1. Introdução Definição: Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias entre uma reta fixa, chamada de reta diretriz, e a um ponto fixo situado fora desta reta, chamado de foco da parábola, são iguais. 1 Lugar geométrico é uma figura cujos pontos e somente eles satisfazem determinada condição. Se os pontos de um lugar geométrico pertencem a um plano, dizemos lugar geométrico plano. A teoria dos lugares geométricos é atribuída a Platão (427 347 a.c.). Os gregos dividiam os lugares geométricos em três classes. Denominavam de lugares geométricos planos a reta e a circunferência; de lugares geométricos sólidos a elipse, hipérbole e parábola; e de lugares lineares as outras curvas não retas, círculos e cônicas. Bongiovanni et. All, Desenho geométrico para o 2ª grau, p. 78. Todo ponto da parábola tem essa propriedade e todo ponto do plano que possui essa propriedade é parábola. Deduziremos a partir de sua definição a equação da parábola. Vamos antes conhecer os elementos da parábola. 2. Elementos da parábola
foco da parábola: é o ponto F; reta diretriz: é a reta d; eixo de simetria: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz; vértice da parábola: é o ponto V, ponto médio do segmento FD, isto é, m(fv ) = m(vd ). Chamamos de corda de uma parábola um segmento de reta que une dois pontos quaisquer e distintos da parábola. Em particular, uma corda que passa pelo foco é chamada de corda focal. Uma corda focal perpendicular ao eixo de simetria é chamada de lado reto da parábola. Uma parábola não possui assíntotas verticais nem horizontais. 3. Equação reduzida da parábola 3.1. Equação da parábola de vértice na origem e eixo de simetria em um eixo coordenado Veremos que a equação de uma parábola toma sua forma mais simples quando seu vértice está na origem e seu eixo de simetria coincide com um dos eixos coordenados. De acordo com isto, consideremos a parábola cujo vértice está na origem e cujo eixo coincide com o eixo Oy. 2 Então, o foco F está sobre o eixo Oy; sejam (0, p) suas coordenadas. Por definição de parábola, a equação da reta diretriz é y = p. Seja P (x, y) um ponto qualquer da parábola. Assim, pela definição de parábola temos: d(p, F) = d(p, d) (x 0) 2 + (y p) 2 = y + p (x 0) 2 + (y p) 2 = (y + p) 2 x 2 + y 2 2py + p 2 = y 2 + 2py + p 2 x² = 4py ou x = ±2 py Se p > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. E se p < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Veja a tabela abaixo:
p > 0 p < 0 3 Se o vértice da parábola está na origem e seu eixo de simetria coincide com o eixo Ox, se demonstra, analogamente, que a equação da parábola é y² = 4px ou y = ±2 px Neste caso, se p > 0, a parábola tem a concavidade voltada para a direita. E se p < 0, a parábola tem a concavidade voltada para a esquerda. Veja a tabela abaixo: p > 0 p < 0
3.2. Equação da parábola de vértice distinto da origem e eixo de simetria paralelo a um eixo coordenado Agora, consideremos uma parábola com vértice num ponto V (x 0, y 0 ), diferente da origem, e o eixo de simetria paralelo ao eixo coordenado Oy. 4 Consideremos a distância entre V e F igual a p, isto é, d (V, F) = p (1). Assim, usando a fórmula da distância aplicada em (1), colocaremos y' de V (x 0, y') em função de x 0, y 0 e p. d(v, F) = p (x 0 x 0 ) 2 + (y y ) 2 = p (y y ) 2 = p y = p + y 0 Seja um ponto P (x, y) um ponto qualquer da parábola. Então, pela definição de parábola, temos: d(p, F) = (P, d) (x x 0 ) 2 + (y y ) 2 = (y y 0 ) + p (x x 0 ) 2 + y (p + y 0 )) = (y y 0 ) + p (x x 0 ) 2 + (y (p + y 0 )) 2 = ((y y 0 ) 2 + p)² Resolvendo os produtos notáveis e simplificando a equação acima, obtemos: (x x 0 ) 2 = 4p(y y 0 ) De forma análoga, demonstramos que equação da parábola com vértice V(x 0, y 0 ) distinto da origem e com eixo de simetria paralelo ao eixo Ox é dada por (y y 0 )² = 4p(x x 0 ) Assim como nas equações anteriores, o sinal de p influencia da mesma maneira no comportamento do gráfico das parábolas.
4. Como construir uma parábola Um processo simples para construir uma parábola consiste em se obter pontos da curva situados em retas paralelas à diretriz. 1. Traçam-se as retas r 1, r 2 e r 3 paralelas à diretriz; 5 2. Com centro em F e raio A 1 D traça-se o arco de circunferência que intercepta r 1 nos pontos P 1 e P' 1 ; 3. Com centro em F e raio A 2 D traça-se o arco de circunferência que intercepta r 2 nos pontos P 2 e P' 2 ; 4. Com centro em F e raio A 3 D traça-se o arco de circunferência que intercepta r 3 nos pontos P 3 e P' 3 ; 5. Continuando com o processo podemos obter quantos pontos quisermos da parábola. Para determinar qualquer cônica, inclusive a parábola, é necessário apenas saber três de seus pontos. Agora é sua vez! Tente construir uma parábola no Geogebra seguindo os passos acima. Lembramos que para definir uma parábola, basta conhecer apenas 5 (cinco) pontos que pertencem a mesma. Após encontrar esses cinco pontos, utilize a ferramenta Cônica definida por cinco pontos.
5. Aplicação das Parábolas (...) Por que as antenas que captam sinais do espaço são parábolas? Por que os espelhos dos telescópios astronômicos são parabólicos? Nos dois exemplos acima, os sinais que recebemos (ondas de rádio ou luz) são muito fracos. Por isso é necessário captá-los em uma área relativamente grande e concentrá-los em um único ponto para que sejam naturalmente amplificados. Portanto, a superfície da antena (ou do espelho) deve ser tal que todos os sinais recebidos de uma mesma direção sejam direcionados para um único ponto após a reflexão. A antena ideal deve dirigir todos os sinais recebidos ao ponto F. 6 A parábola possui exatamente essa propriedade e, por isso, as antenas e os espelhos precisam ser parabólicos (...). Eduardo Wagner, Revista do Professor de Matemática, nº 33, pp. 10 a 13, 1997. Universidade do Estado do Rio de Janeiro Faculdade de Educação da Baixada Fluminense Material elaborado por: Rodrigo Ramos de Souza Rio de Janeiro Dezembro / 2011