Função de Onda e Equação de Schrödinger

14/08/013 Função de Onda e Equação de Schrödinger Prof. Alex Fabiano C. Campos, Dr A Função de Onda (ψ) A primeira formulação para esta nova interpretação da Mecânica, a Mecânica Quântica, teoria foi proposta pelo físico austríaco Erwin Schrödinger em 195. De acordo com Schrödinger, em decorrência do caráter dual da matéria (onda-partícula), mesmo que uma partícula se mova em uma trajetória definida ela estará distribuída em todo o espaço como uma onda. E. Schrödinger (1887-1961) Assim, uma onda na mecânica quântica equivaleria ao conceito de trajetória na mecânica clássica e seria representada por uma função denominada função de onda, ψ. 1

14/08/013 A Função de Onda (ψ) Para um fenômeno ondulatório qualquer, pode-se escrever a função de onda em sua forma geral como: u ψ = Asen( ωt+ ϕ) = Asen( πνt+ ϕ) = Asen( π ϕ t+ ϕ) λ Como u ϕ t = x, isto é, a distância percorrida pela onda durante um intervalo de tempo t, pode-se escrever para uma onda que se propaga apenas em uma direção: x ψ = Asen( π + ϕ) λ

14/08/013 A Equação de Schrödinger Na mecânica de oscilações um movimento ondulatório unidimensional é descrito por: d ψ x Em que k é o número de onda: Da equação de De Broglie, Como, ( ) dx + k ψ x = k π = λ ( ) 0 h π πp p p= k = = = ħ= λ λ h ħ p E = p= me m k = me ħ h π A Equação de Schrödinger Substituindo na equação do movimento ondulatório: d ψ( x) me dx + ψ( x) = 0 ħ ħ d ψ( x) = m dx Eψ ( x) Esta é a equação de Schrödinger estacionária (independente do tempo) para partículas livres não relativísticas de massa m e energia E. 3

14/08/013 A Equação de Schrödinger No caso de a partícula se encontrar em um campo de forças associado a uma energia potencial V(x), pode-se escrever: p E = + V( x) m ħ d ψ( x) + V( x) ψ( x) = Eψ ( x) m dx Esta é a equação de Schrödinger para estados estacionários de energia E na presença de energia potencial V(x). A Equação de Schrödinger Generalizando para o caso tridimensional: ħ ψ( x, y, z) ψ( x, y, z) ψ( x, y, z) + + V( x, y, z) ψ( x, y, z) Eψ ( x, y, z) + = m x y z Ou introduzindo o operador Laplaciano: ħ V E m ψ + ψ = ψ Ou ainda introduzindo o operador Hamiltoniano: Hψ = Eψ 4

14/08/013 Interpretação da Função de Onda A que corresponde a amplitude e a intensidade da onda? Qual a relação entre a onda e a partícula a ela associada? As soluções da equação são fisicamente aceitáveis? O problema consiste em associar novos conceitos físicos relacionados à mecânica da escala atômica. Interpretação da Função de Onda Sendo o potencial constante uma possível solução para a equação de Schrödinger, a qual pode ser obtida por métodos de resolução de equações diferenciais, é da forma: ikx ψ ( x) = e = Acos( kx) + Bi sen( kx) em queiéum número complexo imaginário. Asolução da equação de Schrödinger é portanto, uma função de onda complexa. Como ψ é uma função complexa (imaginária) ela não deve ter significado físico e, portanto não pode ser medida em laboratório. Apenas as grandezas ou observáveis reais têm significado físico e podem ser medidas em laboratório. 5

14/08/013 Interpretação da Função de Onda Max Born foi o primeiro a dar uma interpretação, não à função de onda em si mas ao seu quadrado. O módulo da função de onda ao quadrado ψ é uma grandeza não complexa, portanto ele deve ter significado físico. De acordo com Max Born, para movimentos em uma única dimensão x, ψ é a probabilidade por unidade x isto é: é a probabilidade de que se encontre a partícula em uma posição entre xe x + dx. Max Born (188-1970) Ψ é, portanto, a densidade de probabilidade de presença. Interpretação da Função de Onda A Mecânica Quântica não é determinística, mas sim probabilística. Ela nos força a abandonar a noção de trajetórias precisamente definidas das partículas no tempo e no espaço. Esta interpretação de ψ fornece uma conexão estatística entre a partícula e onda a ela associada. Ela nos diz onde a partícula provavelmente estará e não onde de fato está. 6

14/08/013 Propriedades da Função de Onda Como ψ representa uma densidade de probabilidade, ela dever ser definida em todo o espaço. ψ não pode ser infinita. ψ é uma função contínua ψ é uma função finita ψ deve ser nula a uma distância infinita do núcleo. ψ se anula no infinito A probabilidade de se encontrar uma partícula em toda a região do espaço dever ser igual a 1, ou seja, + ψ dx= 1. ψ deve ser normalizada Função de Onda e Orbitais A solução da Equação de Schrödinger fornece uma série de funções de onda com níveis de energia associados. Estas funções de onda são os orbitais atômicos que têm energia e distribuição (formato) características 7

14/08/013 Função de Onda e Orbitais Todos os orbitais s são esféricos. Orbitais s Para mais elevados níveis de energia, os orbitais s ficam maiores. Um nó é uma região no espaço onde a probabilidade de se encontrar um elétron é zero. Em um nó, ψ = 0 À medida que n aumenta, aumenta o número de nós. Função de Onda e Orbitais 8

14/08/013 Função de Onda e Orbitais Existem três orbitais p, p x, p y, e p z. Orbitais p Os três orbitais p localizam-se ao longo dos eixos de um sistema cartesiano. Os orbitais têm a forma de halteres. Para mais elevados níveis de energia, os orbitais s ficam maiores Todos os orbitais p têm um nó no núcleo. Função de Onda e Orbitais Orbitais d 9

14/08/013 Função de Onda e Orbitais Orbitais f Resolução da Equação de Schrödinger 10

14/08/013 Partícula Livre (1D) v e - x Da equação de Schrödinger unidimensional e independente do tempo, Mas como V(x)=0, vem que ħ d ψ( x) + V( x) ψ( x) = Eψ ( x) m dx ħ d ψ( x) d ψ( x) me = Eψ ( x) + ψ( x) = 0 m dx dx ħ Assim, ψ dx d ( x) + k ψ x = ( ) 0 k = me ħ Partícula Livre (1D) Esta equação tem como solução geral: ikx ψ ( x) = e = Acos( kx) + Bi sen( kx) Podem-se obter soluções mais gerais por meio de combinações de funções complexas: ikx ψ( x) = Ae + Be ikx (Esta equação é uma combinação linear de duas ondas planas que se propagam nas direções +x e x. A e B são as amplitudes de cada uma das ondas) Assim, operando-se ψ(x), pode-se mostrar que ħ d ψ( x) ħ = k ψ( x) = Eψ ( x) m dx m k E = ħ m Finalmente: 11

14/08/013 Partícula Livre (1D) E k E= ħ m k Ou seja, uma partícula livre pode ser encontrada em qualquer ponto sobre o eixo x, com a mesma probabilidade. Partícula em uma Caixa (1D) V 0, 0 < x< L V( x) =, x L ou x 0 0 L x Em x L ou x 0 (região proibida): ψ( x) = 0 Em 0 < x< L, temos V( x) = 0: ħ d ψ Assim, = Eψ (como a partícula livre) m dx ikx ikx ħ k Solução geral: ψ( x) = Ae + Be ; E = m 1

14/08/013 Partícula em uma Caixa (1D) Condição de contorno 1: ψ (0) = 0 então em x=0, vem: logo: ( ikx ikx ψ x A e e ) ψ (0) = A+ B= 0 A= B ( ) = = Asen kx Condição de contorno : ψ ( L) = 0 então em x=l, vem: ψ( L) = AsenkL= 0 kl= nπ ( n= 1,,3...) logo: k n nπ = L E n ħk π ħn = = m ml n (quantização de energia) Partícula em uma Caixa (1D) Funções de onda do tipo nπx ψn( x) = Ansen L n= 4 n= 3 V E 3 n= E E 1 n= 1 0 L x 13

14/08/013 Partícula em uma Caixa (1D) Normalizando a função de onda: + ψ dx= 1 L A sen 0 nπx dx= 1 L Finalmente: ( ) nπx ψn x = sen L L Partícula em uma Caixa (1D) 14

14/08/013 Partícula em uma Caixa (1D) Exemplo: Cálculo da energia de 1 elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L = 0,1 nm, no estado fundamental. E n n k = ħ m h = 8mL n ψ n L nπx L ( x) = sen E [6,63 10 Js] 4,39 10 = 8[9,11 10 kg][10 m] 7, 9 10 34 67 1 31 10 50 E J ev 18 1 6,0 10 37,63 Barreira de Potencial e Tunelamento ψ(x) V e γx V 0 Existe uma probabilidade de encontrar o elétron na região classicamente proibida ψ(x) incidente refletido 0 V transmitido x Se a barreira for suficientemente pequena (largura a) o elétron poderá ser transmitido (tunelar) com uma certa probabilidade: EFEITO TÚNEL 0 a x Ptrans ( ) a ψ a e γ 15