E. M. E. F. MARIA ARLETE BITENCOURT LODETTI DISCIPLINA DE MATEMÁTICA PROFESSORA: ADRIÉLE RÉUS DE SOUZA Conjunto dos números inteiros O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros positivos e negativos e o zero. Eles são importantes para o cotidiano, principalmente nas situações envolvendo valores negativos, como escalas de temperatura, saldos bancários, indicações de altitude em relação ao nível do mar, entre outras situações. Exemplo: Em 1983, na Antártida, a temperatura chegou a 89,2 C abaixo de zero. É a temperatura mais baixa já registrada na Terra: - 89,2 1) Indique utilizando um número positivo ou negativo cada situação abaixo, de acordo com o exemplo: a) Um lucro de R$ 250,00: b) Um prejuízo de R$ 300,00: c) A temperatura mais alta já registrada na Terra foi de 56,7 C acima de zero, no Vale da Morte, Califórnia, Estados Unidos, em 1913: d) Depositei R$ 50,00 em minha conta: e) Estou devendo R$ 120,00 em uma loja: f) O Pico da Neblina, localizado na Serra do Imeri no Planalto das Guianas, no estado do Amazonas, fronteira entre Brasil e Venezuela, é o ponto mais alto do Brasil, com 2.993,8 metros de altitude com relação ao nível do mar: g) A Fossa das Marianas é o local mais profundo dos oceanos, atingindo uma profundidade de 11034 metros. Localiza-se no Oceano Pacífico, a leste das Ilhas Marianas: h) O monte Everest é a mais alta montanha da Terra, com 8848 metros de altitude. Está localizado na cordilheira do Himalaia, na fronteira entre a República Popular da China (Tibete) e o Nepal: Na reta numérica, os números negativos são representados a esquerda do zero e os números positivos a direita do zero. Quanto mais a direita estiver o número, maior ele é. Por exemplo: o número 3 é maior do que o 0, o número 0 é maior do que o -4 e o número 2 é maior do que o -8.
2) Escreva qual dos números, em cada situação abaixo é maior: a) -100 e 100: b) 0 e 20: c) 0 e -30: d) -4 e 8: e) 24 e -1: O módulo de um número é a distância dele até o zero na reta numérica, e os números opostos ou simétricos, são aqueles que estão em posições exatamente opostas com relação ao zero. Desse modo, observando a reta acima, pode-se verificar que: O módulo de -8 é 8, pois entre -8 e zero há 8 unidades de distância, e o módulo de 8 é 8, pois entre 8 e zero há 8 unidades de distância; O número -3 é o oposto de 3, pois estão em posições simétricas (opostas) com relação ao eixo zero. 3) Dê o módulo de cada número: a) -100: b) 0: c) -3: d) 4: e) 30: 4) Dê o oposto de cada número: a) -20: b) 30: c) -5: d) 7: e) -42: As operações envolvendo números negativos e positivos, requerem a utilização de regras matemáticas envolvendo os sinais positivos (+) e negativos ( ). Dicas: Adição e subtração Se os sinais forem iguais, somar os módulos e manter o mesmo sinal. 3 4 7 3 4 7
Se os sinais forem diferentes, subtrair os módulos e manter o sinal do maior. 3 4 1 3 4 1 Multiplicação e divisão Multiplicar ou dividir os módulos e depois fazer a regra dos sinais. Se os sinais forem iguais, o resultado será positivo. 3 4 12 12 4 3 3 4 12 12 4 3 Se os sinais forem diferentes, o resultado será negativo. 3 4 12 12 4 3 3 4 12 12 4 3 5. Um jogador ganha R$ 3000,00 em uma aposta e perde R$ 3500,00 em outra. O resultado final das duas apostas pode ser representado por quanto? 6. Durante uma experiência, a temperatura foi medida e estava marcando 3ºC. O professor pediu para baixar 5ºC essa temperatura. Qual será a nova temperatura registrada? 7. Quanto é 8-5 e 5-8? 8. José depositou em sua conta bancária as importâncias: O dobro de R$ 300,00 e R$ 200,00 dividido por 2. Posteriormente, retirou: o triplo de R$ 350,00 e R$ 250,00 dividido por 5. O saldo de sua conta corrente ficou negativo ou positivo? Em quantos reais? 9. Qual é o sinal de um produto: a) Que tem dois números positivos? b) Que tem dois números negativos? c) Que tem um número positivo e outro negativo?
10. Qual é o resultado da multiplicação de um número por zero? 11. Qual é o resultado da divisão de um número por zero? 12. Qual é o elemento neutro da multiplicação e divisão? Potenciação Pode-se dizer que potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais. Se temos a seguinte multiplicação: 3 x 3 x 3, podemos escrevê-la em forma de potência 3³, onde a base é 3 e o expoente á 3 (Leia: três elevado a terceira potência ou três ao cubo), o resultado será 27. O expoente caracteriza a potenciação, pois ele é quem define quantas vezes a base será multiplicada por ela mesma. Observe: 2 6 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 4 2 = 4 x 4 = 16 5 3 = 5 x 5 x 5 = 125 10 2 = 10 x 10 = 100 12 2 = 12 x 12 = 144 3 5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 6 3 = 6 x 6 x 6 = 216 Casos de potenciação I. Todo número elevado a zero é um (por convenção, adota-se a regra a base zero). 2 0 = 1 II. Todo número e elevado a um é o próprio número. 2 1 = 2
III. 0 5 = 0 Base zero e qualquer número no expoente, o resultado será zero (considerando a convenção adotada no item I, quando o expoente for zero a resposta será um). IV. Expoente ímpar: o sinal do resultado será igual ao da base. (-3) 3 = (-3) x (-3) x (-3) = -27 (+4) 5 = (+4) x (+4) x (+4) x (+4) x (+4) = +1024 V. Expoente par: o sinal do resultado será positivo. (-2) 4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = + 16 (+6) 2 = (+6) x (+6) = + 36 VI. Base é um número racional (fração): devemos elevar ao expoente indicado o numerador e o denominador da fração. 2 3 2 2 2 2 2 16 3 3 3 3 3 81 Raiz quadrada A radiciação é a operação inversa da potenciação. Determinar a raiz quadrada consiste em calcular o número que, elevado ao quadrado, gera o valor desejado. Por exemplo, a raiz quadrada do número 25 corresponde ao número 5, pois 5² é igual a 25. 2 No caso do radical das raízes quadradas, o índice é suprimido. Exemplos: 64 8, pois 8² é 64, ou seja, 8 x 8 = 64 100 10, pois 10² é 100, ou seja, 10 x 10 = 100 49 7, pois 7² é 49, ou seja, 7 x 7 = 49 Na maioria dos casos, consideramos somente a raíz quadrada que pertence aos números naturais, mas, de acordo com o conceito de raiz quadrada, podemos observar que um número pode ter uma raiz quadrada positiva e uma negativa.
Veja: 64 8, pois 8² é 64, ou seja, 8 x 8 = 64 64 8, pois (-8)² é 64, ou seja, (-8) x (-8) = 64 100 10, pois 10² é 100, ou seja, 10 x 10 = 100 100 10, pois (-10)² é 100, ou seja, (-10) x (-10) = 100 13. Seu José quer cercar com uma volta de arame um terreno quadrado, de área igual a 100 m². Determine quantos metros de arame serão necessários. A=100 m² 14. Observe a sequencia abaixo: I II III IV V VI?? a) Represente cada elemento da sequencia utilizando potências de base 3. b) Quais seriam as potências de base 3 que representariam os elementos V e VI da sequência? 15. Complete as sentenças abaixo com o número que falta para que cada igualdade se torne verdadeira: a) 17 b) 5 c) 400 d) 3 4 e) 2 10 f) g) 3 h) 8 i) 2 Expressões numéricas Expressões numéricas, como o nome já diz, expressam idéias ou raciocínios com números.
Em expressões numéricas encontramos números, operações matemáticas e outros sinais que determinam a ordem de preferência da resolução como parênteses, colchetes e chaves, todos estes últimos cumprem o mesmo papel e, usualmente, subistitui-se os colchetes e as chaves por parênteses. Para resolver uma expressão numérica sem parênteses deve-se obedecer a hierarquia das operações: 1º POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 2º MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 3º ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Exemplo: 45 5 2 8 4 45 5 8 8 2 45 40 4 9 Primeiro resolvemos 2 e 4 Depois resolvemos 5 8 e 8 2 Só então resolvemos as adições e subtrações 2 2 2 2 8 e 4 2 5 8 40 e 8 4 2 45 40 5 e 5 4 9 Quando há parênteses, resolve-se primeiro as operações dentro dos parênteses, que quando são eliminados, deve-se considerar novamente a hierarquia das operações. Exemplo: 45 25 2 8 4 20 2 8 4 40 8 4 48 4 48 2 24 Primeiro resolvemos 45 25 20 Depois resolvemos 20 2 40 Depois resolvemos 40 8 48 Depois resolvemos 4 2 Só então resolvemos 48 2 24 16. O piso de uma cozinha foi revestido com ladrilhos brancos e pretos, conforme a figura abaixo. Cada ladrilho branco custou R$ 2,00 e cada ladrilho preto custou R$ 3,00. a) Quanto foi gasto na compra dos ladrilhos? b) A expressão numérica abaixo resolve o problema proposto, sim ou não? Justifique. (12 x 2 + 51) x 3
17. Qual é o número obtido calculando 2005 205 2 25 2? 18. Daniela quer cercar o terreno representado na figura abaixo. Todas as medidas são indicadas em metros. a) Quantos metros de tela Daniela terá que comprar? b) Substitua cada letra pelos números que tornam a expressão numérica abaixo verdadeira para solucionar o problema. B + C + D + (B - D) + (C - B) + B 19. Rosa e Maria começaram a subir uma escada de 100 degraus no mesmo instante. Rosa sobe 10 degraus a cada 15 segundos e Maria sobe 10 degraus a cada 20 segundos. Quando uma delas chegar no último degrau, quanto tempo ainda faltará para a outra completar a subida? a) Qual das duas chegará primeiro? b) Assinale e determine o valor numérico da expressão que você julga resolver o problema: (A)(100 15) (100 20) (B)(10 x 20) (10 x 15) (C)(10 20) (10 15) (D) (100 10) (100 15) (E) (10 x 15) (10 x 20) 20. Qual das expressões abaixo tem como resultado um número ímpar? Demonstre como você chegou a sua conclusão.
21. Uma professora escreveu uma expressão no quadro, depois trocou todos os algarismos 3 por 5, os 5 por 3, o sinal de pelo e o pelo, a expressão ficou assim: 13 5 53 2 25. Qual foi a primeira expressão escrita pela professora e qual é o resultado?