Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal Catarinense - Campus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática PLANO DE AULA 1) Identificação Escola: Instituto Federal Catarinense - Campus Avançado Sombrio. Município: Sombrio Professora: Katelyn Luzia dos Santos Daboit. Disciplina: Matemática. Série: 1º ano Turma: B Turno: Integral Cronologia: 3 horas aula. 2) Tema: Logaritmos. 2.1-Subtemas: Definição de logaritmo, logaritmo de um número, propriedades dos logaritmos, Função logarítmica e equações logarítmicas. 3) Justificativa. O estudo dos logaritmos, permiti resolver problemas encontrados em situações reais, como, por exemplo, na música, na economia, na química e na medida da intensidade dos abalos sísmicos. Apropriar-se dos conceitos de logaritmos significa ter mais uma ferramenta para resolver problemas e de reconhecer a realidade. Segundo PCN (1998, p. 40), é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de ideias e permite modelar a realidade e interpretá-la, trabalhando-se subáreas da Matemática especialmente ligadas às aplicações. 4) Objetivos. Conhecer a história dos logaritmos. Compreender a ideia de logaritmo. Reconhecer a importância do seu estudo. Explorar logaritmo de um número. Reconhecer as funções logarítmicas. Analisar as funções logarítmicas. Reconhecer equações logarítmicas. Calcular equações logarítmicas. 5) Conteúdos envolvidos: operações básicas, funções exponenciais, função e equação.
6) Estratégias: 6.1- recursos: folhas de papel, lousa, pincel, computador e calculadora. 6.2- técnicas: aula expositiva e dialogada, jogo matemático e tecnologias. 7) Procedimentos: O estudo dos logaritmos se iniciará com a apresentação de uma situação em que se faz necessário o estudo dos logaritmos, para posteriormente serem explorados seus conceitos, história e algumas aplicações. 7.1- Problematização: Os astrônomos medem o brilho aparente dos objetos que aparecem no céu através das magnitudes. A escala de magnitudes é diferente da maioria das escalas que estamos acostumados a utilizar, pois se trata de uma escala inversa. Quanto menor o valor do número, maior o brilho do objeto. Quando observamos o firmamento estrelado, notamos que as estrelas possuem brilhos diferentes. Algumas estrelas possuem brilho intenso, existem aquelas que possuem brilho intermediário e outras que mal podemos enxerga-las. Esta diversidade chamou a atenção dos antigos observadores da Grécia Clássica, onde teve origem o primeiro sistema de classificação das estrelas segundo o seu brilho, e que acabou originando o sistema utilizado até os dias de hoje. Na metade do século XIX havia evidências de que a resposta visual a um estímulo seria proporcional ao logaritmo da intensidade luminosa. Mas apenas em 1856 o astrônomo inglês Normam Pogson (1829 1891) desenvolveu um modelo matemático preciso para o sistema de magnitudes estelares. Pogson propôs então a criação de uma escala de acordo com a que já se conhecia levando em consideração a resposta visual aos estímulos luminosos. A magnitude estabelecida desta forma por Pogson, chamada de magnitude visual, passa a ser representada pela letra m minúscula e está definida pela relação abaixo, onde (e.g. W/m²) é o fluxo visual da estrela considerada, e é o fluxo visual de Vega, que por definição tem magnitude zero. Por meio desta ferramenta de cálculo alguns objetos astronômicos foram listados conforme ilustrado no quadro abaixo:
Quadro 01: Magnitude visual dos astros. Fonte: http://www.cosmobrain.com.br/rc/magnitude1.html. Observando os dados do quadro acima, e da fórmula descoberta por Pogson descubra quantas vezes a estrela Sírius é mais brilhante que a estrela Acrux estrela mais brilhante do Cruzeiro do Sul. Sírius tem magnitude aparente e Acrux tem magnitude aparente. Assim tem-se: ( ) e ( ) ( ) ( ) Logo, Sírius é 12,02 vezes mais brilhante que a estrela Acrux.
7.2- Historicização: No início do século XVII, os cálculos envolvidos nos assuntos de Astronomia e Navegação eram longos e trabalhosos. Para simplificar esses cálculos, surgiram nesta época as primeiras tábuas de logaritmos, inventadas independentemente por Jost Bürgi (1552-1632) e John Napier (1550-1671). Seguidos de Henry Briggs (1561-1631) que aperfeiçoou essas tábuas, apresentando os logaritmos decimais. Segundo Maor (2008), Napier após realizar alguns estudos, descobrindo o comportamento de alguns números quando submetidos a determinadas operações, chamou o expoente de cada potencia de número artificial, mas depois decidiu pelo termo logaritmo, a palavra significando número proporcional. Segundo ele, os logaritmos facilitaram os cálculos principalmente por permitir transformar as operações de multiplicação em adição e de divisão em subtração. Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo numérico dos que estavam envolvidos na Navegação e Astronomia. Dizia-se na época que a invenção dos logaritmos duplicou a vida dos astrônomos, pois produziriam muito mais do que haviam produzido antes dos logaritmos. Posteriormente, surgiram às réguas de cálculo, baseadas nessas propriedades dos logaritmos. Hoje, com o advento das calculadoras e microcomputadores, elas caíram em desuso. 7.3- Operacionalização da aula: Logaritmos O logaritmo é um importante instrumento para a resolução de equações exponenciais. Segundo Lima (2013) além de servir para o cálculo destas equações, atualmente continuam a merecer destaque na matemática, devido suas aplicações. Esta posição justifica-se porque a função logarítmica e a sua inversa, a função exponencial, constituem a única maneira de descrever matematicamente a evolução de uma grandeza em função de sua taxa de crescimento (ou decrescimento) num dado momento. Definição de Logaritmo de um número Dados os números reais positivos e, com, chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potencia obtida seja igual a b. Em símbolos: se e, então: Em, dizemos: é a base do logaritmo, é o logaritmando e é o logaritmo. Exemplos: 1. A que número x se deve elevar: a) O número 2 para se obter 8?, logo devo elevar 2 a 3ª potencia para obter 8. b) O número 3 para se obter?
2. Calcule: a) Assim, b), logo Consequências da definição de logaritmo Decorrem da definição de logaritmos as seguintes propriedades para I. II. III. IV. V. Exercícios: 1. Calcule os valores ou encontre o valor de x conforme cada caso: a) Pela propriedade II, tem-se: b) Pela propriedade V, tem-se: c) Pela propriedade III, tem-se:
d) Pela propriedade IV, tem-se: Propriedades operatórias dos logaritmos 1ª propriedade: logaritmo de um produto Demonstração: Consideremos e, provemos que De fato: { 2ª propriedade: logaritmo de um quociente Numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois números é igual à diferença entre os logaritmos desses números. 3ª propriedade: Logaritmo de uma potência Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. 4ª propriedade: Mudança de base Se são números reais positivos e a e c diferentes de 1, então tem-se: Exercícios: 1. Encontre a solução das sentenças abaixo utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos. a) b) ( ) c)
d) convertido para a base. Cologaritmo Denomina-se cologaritmo de um número b numa base a o oposto do logaritmo do número b na base a ou o logaritmo do inverso de b na base a. Exemplos: 1. colog a b= ou colog a b=. Resposta: ( ) 2. ( ) Resposta: Cálculo de Logaritmos Há casos de logaritmos que é necessário o uso de calculadora para calcula-los, ou uma tabela de valores. Exemplos: a) b) Função Logarítmica Definição: Dado um número real a, chamamos função logarítmica de base a a função de em que associa a cada x o número. Em símbolos:
Propriedades: Propriedade 1. Uma função logarítmica positivos diferentes tem logaritmos diferentes. é sempre injetiva, isto é, números Propriedade 2. O logaritmo de 1 é zero. Propriedade 3. Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos. Propriedade 4. Para todo, tem-se ( ). Propriedade 5. Para quaisquer, vale ( ) Propriedade 6. Uma função logarítmica é ilimitada, superior e inferiormente. Imagem: Se, então a função de em definida por admite a função inversa de g de em definida por. Logo, é bijetora e, portanto, a imagem de é:. Gráfico Com relação ao gráfico cartesiano da função podemos dizer: a) Está todo à direita do eixo y ; b) Corta o eixo x no ponto de abcissa ; c) Se é de uma função crescente e se é de uma função decrescente; d) É simétrico em relação à reta (bissetriz dos quadrantes ímpares) do gráfico da função ; Exercícios: 1. As funções logarítmicas são dadas por e Determine: a) b) c)
Sequência de atividades Software Geogebra 1. Abrindo o Geogebra encontramos três janelas diferentes. Uma chama-se campo de entrada existente para inserir relações matemáticas. 2. No campo de entrada insira: a seguir pressione enter, e crie um controle deslizante para o valor a. 3. Qual expressão apareceu na janela de álgebra? 4. Com a ferramenta mover arraste o ponto A ao longo de toda a extensão do controle deslizante. O que acontece com a função quando seus valores são menores que zero? E quando são maiores que zero? 5. Selecione com o botão direito o controle deslizante e selecione propriedades, mude o intervalo mínimo para zero e máximo para dez. O que acontece quando a base do logaritmo é zero? 6. Deslize o ao longo do controle deslizante, qual o domínio da função logarítmica? Qual sua imagem? 7. Existe algum ponto fixo em que esta função sempre permanece? 8. Abra um novo arquivo. 9. Insira no campo de entrada observe como esta função aparece na janela de álgebra. 10. Insira no campo de entrada observe como esta função aparece na janela de álgebra. 11. Selecione a função f(x) com o botão direito do seletor e em propriedades altere sua cor, repita este passo para a função g(x). 12. Com a ferramenta intersecção entre dois objetos selecione as funções f(x) e g(x). Em qual ponto as duas funções se encontram? 13. Quais semelhanças existem entre as funções criadas? São crescentes ou decrescentes? O que faz seu comportamento ser assim? Exercício: Construa o gráfico da função Resposta: x, em seu caderno.
Equações logarítmicas Vamos estudar as equações logarítmicas, ou seja, aquelas nas quais a incógnita está envolvida no logaritmando ou na base do logaritmo, como estas: Exercícios: 1. Resolva as equações: a) b) c) e. 2. (Mack-SP) Se, determine o valor de m (lembre:. ( )
Atividade sugerida para fixação do conteúdo Jogo matemático: propriedades dos logaritmos Regras do jogo: Os alunos deverão ser agrupados em três grupos iguais. Cada participante receberá 6 cartas para iniciar o jogo, sendo que o restante das cartas deverão ficar voltadas para baixo sobre a mesa agrupadas em um único monte. Os competidores deverão assumir uma ordem de jogada (horário ou anti-horário). O objetivo do jogo é formar trios na seguinte disposição: propriedade enunciado operações. O competidor que formar maior número de trios vence a partida. Para começar a partida um jogador deve comprar uma carta do monte que está sobre a mesa. Cada jogador poderá: Descartar uma carta das que lhe foram distribuídas a cada jogada. As cartas descartadas pelos jogadores devem formar um segundo monte sobre a mesa sendo colocadas com as operações voltadas para cima. Comprar apenas uma carta por jogada (de um dos montes). Quando o jogador formar trios deve mostrar para os demais jogadores do grupo para que confiram a combinação, se estiver correto coloca as cartas do trio sobre a mesa para a contagem no fim do jogo. Vence o jogo quem formar maior número de trios ou que ficar com o menor número de cartas nas mãos. Cartas: Propriedades Enunciados Operações Logaritmo de um produto Logaritmo de um produto Logaritmo de um quociente Logaritmo de um quociente Logaritmo de uma potência Logaritmo de uma potência Logaritmo de um produto Logaritmo de um produto Logaritmo de um quociente Logaritmo de um quociente Logaritmo de uma potência Logaritmo de uma potência Logaritmo de um produto Logaritmo de um produto Logaritmo de um quociente Logaritmo de um quociente Logaritmo de uma potência Logaritmo de uma potência Obs: Testar o jogo antes de aplica-lo. ( ) ( )
Prova 1. (Mackenzie- SP) Se então é: a) b) c) d) 2. Assinale com V (verdadeiro) ou F(falso) as alternativas abaixo. Justifique as falsas. ( ) O logaritmo de um número natural coincidirá com o próprio n se a base for 1. ( ) O logaritmo existirá quando sua base for maior que zero, diferente de um e o seu logaritmando também for maior que zero. ( ) A função logarítmica é crescente, se e somente se,. ( ) O domínio da função logarítmica:. ( ) Os logaritmos são utilizados em diversas áreas dentre elas na astronomia, na música e para calculo da intensidade dos abalos sísmicos. 3. (FGV-SP) Considere o gráfico das funções reais e. A respeito dos gráficos de f e g é correto afirmar que: a) não se interceptam. b) Se interceptam em apenas um ponto. c) Se interceptam em apenas dois pontos. d) Se interceptam em infinitos pontos. 4. (UF- MS) Sobre as raízes da equação. I. Não são reais II. São potências de dez. III. São números inteiros consecutivos IV. São opostas V. O quociente da maior raiz pela menor raiz é igual a dez. Soma: 5. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais positivos): 7.4- Conclusão da aula. Para conclusão da aula serão revisados todos os conceitos trabalhados. 8) Avaliação: Com o objetivo de diagnosticar as habilidades desenvolvidas pelos alunos serão utilizados: 8.1 Critérios: Participação nas atividades realizadas e prova. 8.2 Instrumentos: Prova individual e sem consulta.
9) Bibliografia DANTE. Luiz Roberto. Matemática, Volume único. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2005. IEZZI, Gelson. Et.al. Fundamentos de matemática elementar, 2: logaritmos. 10. ed. São Paulo: Atual, 2013. MAOR. Eli. a história de um número. Editora: Record: 4ª ed., Rio de Janeiro: 2008. O brilho aparente e a luminosidade das estrelas. <http://each.uspnet.usp.br/ortiz/classes/brilho_lum.pdf>. Acessado em 27 de setembro de 2014. O sistema de Magnitudes. <http://www.cosmobrain.com.br/rc/magnitude1.html>. Acessado em 27 de setembro de 2014.