A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE LOGARITMO A PARTIR DE UM PROBLEMA GERADOR Bárbara Lopes Macedo (Faculdades Inegradas FAFIBE) Carina Aleandra Rondini Marreo (Faculdades Inegradas FAFIBE) Jucélia Maria de Almeida Samao (Faculdades Inegradas FAFIBE) Viviane Aparecida Zacheu Viana (Faculdades Inegradas FAFIBE) Resumo: Ese arigo aborda o processo ensino-aprendizagem de logarimo a parir de um problema gerado Dessa forma, o problema é viso como um elemeno que dá início ao processo de consrução do conhecimeno, colaborando para a formação dos conceios anes de sua apresenação em linguagem maemáica formal. Palavras-chave: Problema gerador; logarimo; processo ensino-aprendizagem. 1. Inrodução Imaginemos o coneo: depois de desperar o ineresse dos alunos com uma siuação problema, o professor por meio de pergunas bem encaminhadas, os leva a formular hipóeses, reconhecer padrões e esabelecer conjecuras. A siuação descria mosra o aluno paricipando da consrução do seu conhecimeno. A vivência desse processo faz com que o aluno desenvolva a auoconfiança, eercie a ineligência e a criaividade, ornando-se independene e moivado a novas descoberas. Além disso, os conhecimenos envolvidos nese coneo são incorporados pelo aluno e, desa forma, dificilmene serão esquecidos. A parir do momeno em que os alunos são preparados para enfrenar o novo, o inusiado, eles desenvolvem a criaividade. Esse desenvolvimeno depende da quanidade e da variedade de conhecimenos adquiridos, bem como das impressões vivenciadas. Quando o aluno rabalha em grupo, por eemplo, ele pode assumir dois papéis: o de aprendiz e o de professo Eses papéis são assumidos alernadamene durane a resolução de um problema, ocorrendo uma socialização enre os elemenos do grupo, que desenvolvem o respeio pela opinião dos demais e aprendem a rabalhar de forma colaboraiva. Quando o aluno epressa o seu próprio pensameno para ouras pessoas ele em de organizá-lo, aumenando o grau de precisão na verbalização e na compreensão da arefa para se fazer enende Durane a eplanação o aluno percebe se a sua conclusão em senido, se sua eplicação ou resposa é sensaa. Para esimular o desenvolvimeno da ineligência do aluno, devemos ficar aenos para as siuações descrias por (POLYA, 1): Adivinhar é mais fácil do que demonsrar; Resolver problemas concreos é mais naural do que consruir esruuras conceiuais; O concreo vem anes do absrao; A ação e a percepção anes das palavras e dos conceios; Os conceios anes dos símbolos.
Conduzir o aluno à descobera eige um bom conhecimeno ano do problema quano do aluno; além disso, deve-se procurar adquirir eperiência e familiaridade com as eapas que se apresenam com freqüência na resolução de problemas. Ese arigo propõe a resolução de um problema como desencadeador da consrução do conceio de logarimo observando-se as eapas sugeridas aneriormene. Apresenam-se em seguida discussões ocorridas sobre resolução de problemas, pois seus conhecimenos permiem melhor compreensão do ema. 2. A Resolução de Problemas como Meodologia para o Ensino da Maemáica Uma revisão bibliográfica (segundo (BICUDO, 1)) sobre resolução de problemas mosra que ese assuno vem chamando a aenção dos educadores maemáicos desde o século XIX. No enano, a preocupação com a resolução de problemas pode ser noada em regisros hisóricos das civilizações egípcia, chinesa e grega desde a aniguidade. Dewey, enre 186 e 10, defendia o ensino por meio do esudo e resolução de problemas de ineresse das comunidades. Dese modo, para ele, podia-se desenvolver o senso críico do aluno capaciando-o a colaborar para o desenvolvimeno de uma sociedade democráica. No enano, a primeira vez em que a resolução de problemas é raada como um ema de ineresse para professores e alunos, nos níveis superiores, foi a parir do livro How o solve i, de Polya, de 1. Nos Esados Unidos, na década de 10, a ênfase das pesquisas sobre resolução de problemas era sobre o produo das soluções, não valorizando os processos da resolução. No Brasil, em 16, o Prof. Luis Albero S. Brasil, defendia o ensino de Maemáica a parir de um problema gerador de novos conceios e coneúdos. Em nível mundial, as invesigações sisemáicas sobre resolução de problemas e suas implicações curriculares êm início na década de 170. É o período em que a preocupação deia de ser a busca da solução correa para o problema e passa a cenrar-se no processo envolvido para a obenção da resposa e nas esraégias uilizadas. Schroeder & Leser desacam rês maneiras disinas de abordar resolução de problemas: Ensinar sobre resolução de problemas; Ensinar a resolver problemas; Ensinar Maemáica aravés da resolução de problemas. De acordo com Onuchic (ONUCHIC, 1 apud BICUDO, 1), o problema é olhado como um elemeno que pode disparar um processo de consrução do conhecimeno. Sob esse enfoque, problemas são proposos ou formulados de modo a conribuir para a formação dos conceios anes mesmo de sua apresenação em linguagem maemáica formal. Tomando-se como base esse referencial eórico, ese rabalho, apresena uma proposa da uilização de resolução de problemas como meodologia para o ensino de logarimo. A jusificaiva da escolha do ema e da meodologia uilizada é descria em dealhes a segui 3. A Relevância do Tema A escolha do ema logarimo deve-se a sua imporância na aplicação da Maemáica nas mais diversas ciências. Pesquisas revelam que a forma radicional de ensino (definição, demonsração de propriedades, eemplos e eercícios de aplicação) não despera ineresse nos alunos pelo assuno.
Hisoricamene, desde a época de sua criação aé o surgimeno das calculadoras e compuadores, os logarimos foram uma poderosa ferramena de cálculo e decisivos para o desenvolvimeno da ciência e da ecnologia. O asrônomo Kepler, por eemplo, empregou largamene os logarimos e isso o levou a descobrir a 3ª lei planeária (os quadrados dos empos das revoluções siderais dos planeas são proporcionais aos cubos dos grandes eios de suas órbias). Apesar das calculadoras e compuadores erem ornado os logarimos obsoleos para cálculos, seu esudo é de grande relevância, uma vez que esão relacionados a leis maemáicas que descrevem alguns fenômenos naurais. A função eponencial e sua inversa, a função logarímica, por eemplo, descrevem grandezas cuja aa de variação a cada momeno, é proporcional ao seu valor naquele momeno. Podese ciar como aplicações: Um capial empregado a juros composos; Uma população de seres vivos; A radioaividade de uma subsância. Tais siuações, em que o uso de logarimo é naural, devem ser apresenadas aos alunos, a fim de familiarizá-los com o seu uso.. O Problema Gerador Quando rabalhamos com equações eponenciais, udo parece basane simples aé que sejam formuladas ceras pergunas incômodas como, por eemplo, qual é o valor de em = 2? Em ouras palavras, como resolver uma equação eponencial quando não é possível igualar as bases? Esa quesão cosuma ser feia pelos alunos após a resolução de diversos ipos de equações eponenciais e apresena-se como uma boa oporunidade para inroduzir o ema proposo, o que a orna uma siuação-problema geradora da consrução do conceio de logarimo. A parir do momeno em que o aluno faz essa perguna, o professor pode quesioná-lo sobre os possíveis valores de, levando-o a fazer conjecuras do ipo: Se = 0 enão 0 = 1, mas, se = 1 enão 1 = > 2. Assim, o aluno deverá perceber que na igualdade = 2 deve-se er enre 0 e 1, e ainda, que esá mais próimo de 0 do que de 1. Dese modo, pode-se fazer uso do méodo das poências aproimadas (1) que, se não corresponde fielmene ao desenvolvimeno hisórico do conceio, em o mério de ser basane acessível ornando-se uma alernaiva de se eplicar a consrução das abelas de logarimos. (o símbolo ~ significa aproimadamene) 3 0,3 = 2 ~ 2 ~ 2 = 0,3 = 3 3 ~ 20000 3 ~ 2. 3 ~,30 3 ~ 0,77 3 ~ = 0,77 0,30. (1) 0,30 2 0,60 ( ) = = 0, 60 2 = = 2 = Assim, se =, ao epoene ao qual se deve elevar a base para enconrar-se, por eemplo é denominado o logarimo de na base cuja noação é:
log =, sendo que é o logarimando, é a base e o logarimo. De maneira geral, em-se: O epoene ao qual deve-se elevar a base a para enconrarmos o número b, é chamado de logarimo de b na base a (sendo que a e b são números reais, com 0<a 1 e b> 0) e usa-se a seguine noação: log a b = a = b, para 0 < a 1e b > 0 Com ese desenvolvimeno, pode-se noar que são uilizadas as propriedades dos logarimos mesmo anes de formalizadas: a muliplicação é subsiuída pela adição; a poenciação pela muliplicação: log a(b.c) = log ab + log ac n log b = n. log b a a Após a formalização dos conceios e das propriedades, o objeivo é inroduzir o conceio de logarimo neperiano ( log e ). O número e aparece de modo naural em siuações como juros composos e crescimeno populacional. Pode-se inroduzir o assuno a parir de um problema de juros composos como o seguine: Suponha uma unidade moneária deposiada em uma cona com aa anual de juros de 0%. Qual é o monane ao final de um ano se os juros forem capializados: anualmene, semesralmene, rimesralmene, mensalmene, diariamene, mil vezes ao ano, dez mil vezes ao ano, coninuamene? a) Anualmene: M = 1.( 1+ 1) M = 2 b) Semesralmene: M = 1.1 ( + 1 ) M = 2, 2 2 c) Trimesralmene: M = 1.1 ( + 1 ) M = 2, 12 d) Mensalmene: M = 1.1 ( + 1 ) M = 2, 61 12 36 e) Diariamene: M = 1.1 ( + 1 ) M = 2, 71 36 00 M = 1.1+ 1 M = 2, 00 000 M = 1.1+ 1 M = 2, 000 h) Coninuamene: n M = 1. e M = 2,718281... f) 1 000 vezes ao ano: ( ) 716 g) 000 vezes ao ano: ( ) 7182 2 Genericamene, se p unidades moneárias são invesidas a uma aa anual r de juros composos, capializados k vezes ao ano, durane anos, eremos o saldo M: M k. r = p. 1 + (2) k No ensino superior, o professor poderá uilizar o conceio de limies para demonsrar, em ermos maemáicos, o que ocorre com a epressão (2) quando k ende ao infinio. Assim, se
. Alguns Resulados k r n. n = r n k = n p 1 + rn 1 = p 1 + n k. n 1 1 M = lim p 1 + = lim 1 + M = k n n n Esa proposa em sido rabalhada com alunos de ensino médio e de cursos de graduação em diferenes áreas, como Adminisração, Licenciaura em Maemáica e Ciências Conábeis, e em-se obido bons resulados. É relevane desacar um fao ocorrido durane uma aula de Maemáica Básica para o primeiro ano do curso de Adminisração: após a consrução de alguns logarimos por meio das aproimações sucessivas, foi colocado para a classe o seguine problema: Durane quanos meses deverá ser aplicado um capial, à aa de % ao mês, para que ele riplique? Os alunos da classe em quesão dispunham apenas de calculadoras simples, com as quaro operações, raiz quadrada e memória. Uma das alunas apresenou a seguine solução para o problema em quesão: p. e ( 1,1) = 3 e deerminou o log 11 do seguine modo: 11 = 161 11 ~ 160000 11 ~ 2 (3) 1,20+,20 11 ~ 11 ~. 11 11 ~ 1,0 ~ 0,30 ( ). () Subsiuindo () em (3), obém-se: 11 0,7 0, 0 0, 7 1,0 0,7 ~ ~ 0, 0 ~ 0, 7 ~ 11, 7 ~ Logo, conclui-se que serão necessários 11 meses e 7% do mês, o que equivale a 20 dias, aproimadamene. Fica evidene que a aluna de fao compreendeu o conceio de logarimo e viu nese problema a possibilidade de uilizá-lo. Quando quesionada sobre sua resolução disse saber que o resulado não seria um número naural e, por er usado uma aproimação por fala (161 01 ~160 000) o valor enconrado para seria maior do que o verdadeiro. 6. Considerações Finais A uilização de um problema gerador no processo ensino / aprendizagem de maemáica, apesar de ser discuida há décadas por educadores maemáicos, ainda não se ornou práica roineira para a maioria dos docenes. Como dio aneriormene, sua
práica eige um bom conhecimeno ano do problema quano das dificuldades básicas dos alunos; além disso, deve-se adquirir familiaridade com as eapas que se apresenam com freqüência na resolução de problemas e er clareza dos objeivos a serem alcançados. Esa posura é imprescindível ao professor para faciliar a aprendizagem pois, para os alunos, raa-se de uma meodologia diferene das habiuais (eorias e eercícios de fiação). Assim, percebe-se que a parir da moivação do aluno para a resolução do problema proposo, o processo ensino / aprendizagem se revela basane eficaz, uma vez que, o aluno moivado a resolver um problema adoa uma posura semelhane a de um pesquisador, ornando-se mais independene na consrução de seu conhecimeno. Espera-se que ese rabalho seja um esímulo aos professores para iniciarem esa práica desde as séries iniciais, eviando, assim, a acomodação dos alunos em receberem udo prono e acabado e, conribuindo para o desenvolvimeno da auonomia no processo de aprendizagem. 7. Referências Bibliograficas ÁVILA, Geraldo. Números muio grandes. In Revisa do Professor de Maemáica, SBM.1. v. 2 BICUDO, Maria Aparecida Vigiani. Pesquisa em educação Maemáica: concepções e perspecivas. São Paulo: UNESP, 1. BOYER, Carl Benjamin. Hisória da Maemáica. São Paulo: Edgar Blücher, 17. DANTE, Luiz Robero. A didáica da resolução de problemas de maemáica. São Paulo: Áica, 2000. DAVIS, Philip J. & HERSH, Reuben. A eperiência Maemáica. Rio de Janeiro: F. Alves, 18. EVES, Howard. Inrodução à Hisória da Maemáica. Campinas, SP: Ediora da UNICAMP, 200. FRAENKEL, Renao. Logarimos: um curso alernaivo. In. Revisa do Professor de Maemáica, SBM. v. LIMA, Elon Lages. Conceios e conrovérsias. In. Revisa do Professor de Maemáica, SBM. v. 3, Sobre a evolução de algumas idéias maemáicas. In. Revisa do Professor de Maemáica, SBM.18. v. 6, Sisemas de logarrimos. In. Revisa do Professor de Maemáica, SBM. 11.v. 18 POLYA, George. A are de resolver problemas. Rio de Janeiro: Inerciência, 1.