ 100,00 c) R$ 115,00 d) R$ 160,00 e) R$,50 8. (UFM-R) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura 9. Um auditório possui 1 poltronas na primeira fila, 14 na segunda e 16 na terceira. As demais fileiras se compõem na mesma seqüência. O número de fileiras necessárias para que o auditório tenha um total de 60 poltronas, é: a) 0 b) 1 c) 15 d) 19 30. (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão. Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será : a) 101 b) 99 c) 97 d) 83 e) 81 31. (BACEN) A 11ª figura da seqüência abaixo terá: a) 10 quadradinhos pretos. b) 10 quadradinhos brancos. c) quadradinhos pretos. d) 86 quadradinhos brancos. e) 110 quadradinhos brancos. 3.(PUC-P) Um pêndulo, oscilando, percorre sucessivamente 18 cm, 15 cm, 1 cm,... A soma dos percursos até o repouso é em cm: a) 45 b) 63 c) 90 d) 16 e) 150 upondo que o guri conseguiu formar 10 T completos pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía a) mais de 300 bolitas. b) pelo menos 30 bolitas. c) menos de 0 bolitas. d) exatamente 300 bolitas. e) exatamente 41 bolitas. 4 Atualizada 05/05/008 Considerando a P.A. de razão pode-se afirmar que: 6 9, cujo 1º termo é, 5 5 33. a soma dos vinte e sete primeiros termos da progressão aritmética não é um número inteiro. 34. (CEGRANIO-BNDE) Quantos são os números inteiros, compreendidos entre 100 e 00, que são múltiplos de 3 e, simultaneamente, não são múltiplos de 5? a) 13 b) 16 c) 1 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
d) 6 e) 7 36 C 35.(UTFPR) A progressão aritmética (x, x +, x + 4, x + 6,...) tem a soma de seus 0 termos igual a 780. Então, o valor de seu oitavo termo é: a) 14 b) 16 c) 134 d) 136 e) 40 36.(PUC-P) Colocando 10 objetos em linha de modo que na primeira linha haja um objeto e daí até a última linha um objeto a mais por linha, teremos um número total de linhas igual a: a) 11 b) 13 c) 15 d) 16 e) 19 GABARITO PROGREÃO ARITMÉTICA 01 a) 10, 1, 14, 16 b) 15, 10, 5, 0 c) 8, 8, 8, 8 0 (3,5,7,11,13) 03 11 04 B 05 C 06 7 07 D 08 46 09 630 10 C 11 4 1 7 13 89 14 15 15 C 16 D 17 A 18 10 e 3 19 18 0 7 1 A B 3 B 4 C 5 E 6 E 7 B 8 B 9 A 30 A 31 E 3 B 33 Correta 34 D 35 C Atualizada 05/05/008 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 5