Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE) Apostila Organizada por: Kamila Gomes Ludmilla Rangel Cardoso Silva Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo Silvia Cristina Freitas Batista Campos dos Goytacazes/RJ Julho/2014
1. O que é função? O conceito de função surge de modo natural e espontâneo. A fim de analisar comportamentos de fenômenos, como, por eemplo, a trajetória da bala de um canhão, muitos estudiosos começaram a investigar e descobrir leis para tais fenômenos. Essas leis não eram estudadas como um caso particular, e sim com um caráter de generalização, ou seja, para nos permitir descrever e analisar determinadas relações de dependência entre quantidades. Nesse conteto, o conceito de função está relacionado a várias áreas: Física, Ecologia, Economia, Meteorologia, Genética, entre outras. Função é uma relação que associa duas grandezas, de forma que a cada valor de uma delas corresponde um valor da outra, tal como: tempo e espaço, mercadoria e preço, tempo e temperatura. Grandeza é toda característica que pode ser epressa em medida. Eemplos: comprimento, área, velocidade, temperatura, profundidade, tempo, massa e vazão. Eemplo 1 Para fretar um ônibus de ecursão com 40 lugares paga-se, ao todo, R$ 360,00. Essa despesa deverá ser igualmente repartida entre os participantes. A partir dessa informação, qual a lei que determina esta relação? Solução Elaboramos a tabela a seguir, na qual indicamos algumas quantidades de passageiros e os respectivos valores individuais a serem pagos. Quantidade de passageiros () Valor a ser pago por cada passageiro (y), em reais 40 9,00 35 10,29 30 12,00 25 14,40 20 18,00 2
Observe que estão sendo relacionadas duas grandezas: a quantidade de passageiros e o valor a ser pago por cada passageiro y. Cada quantidade de passageiros corresponde a um único valor a ser pago por passageiro, ou seja, a cada valor que atribuímos à variável, obtemos um único valor para a variável y. Essa situação constitui um eemplo de função. Assim, a grandeza valor a ser pago por cada passageiro está em função da grandeza quantidade de passageiros. Podemos escrever uma fórmula que permite calcular a quantia y a ser paga por cada passageiro em função da quantidade de passageiros, para tal, basta dividir o preço total (R$ 360,00) pelo número de passageiros (). Isto é: Assim, dadas as variáveis e y, se cada valor atribuído a se associa a um único y, dizemos que y é função de. Eemplo 2 Uma firma que conserta televisores cobra uma taa fia de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de mão de obra. Considere y a quantia que deve ser paga pelo conserto de um televisor e o número de horas de trabalho (mão de obra). Será y uma função de? Se for, qual será a lei que epressa essa função? Solução Para identificarmos se y é função de, é necessário verificar se a cada valor que atribuímos à variável obtemos um único valor correspondente para a variável y. A partir das informações, podemos construir uma tabela que mostra algumas quantias que devem ser pagas pelo conserto do televisor, de acordo com o número de horas trabalhadas. Quantidade de horas trabalhadas () Valor a ser pago pelo conserto (y), em reais 1 20 + 40 = 60 2 (202) + 40 = 80 7 (207) + 40 = 180 11 (2011) + 40 = 260 3
Observando a tabela, o que podemos verificar? Que a cada valor atribuído à variável obtemos um único valor correspondente para a variável y. Logo, y é função de, ou seja, a grandeza valor a ser pago pelo conserto está em função da grandeza quantidade de horas trabalhadas. Para determinar a lei da função precisamos considerar as seguintes informações: É cobrada uma taa fia de R$ 40,00 pela visita. A cada hora trabalhada são cobrados R$ 20,00. Como a variável representa número de horas trabalhadas, então a quantidade de horas trabalhadas será representada por 20. Sendo assim, a fórmula que associa a grandeza preço do conserto, representada por y, e a grandeza quantidade de horas trabalhadas é: y = 20 + 40. 2. Como podemos definir uma função? Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação (ou correspondência) que associa a cada elemento um único elemento recebe o nome de função de A em B. Representamos assim: f: A B. É importante observar que: (i) A notação f : A B (lemos função f de A em B ) indica que a função f leva A para B, ou que f é uma transformação de A em B. (ii) Se y está definido em função de, chamamos de variável independente e y de variável dependente. (iii) Para indicar o valor que a função f assume para, escrevemos f (), lemos f de, ou simplesmente y. (iv) Podemos representar a transformação de A em B (função f) por meio do seguinte digrama: Fonte: Elaboração própria. 4
Eemplo 3 (BARROSO, 2010, p.73 - adaptada) Um fabricante de parafusos verificou que o preço de custo c (em real) de cada parafuso dependia da medida m (em milímetro) do diâmetro da base de cada um e podia ser calculado pela lei matemática ( ). a) Qual é a variável independente nessa situação? E a dependente? b) Qual é o preço de custo de 1 parafuso com base de 3 milímetros de diâmetro? c) Qual é o custo de 500 parafusos com base de 3 milímetros de diâmetro? Solução a) A variável dependente é o custo c, pois depende da medida m, a variável independente, para obter o custo. b) c(3) = (0,01 3) + 0,06 c(3) = 0,09 O preço de um parafuso custa 9 centavos. c) O preço de um parafuso com a base de 3 milímetros de diâmetro custa R$ 0,09, então para encontrar o custo de 500 parafusos é necessário multiplicar c(3) por 500: 500 0,09 = 45 O custo de 500 parafusos é de 45 reais. Eemplo 4 Em um retângulo, a medida do comprimento tem 4 unidades a mais que a largura e esta é representada pela letra a. Nestas condições, responda o que se pede. a) Qual é a área b desse retângulo em função de a? b) De acordo com o item anterior, qual é a variável independente? E a dependente? c) Nessas condições, qual é a área de um retângulo cuja largura mede 8 cm? d) Quais são as dimensões de um retângulo cuja área é 165 cm²? 5
Solução a) b = (a + 4). a b = a² + 4a Relembrando A área de um retângulo é obtida por meio da multiplicação da medida do comprimento pela medida largura. b) A variável dependente é a área b, pois depende da largura a que é a variável independente para obter a área do retângulo. c) Considerando a largura de 8 cm, podemos obter a área deste retângulo de acordo com lei matemática obtida no item a. b = a² + 4a b = 8² + 4.8 b = 64 + 32 b = 96 Logo, a área deste retângulo é 96 cm². d) b = 165 a² + 4a = 165 a² + 4a 165 = 0 a = ( ) Relembrando Fórmula resolutiva da equação do 2º. grau a = a = a = 11 ou a = -15 (não convém, pois não eiste medida negativa) Se a = 11, então o outro lado desse retângulo vai medir 15, pois a + 4 = (11 + 4) = 15. As dimensões deste retângulo são 11 cm e 15 cm. 6
3. O que é domínio, imagem e contradomínio de uma função? Dada uma função de A em B, ao conjunto A dá-se o nome de domínio da função e ao conjunto B de contradomínio da função, como mostra o diagrama a seguir. Indicamos o domínio da função f por D ou D(f ) e o contradomínio por CD(f ). Diagrama de flechas Fonte: http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/nocoes-funcao.htm O domínio é representado pelos valores que a variável independente (geralmente representada por ) pode assumir. Ao elemento, associado ao elemento de A, dá-se o nome de imagem de pela função f. Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos de A, dá-se o nome de conjunto imagem da função. Ou seja, o conjunto imagem é formado pelos valores que a variável dependente (geralmente representada por y) assume para os valores de considerados. O elemento y, imagem de um elemento, pode ser representado por f(). Indicamos o conjunto imagem da função f por Im(f ). Todo elemento do domínio é associado a uma única imagem do contradomínio. Eemplo 5 Determine o domínio das funções reais a seguir. a) ( ) b) ( ) c) ( ) 7
d) ( ) e) ( ) Solução Determinar o domínio de uma função é encontrar o conjunto dos valores de (variável independente), em que a cada valor de substituído na função encontra-se um valor de y (variável dependente) real correspondente, tornando assim, verdadeira a igualdade. Ou seja, determinar o domínio é encontrar o conjunto dos valores de que tornam a lei de formação verdadeira. a) ( ) Nesse caso, trata-se de uma função racional. Sendo assim, o denominador não pode ser nulo. 1 0 1 Portanto, ( ) * + * +. Deste modo, se assumir o valor 1, a condição de eistência da função se afeta, e assim, não eistirá a função. b) ( ) A função tem um radical de índice par, então o radicando tem que ser maior ou igual a zero, pois não eiste raiz real para um radicando negativo. Relembrando Chegamos a uma inequação quociente, para resolvê-la utilizaremos os procedimentos descritos a seguir. Chamaremos e, respectivamente, as funções que estão no numerador e denominador, assim ( ) e ( ).Vamos determinar as raízes dessas funções: 8
s() = 0 2 = 0 = 2 = 2 (I) p() = 0 + 1 = 0 = 1 (II) Como ( ) está no denominador e sabendo que esse não pode ser nulo, temos que 1. O quadro abaio mostra o estudo de sinal das funções A função g() tem que ser maior ou igual a zero. O conjunto que satisfaz a essa condição é aquele em que o quociente das funções s() e p() é positivo ou nulo. Portanto, ( ) * +. c) ( ) Para determinar o domínio de h() é necessário verificar a sua restrição, que neste caso se encontra no denominador. A função que está no denominador não pode ser nula então: 9
Por que não eiste raiz de índice par de um número negativo? A raiz de índice par de um número real é calculada descobrindo qual número positivo multiplicado por ele mesmo n vezes, sendo n o índice da raiz, resulta no valor do radical. Por eemplo, sabemos que a raiz quadrada de 25 ( 5) é 5, pois 5 5 = 25. A raiz quarta de 81 4 8 é 3, pois 3 3 3 3 = 81. Com base nessa propriedade, não podemos determinar a raiz quadrada de 25, pois ( 5) ( 5) = + 25. Por isso, não conseguimos determinar a raiz real de um número negativo. Logo, não há restrições para o domínio desta função, então os elementos do domínio são todos os números reais: ( ). d) ( ) Para uma função que tem um radical de índice ímpar não há restrição para o domínio, pois o radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser um número negativo, nulo ou positivo, isto é, pode assumir qualquer valor real. Portanto, ( ). e) ( ) A função apresenta no denominador um radical de índice ímpar. Nesse caso, diferentemente do eemplo anterior, a função terá uma restrição no domínio, pois o denominador tem que ser diferente de zero, então: Portanto, ( ) * + ou ( ) * +. e Eemplo 6 Uma caiinha aberta é feita de pedaços de papelão com 16 cm por 30 cm, cortando fora quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. 10
a) Seja V o volume da caia que resulta quando os quadrados tiverem lados de comprimento. Determine uma fórmula para V como uma função de. b) Encontre o domínio de V Solução a) De acordo com as informações contidas no enunciado, podemos ilustrar a caia com as figuras ao lado. A caia quando montada tem o formato de um paralelepípedo, desse modo, para determinarmos o volume basta multiplicarmos as três dimensões. Determinando o volume, temos: V = [(30 2) (16-2)] V = (480 60 32 +4 2 ) Aplicando a propriedade distributiva V = (4² -92 +480) Aplicando a propriedade distributiva V = 4³ -92² +480 b) Para determinar o domínio do volume desta caia, as dimensões da caia deverão assumir valores positivos. Assim: > 0 (I) 30 2 > 0 16 2 > 0 2 > 30 (-1) 2 > 16 (-1) 2 < 30 2 < 16 < 15 (II) < 8 (III) Fazendo a intersecção de I, II e III: Portanto, o domínio do volume dessa caia é: ( ) * 8+. 11
Eemplo 7 Considerando as funções reais f e g, definidas por ( ) e ( ). a) Determine o domínio da função f. b) Determine o domínio da função g. c) Escreva a forma simplificada da função g. d) Observando as leis de f e g, na forma reescrita, podemos afirmar que essas duas funções são iguais? Solução a) O domínio da função f não possui restrições, logo a variável pode assumir qualquer número real. ( ) b) A função g é uma função racional, portanto o denominador não pode ser nulo. Dessa forma, temos: Portanto, D(g) = {3} 3 0 3 c) Para simplificar a função g, podemos utilizar o caso de fatoração diferença de dois quadrados: A epressão algébrica 9 é equivalente à ( )( ), logo a função g pode ser representada por: ( ) ( )( ). Simplificando a lei da função, temos: d) Para responder a essa questão, precisamos analisar a definição de funções iguais: Definição: Duas funções f: A e g: C são iguais se, e somente se, apresentarem domínios iguais e f() = g(). A partir da definição, podemos afirmar que f e g não são funções iguais, uma vez que não possuem o mesmo domínio. 12
Eercícios 1) Epresse por meio de uma fórmula matemática a função de, que a cada número real associa o seu quadrado somado com a terça parte do seu dobro. 2) Em cada situação apresentada verifique quais são as variáveis envolvidas e classifique-as como variável dependente e variável independente. a) Uma escola de natação cobra de seus alunos uma matrícula de R$ 80,00, mais uma mensalidade de R$ 50,00. Nestas condições, considere a função que representa os gastos de um aluno em relação aos meses de aula. b) Para resolver problemas de computador, foram contratados os serviços de um técnico em computação. Em seus honorários, o técnico cobra R$ 20,00 a hora trabalhada, acrescida da taa de visita de R$ 30,00. Sabe-se que, para resolver o problema, o técnico recebeu uma quantia referente à quantidade de horas trabalhadas. 3) Uma fábrica trabalha 8 horas por dia, em regime ininterrupto, e produz 12 litros de refrigerante a cada hora. Considerando essa situação, responda: a) Sendo Q a quantidade de litros produzidos em relação ao tempo t, qual é a lei que epressa à produção desse refrigerante? b) Qual é a variável dependente e qual a independente da função Q? c) Em dois dias, a fábrica produz quantos litros de refrigerante? 4) O aluguel de um carro é R$ 130,00 por dia e um adicional de R$ 15,50 por km rodado. É possível estabelecer uma função entre essas grandezas? Caso positivo, quais seriam as variáveis dependente e independente, e sua lei de formação? 5) Uma pessoa, pesando atualmente 70 kg, deseja voltar ao peso normal de 56 kg. Suponha que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento de eatamente 200 g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo ao fim de quantas semanas? 6) (PAIVA, 2009, p.102 - Adaptada) Utilizou-se 200 metros lineares de tela para cercar um terreno retangular. a) Obter a lei que epressa a área y, em metro quadrado, do terreno em função da medida, em metros, de um dos lados desse terreno. 13
b) No conteto do problema, qual é o domínio da função f obtida no item a? 7) Determine o domínio das funções definidas por: a) f() b) f() c) g() d) () 7 e) g() f) f() g) s() h) g() i) t() j) s() 4 8) (Enem 2008 Adaptada) A figura abaio representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola referente ao mês de junho de 2008. Temos que M() é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga com atraso, e é o número de dias em atraso. Determine a função que oferece o valor do boleto para pagamento com atraso, e calcule o valor de uma mensalidade com 12 dias de atraso. 9) (LARSON, 2008, p. 75 - Adaptada) O inventor de um novo jogo de computador estima que o custo variável para produzir o jogo é de R$ 0,95 por unidade. O custo fio é de R$ 6000,00. a) Epresse o custo total C em função de, sendo o número de jogos vendidos. b) Escreva uma epressão para o custo médio unitário: M(). (Custo médio é representado por C()/). c) O preço de venda de cada jogo é de R$ 1,75. Quantos jogos devem ser vendidos para que o custo médio unitário seja menor que o preço de venda? 14
10) (LARSON, 2008, p. 64 - Adaptada) Um vendedor recebe um salário mensal de R$2000,00 mais uma comissão de 7% sobre as vendas. Uma outra empresa lhe oferece um salário de R$2300,00 por mês mais uma comissão de 5% sobre as vendas. a) Qual termo representa a variável dependente e a variável independente? b) Escreva uma equação para o salário atual do vendedor, S 1, em termos das vendas mensais, v. c) Escreva uma equação para o salário proposto, S 2, em termos das vendas mensais, v. d) O vendedor que é capaz de vender R$20000,00 em mercadorias por mês. Ele deve, ou não, trocar de emprego? E por quê? e) A partir de qual valor de vendas o salário S 1 é mais vantajoso que o salário S 2? 15
Gabarito Questão 1 ( ) Questão 2 a) Variável dependente: gasto do aluno Variável independente: meses de aula b) Variável dependente: valor do serviço Variável independente: quantidade de horas trabalhadas Questão 3 a) Q(t) = 12t b) A quantidade de litros produzidos é a variável dependente, e o tempo de produção é a variável independente. c) Em dois dias são produzidos 192 litros de refrigerante. Questão 4 Sim. O aluguel (A) que é a variável dependente está em função do número de quilômetros rodados () que representa a variável independente. Sua lei de formação pode ser representada por A() = 130 + 15,50, sendo A o valor do aluguel em função do número de km rodados. Questão 5 70 semanas. Questão 6 a) y = - ² + 100 b) ( ) * + ou D( f ) = -, Questão 7 a) * + ou * + b) * + ou * + c) * 5 + ou * 5 + 16
d) * 7+ ou,7, e) f) * } ou -, g) * + ou - {1} h) i) * } ou -, j) * } ou * + Questão 8 M() = 510 + 0,40 O valor da prestação decorrido 12 dias de atraso corresponde a R$ 514,80. Questão 9 a) C() = 0,95 + 6000 b) M() = (0,95 + 6000) / c) Devem ser vendidos mais do que 7500 jogos. Questão 10 a) A variável dependente é o salário, pois depende das vendas, que é a variável independente. b) S 1 (v) = 2000 + v c) S 2 (v) = 2300 + v d) O emprego atual é mais vantajoso que o emprego proposto, pois o salário S 1 é R$3400,00, maior que o salário S 2 de R$3300,00. e) A partir de R$15000,00 de vendas o salário S 1 é mais vantajoso que o salário S 2. 17
Referências BARROSO, J. M. Coneões com a Matemática. v. 1. São Paulo: Moderna, 2010. DANTE, L. R. Matemática Conteto e Aplicação. v. 1. São Paulo: Ática, 2011. LARSON, R.; EDWARDS, B. H. Cálculo com aplicações. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. PAIVA, M. Matemática. v. 1. São Paulo: Moderna, 2009. 18