1 Neste capítulo o objetivo é estabelecer relações entre as proposições dos argumentos para chegarmos nas conclusões corretas. Para isso, reescrevemos os argumentos usando tabelas que sintetizem suas informações. 1. Observe abaixo quatro vistas diferentes de um mesmo dado, que tem as letras A, B, C, D, E e F em suas faces. De acordo com as vistas, qual é a letra que está faltando no último dado? Observando o primeiro dado, podemos concluir que abaixo da letra F está a letra B. Dessa forma a letra que está faltando no último dado é a letra B. 2. Seis pessoas fizeram uma roda e cada uma, em voz baixa, falou seu número favorito para seus dois vizinhos. Em seguida, cada criança disse em voz alta a soma dos dois números que ouviu; a figura mostra o que Afonso, Camila e Eduardo disseram em voz alta. Qual é o número favorito de Fátima? Sabemos que: a soma dos números de Fátima e Bernardo é 16 a soma dos números de Bernardo e Daniela é 12 a soma dos números de Fátima e Daniela é 8 Assim 16 + 8 + 12 = 36 é duas vezes a soma dos números de Fátima, Bernardo e Eduardo; logo a soma dos números dessas três crianças é 18. Como a soma dos números de Bernardo e Daniela é 12, o número favorito de Fátima é 18 12 = 6.
3. A figura indica três símbolos, dispostos em um quadrado de três linhas e três colunas, sendo que cada símbolo representa um número inteiro. Ao lado das linhas e colunas do quadrado, são indicadas as somas dos correspondentes números de cada linha ou coluna, algumas representadas pelas letras X, Y e Z. 2 Nas condições dadas qual é o valor da soma X + Y + Z? 4. Na pilha de dominó abaixo há três peças cujos pontos não é possível ver. Descubra quais são os pontos dessas três peças a partir das seguintes dicas: essas peças fazem parte do mesmo dominó; a soma dos 6 pontos que aparecem na metade da primeira peça, com aqueles indicados nas três metades que estão abaixo dela é igual a 24; a soma dos 3 pontos que aparecem na metade da primeira peça, com aqueles indicados nas três metades que estão abaixo dela é igual a 8. Primeiramente construímos uma pilha de 4 peças. Como o lado da esquerda soma 24, só há uma possibilidade. As peças são diferentes e devem somar 8 na direita, então,
3 5. Cada um dos pequenos triângulos da figura abaixo possui um número oculto. Nas figuras a seguir, o número que está embaixo de cada uma representa a soma dos números dos triângulos sombreados. Qual é o número que está no triângulo central? Primeiramente, nomeamos cada triângulo com uma letra Em seguida, somamos os números dos triângulos sombreados. ab c 42 b c d 37 a c d 48 ab d 44 Somando todas as equações 3a 3b 3c 3d 42 37 48 44 3(a b c d) 171 (a b d) c 57 44 c 57 c 57 44 c 13 6. Alex tem três camisetas (A, B e C). Não necessariamente nessa ordem, uma é verde, uma é branca e outra é azul. Descubra a cor de cada camiseta sabendo-se que apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira: A é verde. B não é verde. C não é azul. Primeiramente construímos uma tabela com todas as possibilidades para as cores de A, B e C: Azul Branca Verde A B C A C B B A C B C A C A B C B A Em seguida, analisamos as afirmações considerando que cada camiseta tenha a cor indicada na linha. Azul Branca Verde A B C duas verdadeiras A C B uma verdadeira B A C duas verdadeiras B C A três verdadeiras C A B três falsas C B A três verdadeiras Assim, para que haja apenas uma afirmação verdadeira as cores das camisetas A, B e C são respectivamente azul, branca e verde.
7. Quatro amigas vão ao teatro e uma delas resolve entrar sem pagar. Abordadas por um vigilante que as interroga sobre qual delas entrou sem pagar, obtém as seguintes afirmações: Eu não fui, diz Maria. Foi a Ana, diz a Paula. Foi a Fernanda, diz a Ana. A Paula não tem razão, diz Fernanda. Sabendo-se que apenas uma delas mentiu, descubra quem entrou sem pagar. Primeiramente construímos uma tabela reescrevendo as afirmações. pessoas Ana Paula Ana Fernanda afirmação Não Maria Ana Fernanda Não Ana 4 Como podemos observar as afirmações de Paula e Fernanda se contrariam. Assim, se uma disser verdade a outra mente. Logo só há duas possibilidades. pessoas afirmação Ana Não Maria Paula Ana V F Ana Fernanda Fernanda Não Ana F V As demais devem falar a verdade, pois somente uma delas mente. pessoas afirmação Ana Não Maria V V Paula Ana V F Ana Fernanda V V Fernanda Não Ana F V Para excluir uma das possibilidades basta encontrar alguma contradição. Nesse caso há contradição entre Paula e Ana na terceira coluna, pois ambas falando a verdade acusam pessoas diferentes. Devemos, então, tomar a quarta coluna, ou seja, a coluna em que Ana afirma que não foi Maria, Paula afirma que foi Fernanda e Fernanda afirma que não foi Ana. Portanto, Fernanda entrou sem pagar.
8. Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: Tânia é quem está sentada no meio. A que está sentada no meio diz: Eu sou Janete. Finalmente, a que está sentada à direita diz: Angélica é quem está sentada no meio. As que estão sentadas à esquerda, no meio e à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélica b) Janete, Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janete e) Tânia, Angélica e Janete Primeiramente construimos uma tabela com as posições e as falas Pessoa Da esquerda Do centro Da direita Fala Tânia no centro Eu sou Janete Angélica no meio 5 De acordo com o enunciado do problema podemos concluir que: Angélica: mente Janente: mente/verdade Tânia: verdade Portanto, preencheremos a tabela com as falas de Tânia, pois ela sempre fala a verdade. Tânia não poderia estar na esquerda pois, como ela sempre fala a verdade, não falaria Tânia está no centro. Também não poderia estar no centro pois ela não diria Eu sou Janete. Assim, Tânia está colocada à direita. Pessoa Da esquerda Do centro Da direita Fala Tânia no centro Eu sou Janete Angélica no meio Tânia Como Tânia nunca mente, podemos concluir que a Angélica estará no meio e, por consequência, Janete está na esquerda. Pessoa Da esquerda Do centro Da direita Fala Tânia no centro Eu sou Janete Angélica no meio Janete Angélica Tânia 9. Antonio é mais baixo que Bento. Bento é mais velho que Celso, que é irmão mais velho de Davi. As alturas deles são tais que, quanto mais novo, mais alto. Se eles forem ordenados por altura, do mais alto para o mais baixo, tem-se: a) Davi, Celso, Bento e Antonio b) Bento, Antonio, Celso e Davi c) Antonio, Bento, Celso e Davi d) Bento, Antonio, Davi e Celso e) Celso, Antonio, Davi e Bento Afirmação Antonio é mais baixo que Bento Bento é mais velho que Celso Celso é mais velho que Davi Crescente: Antonio, Bento, Celso e Davi Decrescente: Davi, Celso, Bento e Antonio Ordem crescente de altura Antonio Bento Celso Bento Davi Celso
6 Exercícios Propostos 1. Duas pessoas estão sentadas frente a frente e entre elas há um dado cujas faces opostas sempre somam sete pontos. Sabendo-se que cada uma vê três faces do dado e que uma pessoa vê 9 pontos e a outra 11 pontos, quantos pontos tem a face que está em contato com a mesa? 4. Augusto e Felipe estão disputando um jogo chamado Trinta e Um, cujo tabuleiro está representado abaixo. 2. Um dado, com faces opostas somando sete, percorre um circuito como ilustrado nos dois movimentos abaixo. Inicialmente, a face superior apresenta três pontos. Quantos pontos exibirá a face superior ao percorrer todo o percurso? Nesse jogo, os jogadores alternadamente marcam um número ainda não marcado e, imediatamente, falam, em voz audível ao adversário, o resultado da soma parcial de todos os números marcados ao completar a jogada. Vence o jogador que obter total 31. Veja abaixo uma partida iniciada por eles. 3. As quatro faces de um dado são triângulos equiláteros, numerados de 1 a 4, como no desenho. Colando-se dois dados iguais, fazemos coincidir duas faces, com o mesmo número ou não. Qual dos números a seguir não pode ser a soma dos números das faces visíveis? a) 12 b) 14 c) 17 d) 18 e) 19 Augusto (1ª jogada): 1 Felipe (1ª jogada): 4 Augusto: 9 Felipe: 15 Augusto: 21 Qual o número que deve ser marcado por Felipe na 3ª jogada para que ele ganhe a partida em sua 4ª jogada independente do número que Augusto marcar em sua 4ª jogada? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
7 5. As pranchetas de Ana, Bianca e Clara são, não necessariamente nesta ordem, de ferro, de madeira e de plástico. Uma das pranchetas é branca, outra é verde e a outra é azul. A prancheta de Ana é branca, a de Clara é de plástico e a de Bianca não é verde e nem é de ferro. As cores das pranchetas de ferro, de madeira e de plástico são respectivamente: a) branca, azul e verde b) branca, verde e azul c) azul, branca e verde d) azul, verde e branca e) verde, azul e branca 6. Em uma repartição com cinco funcionários, um deles cometeu um erro grave. Todos eles sabem quem foi o autor desse erro. Esses funcionários têm uma característica muito interessante: quatro deles sempre falam a verdade em qualquer situação, e um deles, às vezes, mente. Um auditor, ao interrogá-los, obteve as seguintes respostas: Funcionário 1: sou inocente Funcionário 2: o funcionário 3 mentiu Funcionário 3: o funcionário 4 é o culpado Funcionário 4: o funcionário 2 é o culpado Funcionário 5: o funcionário 1 disse a verdade É correto afirmar que o culpado é o: a) funcionário 1 b) funcionário 2 c) funcionário 3 d) funcionário 4 7. Um ensaio clínico relativo à ingestão de vitaminas B, D e E envolve 590 participantes. Todos esses participantes tomam pelo menos 1 comprimido e, no máximo, 1 comprimido de cada uma das vitaminas por dia. Diariamente, 150 deles tomam apenas 1 comprimido de vitamina B, 120 apenas 1 comprimido de vitamina D e 180 apenas 1 comprido de vitamina E. Diariamente, 30 participantes tomam exatamente 1 comprimido de vitamina D e 1 comprimido de vitamina E e 40 tomam exatamente 1 de vitamina B e 1 de vitamina D. Se, por dia, são utilizados 260 comprimidos de vitamina B e 210 comprimidos de vitamina D, o número de participantes que tomam exatamente 1 comprimido de vitamina B e 1 comprimido de vitamina E diariamente é: a) 50 b) 60 c) 70 d) 100 8. Numa segunda-feira Dona Fátima descobre que um de seus filhos não foi à escola naquele dia. Chamou-os e perguntou qual deles não havia ido à escola naquele dia e eles responderam: Paulo: Eu fui. José: Paulo está falando a verdade. Pedro: Carlos não foi à escola. João: Pedro está mentindo. Carlos: João não foi à escola. Se apenas um dos 5 filhos de Dona Fátima está mentindo e os outros 4 estão falando a verdade, podemos afirmar, baseados nas respostas dos filhos, que aquele que não foi à escola naquele dia foi: a) Paulo b) José c) Pedro d) João e) Carlos
8 9. André, Andrei e Adriano são irmãos e possuem olhos de cores diferentes. Considere que pelo menos uma das afirmativas a seguir é falsa. André não tem olhos verdes. Andrei tem olhos azuis. Adriano não tem olhos castanhos. Assim, os olhos de André, Andrei e Adriano NÃO podem ser das respectivas cores a) Castanhos, verdes e azuis b) Verdes, azuis e castanhos c) Castanhos, azuis e verdes d) Azuis, castanhos e verdes e) Verdes, castanhos e azuis 10. Amanda, Bruna, Carlos, Diego e Érika prestarão vestibular este ano para os cursos de análise de sistemas, economia, engenharia, matemática e pedagogia, cada um para um curso diferente e não necessariamente nessa ordem. Quando questionados por seu professor sobre quem prestará vestibular para qual curso, eles deram as seguintes respostas: Amanda: Eu não farei pedagogia, Bruna não fará análise de sistemas, Diego não fará economia e Érika não fará matemática. Bruna: Amanda não fará economia e nem matemática. Carlos: Diego não fará engenharia e nem pedagogia. Diego: Eu não farei matemática. Érika: Eu não farei engenharia e quem fará economia não sou eu e nem a Bruna. Se todos fizeram declarações verdadeiras, pode-se concluir corretamente que os estudantes que prestarão vestibular para engenharia e matemática são, respectivamente: a) Érika e Bruna b) Érika e Carlos c) Bruna e Carlos d) Amanda e Carlos e) Amanda e Bruna 11. Três amigos: André, Bruno e Carlos são estudantes de engenharia. Trabalham para ajudar a custear os estudos. Um trabalha como cozinheiro, outro como garçom e outro como caixa de uma lanchonete; e eles são estudantes de engenharia civil, eletrônica e mecânica, não necessariamente nessa ordem. Sabendo que André é estudante de engenharia civil e não cozinha nem serve as pessoas, que o estudante de engenharia eletrônica é o garçom e que Bruno não é o cozinheiro, assinale a alternativa correta: a) Carlos é o que estuda engenharia mecânica b) Bruno é o que estuda engenharia civil c) Bruno é o que estuda engenharia mecânica d) Carlos é o que estuda engenharia eletrônica 12. Jorge, Roberto e Nelson são três amigos que têm em comum o hábito de colecionar. Cada um deles coleciona um tipo de objeto diferente. Perguntados sobre o que colecionam, disseram o seguinte: Nelson: O Roberto não coleciona discos. Roberto: Eu coleciono moedas. Jorge: O Nelson coleciona selos. Dois deles falaram a verdade e um mentiu. O que Roberto, Jorge e Nelson colecionam, respectivamente? a) Moedas, Selos e Discos b) Moedas, Discos e Selos c) Discos, Moedas e Selos d) Discos, Selos e Moedas e) Selos, Discos e Moedas
9 13. Um recrutador de recursos humanos avalia três candidatos, Carlos, Marcos e Paulo, que concorrem a três vagas de emprego no departamento de compras de uma companhia. Um deles tem graduação, o outro especialização e o terceiro mestrado; eles irão concorrer a vagas de auxiliar, supervisor e gerente de departamento. O recrutador pretende estabelecer relação entre a escolaridade, o nome e o cargo de cada candidato segundo as declarações abaixo: Candidato com mestrado: Não concorro a vaga de auxiliar nem gerente Candidato com graduação: Meu nome não é Carlos nem Paulo Candidato com especialização: Nem eu nem Paulo concorremos à vaga de auxiliar Diante das informações prestadas pelos candidatos, o recrutador deve concluir por qual das sequências abaixo como verdadeira: a) mestre auxiliar Marcos b) gerente Paulo graduado c) Carlos supervisor especialista d) auxiliar graduado Paulo e) Paulo mestre supervisor 14. Numa estante encontram-se 31 livros, sendo estes de história, geografia e português. Retirando-se metade dos livros de geografia e acrescentando apenas um livro de história, a quantidade de livros de cada matéria passa a ser igual. Os livros contidos nessa estante são tais que o(a) a) total de livros de geografia e história é igual a 22. b) diferença entre as quantidades de livros de português e história é igual a 2. c) total de livros de português e história é igual a 15. d) diferença entre as quantidades de livros de geografia e português é igual a 9. e) quantidade de livros de português é ímpar e de história é par. Gabarito 1 2 3 4 5 6 7 8 4 6 e b a b a d 9 10 11 12 13 14 c e a a e c